منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثانية ثانوي

الطاقة الكامنة

أمثلة محلولة

التطبيق الأول - الطاقة الكامنة الثقالية ومرجعان مختلفان

كرة كتلتها $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ موجودة على ارتفاع $2\ \mathrm{m}$ من سطح الأرض فوق طاولة ارتفاعها $0{,}8\ \mathrm{m}$ . $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ . أحسب $E_{pp}$ بأخذ سطح الأرض ثمّ سطح الطاولة مرجعا، ثمّ التغيّر $\Delta E_{pp}$ عندما تسقط الكرة على الطاولة في الحالتين.

الحل

بأخذ سطح الأرض مرجعا :

E_{pp} = 0{,}5 \times 10 \times 2 = 10\ \mathrm{J}

بأخذ سطح الطاولة مرجعا :

E_{pp} = 0{,}5 \times 10 \times (2 - 0{,}8) = 6\ \mathrm{J}

عندما تسقط الكرة على الطاولة (بمرجع الطاولة) :

\Delta E_{pp} = 0 - 6 = - 6\ \mathrm{J}

نفس التغيّر $- 6\ \mathrm{J}$ في المرجعين ( $4 - 10 = - 6\ \mathrm{J}$ بمرجع الأرض)، و $W(\vec{P}) = + 6\ \mathrm{J}$ .

التطبيق الثاني - الطاقة الكامنة المرونية وتوتر نابض

نابض ثابت مرونته $k = 200 N/m$ طوله الأصلي $\ell _{0} = 15\ \mathrm{cm}$ . أحسب الطاقة الكامنة المرونية وشدّة التوتّر عندما يصبح طوله $\ell = 12\ \mathrm{cm}$ .

الحل

x = \ell _{0} - \ell = 0{,}03\ \mathrm{m}

E_{pe} = \tfrac{1}{2} \times 200 \times 0{,}03^{2} = 9\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

T = k x = 200 \times 0{,}03 = 6\ \mathrm{N}

التطبيق الثالث - الطاقة الكامنة الفتلية ومزدوجة الفتل

سلك فتل ثابته $C = 4\times 10^{-2}\ \mathrm{N}\cdot m/rad$ . نفتله بزاوية $\theta = 90^{\circ}$ . أحسب الطاقة الكامنة الفتلية وعزم مزدوجة الفتل.

الحل

\theta = \pi /2 \approx 1{,}57\ \mathrm{rad}

E_{pt} = \tfrac{1}{2} \times 4\times 10^{-2} \times 1{,}57^{2} \approx 4{,}9\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

\mathcal{M} = C \theta = 4\times 10^{-2} \times 1{,}57 \approx 6{,}3\times 10^{-2}\ \mathrm{N{\cdot}m}

التطبيق الرابع - نابض يقذف كرية نحو الأعلى

نضغط نابضا شاقوليا ( $k = 200 N/m$ ) بمقدار $x = 10\ \mathrm{cm}$ ونضع عليه كرية كتلتها $m = 50\ \mathrm{g}$ ثمّ نحرّره. $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ ، الاحتكاك مهمل. أوجد الارتفاع الأعظمي $H$ الذي تبلغه الكرية فوق موضعها الابتدائي.

الحل

الجملة (كرية + نابض + أرض)، المرجع : الموضع الابتدائي. في البداية $E_{c} = 0$ و $E_{pp} = 0$ ؛ في أعلى نقطة $E_{c} = 0$ والنابض بطوله الأصلي $(E_{pe} = 0)$ :

\tfrac{1}{2} k x^{2} = m g H \Rightarrow H = k x^{2} / (2 m g) = 200 \times 0{,}01 / (2 \times 0{,}05 \times 10) = 2\ \mathrm{m}

19 تمرينا متدرجا محلولا

سلسلة التمارين الكاملة للوحدة، مرتبة من الأسهل إلى الأصعب: الطاقة الكامنة الثقالية والمرجع، معايرة نابض والطاقة الكامنة المرونية، نواس الفتل، ثم مسائل في انحفاظ الطاقة تجمع النوابض والمستويات المائلة والمسارات الدائرية والاحتكاك. في آخر كل تمرين جدول «تحقق من نتائجك»، وكل حل يبدأ بتوجيه منهجي ويرفق بالحصائل الطاقوية.

