الطاقة الكامنة

مرجع الأرضية: $E_{pp} = m g h = 2 \times 10 \times 1{,}5 = 30\ J$ (1 ن). مرجع الطاولة: $E_{pp} = 2 \times 10 \times (1{,}5 - 0{,}8) = 14\ J$ (1 ن).

مرجع الأرضية: $\Delta E_{pp} = 0 - 30 = -30\ J$؛ مرجع الطاولة: $\Delta E_{pp} = 2 \times 10 \times (-0{,}8) - 14 = -16 - 14 = -30\ J$ (1 ن). التغير لا يتعلق بالمرجع (0,5 ن).

$W(\vec{P}) = m g h = 2 \times 10 \times 1{,}5 = 30\ J = -\Delta E_{pp}$ (1 ن).

$\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h \Rightarrow v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{30} \approx 5{,}48\ m/s$ (1,5 ن).

التمرين الثاني

الثقل $\vec{P}$ والتوتر $\vec{T}$ متعاكسان (0,5 ن): $T = m g = 0{,}3 \times 10 = 3\ N$ و $k = \dfrac{T}{x} = \dfrac{3}{0{,}06} = 50\ N/m$ (1,5 ن).

(أ) $E_{pe} = \tfrac{1}{2} k x^2 = \tfrac{1}{2} \times 50 \times 0{,}1^2 = 0{,}25\ J$ (1 ن).

$m g h = 0{,}25 \Rightarrow h = \dfrac{0{,}25}{0{,}2 \times 10} = 0{,}125\ m$ (1 ن)، و $d = \dfrac{h}{\sin 30^{\circ}} = 0{,}25\ m$ (1 ن).

التمرين الثالث

ارتفاع الكرية فوق $B$: $h_0 = \ell (1 - \cos 60^{\circ}) = 0{,}4\ m$، ومنه $E_m = m g h_0 = 0{,}2 \times 10 \times 0{,}4 = 0{,}8\ J$ (2 ن).

$E_{pp}$ تنقص حتى تنعدم في $B$ و $E_c$ تزداد (1 ن): $\tfrac{1}{2} m v_B^2 = 0{,}8 \Rightarrow v_B = \sqrt{8} \approx 2{,}83\ m/s$ (1,5 ن).

$h = \ell (1 - \cos 30^{\circ}) = 0{,}8 \times 0{,}134 \approx 0{,}107\ m$، و $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g (h_0 - h)$ ومنه $v = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}293} \approx 2{,}42\ m/s$ (1,5 ن).

التوتر عمودي دائما على السرعة (على المسار الدائري)، فعمله معدوم (1 ن).

$E_{pt} = \tfrac{1}{2} C \theta_0^2 = \tfrac{1}{2} \times 0{,}05 \times 0{,}4^2 = 4\times 10^{-3}\ J$ (1 ن)؛ $\mathcal{M} = C \theta_0 = 0{,}05 \times 0{,}4 = 2\times 10^{-2}\ N\cdot m$ (1 ن).

$E_{pt}$ تنقص حتى تنعدم و $E_c$ تزداد من الصفر، ولا تبادل مع الخارج (1,5 ن).

$\tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 = \tfrac{1}{2} C \theta_0^2 \Rightarrow \omega_{max} = \sqrt{\dfrac{2 \times 4\times 10^{-3}}{1\times 10^{-3}}} = \sqrt{8} \approx 2{,}83\ rad/s$ (1,5 ن).

الطاقة الميكانيكية ثابتة، فتتوقف الساق عندما تعود $E_{pt}$ إلى قيمتها الابتدائية: $\theta = 0{,}4\ rad$ في الجهة الأخرى (1 ن).

التمرين الثاني

$E_{pe} = \tfrac{1}{2} \times 200 \times 0{,}1^2 = 1\ J$ (1 ن)؛ $T = k x = 200 \times 0{,}1 = 20\ N$ (1 ن).

$E_{pe}$ تتحول كلها إلى $E_c$ (1 ن): $\tfrac{1}{2} m v_B^2 = 1 \Rightarrow v_B = \sqrt{\dfrac{2}{0{,}5}} = 2\ m/s$ (1 ن).

(أ) $E_c$ تنقص، وعمل الاحتكاك يخرج من الجملة (1 ن).

(أ) $E_c$ تنقص حتى تنعدم و $E_{pp}$ تزداد من الصفر (1 ن).

يعود الجسم إلى $C$ بنفس الطاقة الحركية $0{,}5\ J$ (المستوي المائل أملس). على الجزء الخشن يقطع مسافة $d$ حتى يتوقف: $0{,}5 - f d = 0 \Rightarrow d = \dfrac{0{,}5}{0{,}5} = 1\ m = CB$ (1,5 ن). يتوقف إذن تماما عند $B$ (0,5 ن).