التمرين 1 - متسلّق بين قمّتين

سهل

ترتفع قمّتا جبلَي إيفرست $(Everest)$ وأنابورنا $(Annapurna)$ على الترتيب بـ $8848\ \mathrm{m}$ و $8091\ \mathrm{m}$ فوق مستوى سطح البحر.

أحسب الطاقة الكامنة الثقالية للجملة (متسلّق + أرض) عندما يكون متسلّق كتلته $m = 80\ \mathrm{kg}$ في قمّة أنابورنا، بأخذ المستوي المرجعي : (أ) مستوى سطح البحر ؛ (ب) قمّة إيفرست.

يصعد نفس المتسلّق بعد ذلك إلى قمّة إيفرست.

أحسب تغيّر الطاقة الكامنة الثقالية بين القمّتين في كلّ من المرجعين السابقين.

ماذا تلاحظ ؟ ماذا تستنتج ؟

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{pp}\ (10^{6}\ J)$	$\Delta E_{pp}\ (10^{5}\ J)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

$h$ في $E_{pp} = mgh$ هو الارتفاع عن المستوي المرجعي : يكون سالبا إذا كان الجسم تحت هذا المستوي. أمّا التغيّر $\Delta E_{pp}$ فيُحسب كفرق بين حالتين، فلا يتعلّق بالمرجع.

(أ)

E_{pp} = m g h = 80 \times 10 \times 8091 \approx 6{,}47\times 10^{6}\ \mathrm{J}

المتسلّق تحت قمّة إيفرست بـ $8848 - 8091 = 757\ \mathrm{m}$ :

E_{pp} = 80 \times 10 \times (- 757) \approx - 6{,}06\times 10^{5}\ \mathrm{J}

(أ) مرجع سطح البحر :

\Delta E_{pp} = 80 \times 10 \times 8848 - 80 \times 10 \times 8091 = 6{,}06\times 10^{5}\ \mathrm{J}

مرجع قمّة إيفرست :

\Delta E_{pp} = 0 - (- 6{,}06\times 10^{5}) = 6{,}06\times 10^{5}\ \mathrm{J}

قيمة $E_{pp}$ تتغيّر بتغيّر المرجع (مقدار نسبي)، أمّا تغيّرها بين موضعين فلا يتعلّق بالمرجع. وهي موجبة لأنّ المتسلّق صعد.

انتبه : خطأ شائع

طاقة كامنة ثقالية سالبة ليست خطأ : معناها أنّ الجسم تحت المستوي المرجعي.

التمرين 2 - معايرة نابض

سهل

نعلّق بالطرف الحرّ لنابض مرن، حلقاته غير متلاصقة، أجساما مختلفة الكتلة $m$ ، ونقيس في كلّ مرّة استطالته $x$ عند التوازن :


$m (g)$	100	200	300	350	400
$x (cm)$	2	4	6	....	8

مثّل القوى المؤثّرة على الجسم المعلّق عند التوازن، واستنتج شدّة توتّر النابض $T$ بدلالة $m$ و $g$ .

أكمل الجدول بسطر $T (\mathrm{N})$ وارسم البيان $T = f(x)$ .

استنتج ثابت مرونة النابض $k$ ، ثمّ أكمل الخانة الفارغة.

أحسب الطاقة الكامنة المرونية المخزّنة في النابض عند تعليق الكتلة $m = 350\ \mathrm{g}$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$k\ (N/m)$	$x\ (cm)$	$E_{pe}\ (J)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

عند التوازن $\vec{T} + \vec{P} = \vec{0}$ ، ومنه $T = m g$ . البيان $T = f(x)$ مستقيم يمرّ بالمبدأ : ميله هو $k$ . ثمّ $E_{pe} = \tfrac{1}{2} k x^{2}$ مع $x$ بالمتر.

الجسم خاضع لثقله $\vec{P}$ (نحو الأسفل) وتوتّر النابض $\vec{T}$ (نحو الأعلى) : $T = P = m g$ .