الطاقة الضائعة: $f \times (BC + CB) = 0{,}5 \times 2 = 1\ J$، وهي كل الطاقة الكامنة المرونية الابتدائية: الجملة في النهاية ساكنة على المرجع والنابض بطوله الأصلي (2 ن).

تخضع الكرة لقوتين: ثقلها $\vec{P}$ شاقولي نحو الأسفل (0,5 ن) ، ورد فعل المستوي $\vec{R}$ عمودي على المستوي المائل لانعدام الاحتكاك. (0,5 ن)

الجملة (كرة) تستقبل عمل الثقل $W_{AB}(\vec{P}) > 0$ ، وعمل $\vec{R}$ معدوم لأنها عمودية على الانتقال. الحصيلة: $E_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB}$ مع $E_{cA} = 0$ . (1 ن)

سلم الرسم: $1\ \mathrm{cm} \to 0{,}2\ \mathrm{s}$ و $1\ \mathrm{cm} \to 0{,}4\ \mathrm{J}$ . آخر نقطة من المنحنى: $t_B = 0{,}8\ \mathrm{s}$ و $E_{cB} = 4 \times 0{,}4 = 1{,}6\ \mathrm{J}$ . (1 ن)

$E_{cB} = \dfrac{1}{2}\,m\,v_B^2$ ومنه:

(1 ن)

من الحصيلة الطاقوية: $W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB} - E_{cA} = 1{,}6 - 0 = 1{,}6\ \mathrm{J}$ . (1 ن)

و $W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,h$ ومنه:

(1 ن)

الجزء BC

الجملة (كرة) تفقد طاقة بعمل قوة الاحتكاك $W_{BC}(\vec{f}) < 0$ ، وعملا $\vec{P}$ و $\vec{R}$ معدومان لأنهما عموديتان على الانتقال الأفقي. الحصيلة: $E_{cB} = E_{cC} + |W_{BC}(\vec{f})|$ . (1 ن)

$E_{cB} - f \cdot BC = E_{cC}$ ومنه:

(1 ن)

الجزء CD

الجملة (كرة + أرض) لا تتبادل عملا مع الوسط الخارجي (عمل $\vec{R}$ معدوم لأنها عمودية على المسار في كل لحظة)، فتتحول طاقتها الحركية إلى طاقة كامنة ثقالية: $E_{cC} + E_{ppC} = E_{cD} + E_{ppD}$ مع $E_{ppC} = 0$ و $E_{cD} = 0$ . (1 ن)

$E_{cC} = E_{ppD} = m\,g\,H$ ومنه:

(1 ن)

من الشكل: $H = r - r\cos\theta$ (0,5 ن) ، ومنه:

(1 ن)

إذن $\theta \approx 78{,}5^{\circ}$ . (0,5 ن)

سلم التنقيط المفصل

ملاحظة: تقبل كل طريقة حل صحيحة أخرى، وتقبل القيم المقروءة بيانيا في حدود دقة القراءة.

الجملة (جسم) تستقبل عمل الثقل $W_{AB}(\vec{P}) > 0$ (نزول)، وعمل $\vec{R}$ معدوم لأنها عمودية على المسار في كل لحظة. (1 ن)

$E_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB}$ ، مع $W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,R$ لأن $A$ على ارتفاع $R$ من $B$ : (0,5 ن)

(0,5 ن)

$v_A = \sqrt{v_B^2 - 2\,g\,R} = \sqrt{25 - 2 \times 10 \times 0{,}9} = \sqrt{7} \approx 2{,}65\ \mathrm{m/s}$

(1 ن)

من الشكل: $h_C = R - R\cos\alpha$ (0,5 ن) ، ومنه: $h_C = 0{,}9\,(1 - 0{,}5) = 0{,}45\ \mathrm{m}$ . (0,5 ن)

يخضع الجسم لقوتين: ثقله $\vec{P}$ شاقولي نحو الأسفل (0,5 ن) ، ورد فعل المسار $\vec{R}$ عمودي على المسار ومتجه نحو المركز لانعدام الاحتكاك. (0,5 ن)

الجملة (جسم) تفقد طاقة بعمل الثقل $W_{BC}(\vec{P}) = -m\,g\,h_C$ (صعود)، وعمل $\vec{R}$ معدوم: (0,5 ن)

(0,5 ن)

(0,5 ن)

من الشكلين: $v_x = 2\ \mathrm{m/s}$ ثابتة، و $v_y$ تتناقص خطيا من $3{,}46\ \mathrm{m/s}$ عند $C$ إلى $-4{,}58\ \mathrm{m/s}$ عند $E$ .

تحقق: $v_x = v_C\cos\alpha = 4 \times 0{,}5 = 2\ \mathrm{m/s}$ و $v_{y0} = v_C\sin\alpha = 4 \times 0{,}866 = 3{,}46\ \mathrm{m/s}$ .