$T (\mathrm{N})$ : $1 ; 2 ; 3 ; 3{,}5 ; 4$ . البيان T = f(x)

k = \Delta T / \Delta x = 4 / 0{,}08 = 50 N/m

الخانة الفارغة : $x = T / k = 3{,}5 / 50 = 0{,}07\ \mathrm{m} = 7\ \mathrm{cm}$ .

E_{pe} = \tfrac{1}{2} \times 50 \times 0{,}07^{2} \approx 0{,}12\ \mathrm{J}

التمرين 3 - مظلّي قبل فتح المظلّة

سهل

يقفز مظلّي كتلته (مع تجهيزه) $m = 80\ \mathrm{kg}$ من منطاد ساكن على ارتفاع $1 km$ من سطح الأرض، ولا يفتح مظلّته إلّا على ارتفاع $700\ \mathrm{m}$ . نهمل قبل فتح المظلّة كلّ الاحتكاكات ودافعة أرخميدس.

(أ) حدّد المستوي المرجعي الذي تختاره، ثمّ أحسب الطاقة الكامنة الثقالية للجملة (مظلّي + أرض) لحظة القفز.

أحسب الطاقة الميكانيكية للجملة في هذه اللحظة.

أحصِ القوى المؤثّرة على المظلّي قبل فتح المظلّة. ماذا تستنتج بخصوص الطاقة الميكانيكية للجملة (مظلّي + أرض) ؟

أحسب سرعة المظلّي لحظة فتح المظلّة.

نعطي : $g = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{pp0}\ (10^{5}\ J)$	$v\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

اختر المرجع (سطح الأرض) واكتبه صراحة. في غياب الاحتكاك تكون الجملة (مظلّي + أرض) معزولة طاقويا : $E_{m}$ ثابتة، وما تفقده من $E_{pp}$ يتحوّل إلى $E_{c}$ .

(أ) المرجع : سطح الأرض.

E_{pp0} = m g h_{0} = 80 \times 9{,}8 \times 1000 = 7{,}84\times 10^{5}\ \mathrm{J}

المنطاد ساكن، إذن $E_{c0} = 0$ :

E_{m0} = E_{c0} + E_{pp0} = 7{,}84\times 10^{5}\ \mathrm{J}

القوة الوحيدة هي الثقل $\vec{P}$ ، وهي قوة داخلية للجملة (مظلّي + أرض) : الجملة لا تتبادل طاقة مع الخارج، فـ $E_{m}$ تنحفظ.

E_{m1} = E_{m0} \Rightarrow \tfrac{1}{2} m v^{2} + m g h_{1} = m g h_{0}

v = \sqrt{2 g (h_{0} - h_{1})} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 300} \approx 76{,}7\ \mathrm{m/s}

أي حوالي $276\ \mathrm{km/h}$ .

التمرين 4 - نواس الفتل

سهل

ساق متجانسة معلّقة من مركزها بسلك فتل شاقولي ثابت فتله $C = 2\times 10^{-2}\ \mathrm{N}\cdot m/rad$ . عزم عطالة الساق بالنسبة لمحور السلك $J_{\Delta} = 5\times 10^{-4}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ . نُدير الساق في مستوٍ أفقي بزاوية $\theta _{m} = 90^{\circ}$ عن وضع توازنها ثمّ نتركها دون سرعة ابتدائية. نهمل كلّ الاحتكاكات.

شكل التمرين 4

أحسب الطاقة الكامنة الفتلية المخزّنة في الجملة (ساق + سلك) لحظة الترك، وعزم مزدوجة الفتل في هذه اللحظة.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (ساق + سلك) بين لحظة الترك ولحظة مرور الساق بوضع التوازن.

أحسب السرعة الزاوية للساق لحظة مرورها بوضع التوازن.

عند أيّ زاوية فتل $\theta$ تكون الطاقة الحركية للساق مساوية لطاقتها الكامنة الفتلية ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{pt}\ (10^{-2}\ J)$	$\omega\ (rad/s)$	$\theta\ (^{\circ})$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

نواس الفتل هو «النابض الدوراني» : $E_{pt} = \tfrac{1}{2} C \theta ^{2}$ مقابل $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ ، و $E_{c} = \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2}$ مقابل $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ . الزاوية بالراديان دائما.

\theta _{m} = \pi /2 \approx 1{,}57\ \mathrm{rad}

E_{pt} = \tfrac{1}{2} C \theta _{m}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2\times 10^{-2} \times 1{,}57^{2} \approx 2{,}47\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

\mathcal{M} = C \theta _{m} = 2\times 10^{-2} \times 1{,}57 \approx 3{,}14\times 10^{-2}\ \mathrm{N{\cdot}m}

حل التمرين 4

\tfrac{1}{2} C \theta _{m}^{2} = \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} \Rightarrow \omega = \theta _{m} \sqrt{C / J_{\Delta}} = 1{,}57 \times \sqrt{40} \approx 9{,}93\ \mathrm{rad/s}

الطاقة الميكانيكية ثابتة : $E_{c} + E_{pt} = \tfrac{1}{2} C \theta _{m}^{2}$ . وعندما تتساوى الطاقتان :

2 \times \tfrac{1}{2} C \theta ^{2} = \tfrac{1}{2} C \theta _{m}^{2}

\theta = \theta _{m} / \sqrt{2} \approx 1{,}11\ \mathrm{rad} \approx 63{,}6^{\circ}

التمرين 5 - نابض شاقولي ثمّ أفقي

سهل

I⁻ نابض مرن ثابت مرونته $k = 80 N/m$ وطوله الأصلي $\ell _{0} = 20\ \mathrm{cm}$ . نعلّق به جسما صلبا $(S)$ كتلته $m = 200\ \mathrm{g}$ فيصبح طوله $\ell$ (الشكل 1). II⁻ نثبّت نفس النابض أفقيا من أحد طرفيه بجدار، ونضغطه بواسطة الجسم $(S)$ حتى يصبح طوله $\ell ' = 16\ \mathrm{cm}$ (الموضع $A'$ ، الشكل 2)، ثمّ نتركه دون سرعة ابتدائية. يغادر الجسم النابض عند الموضع $A$ (النابض بطوله الأصلي). الاحتكاك مهمل بين $A'$ و $A$ .

شكل التمرين 5

(الجزء I) مثّل القوى المؤثّرة على $(S)$ واكتب شرط توازنه، ثمّ استنتج شدّة توتّر النابض وطوله $\ell$ .

(الجزء II) (أ) أحسب الطاقة الكامنة المرونية المخزّنة في النابض في الموضع $A'$ ، وشدّة القوة الضاغطة اللازمة لإبقائه فيه.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + نابض) بين $A'$ و $A$ ثمّ أثبت أنّ $v_{A} = 0{,}8\ \mathrm{m/s}$ .

يواصل الجسم حركته على الجزء الأفقي $AB$ فيتوقّف عند $B$ تحت تأثير قوة احتكاك ثابتة شدّتها $f = 0{,}32\ \mathrm{N}$ . اكتب معادلة انحفاظ الطاقة للجملة (جسم) بين $A$ و $B$ ثمّ استنتج الطول $AB$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$\ell\ (cm)$	$E_{pe}\ (10^{-2}\ J)$	$AB\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

في الجزء I : شرط التوازن $T = P$ ثمّ $x = T/k$ . في الجزء II : الجملة (جسم + نابض) دون احتكاك، فـ $E_{pe}$ تتحوّل كلّها إلى $E_{c}$ . ومع الاحتكاك نختار الجملة (جسم) : الاحتكاك عمل مقاوم يخرج من الجملة.

$(S)$ خاضع لـ $\vec{P}$ و $\vec{T}$ : $\vec{T} + \vec{P} = \vec{0}$ ، ومنه :

T = m g = 0{,}2 \times 10 = 2\ \mathrm{N}

x = T / k = 2 / 80 = 0{,}025\ \mathrm{m} \Rightarrow \ell = \ell _{0} + x = 22{,}5\ \mathrm{cm}

(أ) الانضغاط $x' = \ell _{0} - \ell ' = 4\ \mathrm{cm} = 0{,}04\ \mathrm{m}$ :

E_{pe} = \tfrac{1}{2} \times 80 \times 0{,}04^{2} = 6{,}4\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

F = k x' = 80 \times 0{,}04 = 3{,}2\ \mathrm{N}

حل التمرين 5

E_{peA'} = E_{cA} \Rightarrow v_{A} = \sqrt{k x'^{2} / m} = \sqrt{0{,}064 \times 2 / 0{,}2} = 0{,}8\ \mathrm{m/s}

حل التمرين 5

E_{cA} - f \cdot AB = 0 \Rightarrow AB = E_{cA} / f = 0{,}064 / 0{,}32 = 0{,}2\ \mathrm{m}

التمرين 6 - نواس ينقطع خيطه

سهل

نواس بسيط يتكوّن من كرية نقطية كتلتها $m = 100\ \mathrm{g}$ وخيط مهمل الكتلة عديم الامتطاط طوله $L = 1{,}6\ \mathrm{m}$ . نقطة التعليق $O$ على ارتفاع $H = 2{,}6\ \mathrm{m}$ من سطح الأرض. نزيح الخيط عن الشاقول بزاوية $\alpha = 60^{\circ}$ (الموضع $A$ ) ونتركه دون سرعة ابتدائية. نهمل الاحتكاكات ومقاومة الهواء.

شكل التمرين 6

(أ) مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرية) بين الموضعين $A$ و $B$ (الشاقول).

أحسب الطاقة الحركية للكرية عند $B$ ، واستنتج سرعتها.

لحظة مرور الكرية بـ $B$ ينقطع الخيط فجأة، فتسقط الكرية على الأرض عند $C$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرية + أرض) بين $B$ و $C$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أحسب الطاقة الحركية للكرية عند $C$ ، ثمّ سرعتها.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$E_{cC}\ (J)$	$v_C\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

للجملة (كرية) نكتب $E_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB}$ (عمل توتّر الخيط معدوم لأنّه عمودي على السرعة). ارتفاع النزول في النواس : $h = L (1 - \cos \alpha )$ .

(أ) حل التمرين 6

E_{cB} = m g L (1 - \cos \alpha ) = 0{,}1 \times 10 \times 1{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}8\ \mathrm{J}

v_{B} = \sqrt{2 E_{cB} / m} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m/s}

(أ) حل التمرين 6

المرجع سطح الأرض، و $B$ على الارتفاع $H - L = 1\ \mathrm{m}$ :

E_{cC} = E_{cB} + m g (H - L) = 0{,}8 + 0{,}1 \times 10 \times 1 = 1{,}8\ \mathrm{J}

v_{C} = \sqrt{2 \times 1{,}8 / 0{,}1} = 6\ \mathrm{m/s}

انتبه : خطأ شائع

بعد انقطاع الخيط لا تنزل الكرية شاقوليا من $B$ ، لكنّ ذلك لا يهمّ : الطاقة تتعلّق بفرق الارتفاع فقط، وليس بشكل المسار.

التمرين 7 - جسم يسقط على نابض

متوسط

جسم صلب $(S)$ كتلته $m = 200\ \mathrm{g}$ موجود في الموضع $A$ على ارتفاع $h = 12\ \mathrm{cm}$ فوق الطرف الحرّ $B$ لنابض شاقولي ثابت مرونته $k = 200 N/m$ . نترك الجسم يسقط دون سرعة ابتدائية فيلتحم بالنابض ويضغطه حتى الموضع $C$ حيث تنعدم سرعته. نهمل الاحتكاكات وكتلة الصفيحة. المستوي الأفقي المارّ بـ $B$ مرجع للطاقة الكامنة الثقالية.

شكل التمرين 7

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + نابض + أرض) بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة واستنتج سرعة الجسم عند $B$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية لنفس الجملة بين $B$ و $C$ ، ثمّ بيّن أنّ أكبر انضغاط $x$ يحقّق المعادلة : $100 x^{2} - 2 x - 0{,}24 = 0$ .

أحسب $x$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$x\ (cm)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

بين $B$ و $C$ يتغيّر خزّانان معا : ينضغط النابض $(E_{pe} ↑)$ وينزل الجسم تحت المرجع $(E_{pp} ↓)$ . لا تنسَ الحدّ $m g x$ .

حل التمرين 7

m g h = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}12} \approx 1{,}55\ \mathrm{m/s}

حل التمرين 7

E_{cB} + 0 + 0 = 0 + \tfrac{1}{2} k x^{2} - m g x

مع $E_{cB} = m g h = 0{,}24\ \mathrm{J}$ :

100 x^{2} - 2 x - 0{,}24 = 0

\Delta = 4 + 96 = 100 \Rightarrow x = (2 + 10) / 200 = 0{,}06\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{cm}

(الحلّ السالب مرفوض).

انتبه : خطأ شائع

في الحصيلة الأولى الطاقة الكامنة الثقالية في $B$ معدومة (المرجع)، وفي الثانية تصبح سالبة في $C$ : $E_{ppC} = - m g x$ .

التمرين 8 - عربة ونابض على مستوٍ مائل

متوسط

عربة كتلتها $m = 2\ \mathrm{kg}$ متوقّفة عند النقطة $A$ من مستوٍ مائل ميله 5 % (أي $\sin \alpha = 0{,}05$ ). نتركها دون سرعة ابتدائية فتتحرّك على خطّ الميل الأعظم وتصطدم في $B$ بصفيحة مهملة الكتلة مثبّتة بالطرف الحرّ لنابض ثابت مرونته $k = 820 N/m$ ، حيث $AB = 4\ \mathrm{m}$ . نهمل كلّ الاحتكاكات. المستوي الأفقي المارّ بـ $B$ مرجع للطاقة الكامنة الثقالية.

شكل التمرين 8

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (عربة + أرض)، أحسب سرعة العربة لحظة اصطدامها بالصفيحة.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (عربة + نابض + أرض) بين $B$ وموضع الانضغاط الأعظمي، ثمّ أحسب أكبر انضغاط $x$ للنابض.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$x\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

ميل $5 \%$ يعني $\sin \alpha = 0{,}05$ . أثناء الانضغاط تواصل العربة النزول على المستوي : تتحوّل $E_{c}$ و $E_{pp}$ معا إلى $E_{pe}$ .

m g \cdot AB \cdot \sin \alpha = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 \times 10 \times 4 \times 0{,}05} = 2\ \mathrm{m/s}

حل التمرين 8

\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2} - m g x \sin \alpha \Rightarrow 410 x^{2} - x - 4 = 0

x = (1 + \sqrt{6561}) / 820 = (1 + 81) / 820 = 0{,}1\ \mathrm{m}

التمرين 9 - مستوٍ خشن ثمّ سقوط

متوسط

ينزلق جسم صلب $(S)$ نعتبره نقطيا، كتلته $m = 100\ \mathrm{g}$ ، على مسار $ABCD$ واقع في مستوٍ شاقولي : $AB$ مستوٍ مائل خشن يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، طوله $AB = 60\ \mathrm{cm}$ ؛ $BC$ مستوٍ أفقي خشن. يتحرّك الجسم من $A$ إلى $B$ بسرعة ثابتة $v = 6\ \mathrm{m/s}$ .

شكل التمرين 9

(أ) مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $B$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أوجد شدّة قوة الاحتكاك $f$ (نعتبرها ثابتة وموازية للمسار).

يواصل الجسم حركته على $BC$ تحت تأثير قوة احتكاك لها نفس الشدّة $f$ ، فيبلغ $C$ بسرعة $v_{C} = 4\ \mathrm{m/s}$ . أحسب المسافة $BC$ .

يغادر الجسم المستوي عند $C$ ليسقط عند النقطة $D$ من سطح الأرض بسرعة $v_{D} = 7\ \mathrm{m/s}$ (مقاومة الهواء مهملة).

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + أرض) بين $C$ و $D$ .

أحسب الارتفاع $h$ للنقطة $C$ عن سطح الأرض.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$f\ (N)$	$BC\ (m)$	$h\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

«سرعة ثابتة» تعني $\Delta E_{c} = 0$ : الطاقة التي يقدّمها الثقل يستهلكها الاحتكاك كلّها. على المستوي الأفقي عمل الثقل معدوم. في السقوط نختار الجملة (جسم + أرض) دون احتكاك.

(أ) حل التمرين 9

0 = m g \cdot AB \cdot \sin \alpha - f \cdot AB \Rightarrow f = m g \sin \alpha = 0{,}1 \times 10 \times 0{,}5 = 0{,}5\ \mathrm{N}

\tfrac{1}{2} m v_{C}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} - f \cdot BC \Rightarrow BC = m (v_{B}^{2} - v_{C}^{2}) / (2 f) = 0{,}1 \times 20 / 1 = 2\ \mathrm{m}

(أ) حل التمرين 9

\tfrac{1}{2} m v_{C}^{2} + m g h = \tfrac{1}{2} m v_{D}^{2} \Rightarrow h = (v_{D}^{2} - v_{C}^{2}) / 2g = (49 - 16) / 20 = 1{,}65\ \mathrm{m}

التمرين 10 - مسار دائري ونابض

متوسط

نحرّر دون سرعة ابتدائية كرية كتلتها $m = 100\ \mathrm{g}$ من الموضع $M$ لمسار دائري أملس $AC$ مركزه $O$ ونصف قطره $R = 90\ \mathrm{cm}$ ، حيث $\alpha = 60^{\circ}$ الزاوية بين $OM$ والشاقول $OC$ . تواصل الكرية حركتها على المسار الأفقي الأملس $CD$ ، ثمّ تلتقي في $D$ بنابض ثابت مرونته $k = 450 N/m$ فتضغطه حتى تتوقّف عند $E$ .

شكل التمرين 10

(أ) مثّل القوى المؤثّرة على الكرية أثناء الانتقال $MC$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرية) بين $M$ و $C$ ، ثمّ أحسب سرعتها عند $C$ .

استنتج سرعة الكرية عند $D$ . علّل.

(أ) مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرية + نابض) بين $D$ و $E$ ، واكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

استنتج المسافة $x$ التي ينضغط بها النابض.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_C\ (m/s)$	$x\ (cm)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

المسار أملس : رد فعل المسار عمودي على السرعة فعمله معدوم. الارتفاع المقطوع على قوس : $R (1 - \cos \alpha )$ حيث $\alpha$ مقيسة من الشاقول.

(أ) الكرية خاضعة لثقلها $\vec{P}$ ولردّ فعل المسار $\vec{R}$ العمودي عليه (نحو المركز $O$ ). (ب) حل التمرين 10

\tfrac{1}{2} m v_{C}^{2} = m g R (1 - \cos \alpha ) \Rightarrow v_{C} = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}9 \times 0{,}5} = 3\ \mathrm{m/s}

على $CD$ الأفقي الأملس، الثقل ورد الفعل عموديان على الانتقال : $\Sigma W = 0$ ، إذن $v_{D} = v_{C} = 3\ \mathrm{m/s}$ .

(أ) حل التمرين 10

\tfrac{1}{2} m v_{D}^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2}

x = v_{D} \sqrt{m / k} = 3 \times \sqrt{0{,}1 / 450} \approx 4{,}5\times 10^{-2}\ \mathrm{m}

التمرين 11 - كرة تدفع نواسا

متوسط

تبدأ كرة نقطية كتلتها $m = 100\ \mathrm{g}$ حركتها من السكون في القمّة $A$ لمستوٍ مائل طوله $AB = 2\ \mathrm{m}$ يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، ثمّ تواصل حركتها على مستوٍ أفقي طوله $BC = 3\ \mathrm{m}$ فتصطدم في $C$ بكرة نواس بسيط ساكن، كتلتها $m' = 200\ \mathrm{g}$ وطول خيطه $\ell = 1\ \mathrm{m}$ . نهمل الاحتكاكات.

شكل التمرين 11

(أ) أوجد عبارة عمل ثقل الكرة بين $A$ و $B$ ثمّ أحسب قيمته.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرة) بين $A$ و $B$ ، ثمّ استنتج طاقتها الحركية عند $B$ ثمّ عند $C$ .

نفترض أنّ كرة النواس تكتسب كلّ الطاقة الحركية للكرة أثناء الصدم.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرة النواس + أرض) بين $C$ وأعلى موضع $D$ تبلغه.

اكتب معادلة انحفاظ الطاقة ثمّ أحسب الارتفاع الأعظمي $h_{D}$ .

استنتج الزاوية الأعظمية $\beta$ التي ينحرف بها الخيط عن الشاقول.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{cC}\ (J)$	$h_D\ (m)$	$\beta\ (^{\circ})$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

عمل الثقل لا يتعلّق بالمسار : $W_{AB}(\vec{P}) = m g \cdot AB \cdot \sin \alpha$ . في النواس : $h_{D} = \ell (1 - \cos \beta )$ ، ومنه $\cos \beta = 1 - h_{D} / \ell$ .

(أ)

W_{AB}(\vec{P}) = m g \cdot AB \cdot \sin \alpha = 0{,}1 \times 10 \times 2 \times 0{,}5 = 1\ \mathrm{J}

حل التمرين 11 $E_{cB} = W_{AB}(\vec{P}) = 1\ \mathrm{J}$ ؛ وعلى $BC$ الأفقي الأملس $\Sigma W = 0$ ، ومنه $E_{cC} = 1\ \mathrm{J}$ .

(أ) حل التمرين 11

E_{cC} = m' g h_{D} \Rightarrow h_{D} = 1 / (0{,}2 \times 10) = 0{,}5\ \mathrm{m}

\cos \beta = 1 - 0{,}5 / 1 = 0{,}5 \Rightarrow \beta = 60^{\circ}

التمرين 12 - نواس يضغط نابضا

متوسط

نواس بسيط يتكوّن من كرية نقطية كتلتها $m = 50\ \mathrm{g}$ وخيط طوله $\ell = 0{,}9\ \mathrm{m}$ . نزيحه عن وضع توازنه الشاقولي بزاوية $\theta = 60^{\circ}$ ثمّ نتركه دون سرعة ابتدائية من الموضع $A$ . لحظة مروره بوضع التوازن $B$ يصطدم بالطرف الحرّ لنابض أفقي ثابت مرونته $k = 100 N/m$ ، فينضغط النابض بمقدار $x$ حتى الموضع $C$ . نهمل كلّ أشكال ضياع الطاقة.

شكل التمرين 12

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (كرية + نابض + أرض) بين $A$ و $B$ ، ثمّ بين $B$ و $C$ .

أعط عبارة السرعة عند $B$ بدلالة $g$ و $\ell$ و $\theta$ ، ثمّ أحسبها.

أحسب مقدار انضغاط النابض $x$ .

استنتج شدّة القوة التي يؤثّر بها النابض على الكرية في الموضع $C$ ، ومثّلها.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$x\ (cm)$	$T\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

مرحلتان : النواس (تحوّل $E_{pp}$ إلى $E_{c}$ )، ثمّ النابض (تحوّل $E_{c}$ إلى $E_{pe}$ ). وفي $C$ يكون النابض منضغطا فيؤثّر بقوة نحو خارجه.

حل التمرين 12

v_{B} = \sqrt{2 g \ell (1 - \cos \theta )} = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}9 \times 0{,}5} = 3\ \mathrm{m/s}

E_{cB} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}05 \times 3^{2} = 0{,}225\ \mathrm{J} = \tfrac{1}{2} k x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{0{,}45 / 100} \approx 6{,}7\times 10^{-2}\ \mathrm{m}

T = k x = 100 \times 0{,}067 \approx 6{,}7\ \mathrm{N}

أفقية، جهتها نحو خارج النابض (معاكسة لانضغاطه).

التمرين 13 - قراءة بيان طاقوي

متوسط

الجزء الأول : نترك عربة كتلتها $m = 100\ \mathrm{g}$ تنحدر دون سرعة ابتدائية من الموضع $A$ لمستوٍ مائل خشن طوله $AB = 50\ \mathrm{cm}$ يميل عن الأفق بزاوية $\alpha$ . يمثّل البيان تغيّرات الطاقة الكامنة الثقالية للجملة (عربة + أرض) بدلالة الطاقة الحركية للعربة أثناء الانتقال من $A$ إلى $B$ (المستوي الأفقي المارّ بـ $B$ مرجع).

شكل التمرين 13

مثّل القوى الخارجية المؤثّرة على العربة بين $A$ و $B$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (عربة + أرض) بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

بالاعتماد على البيان : (أ) أحسب الارتفاع $h$ واستنتج $\sin \alpha$ ؛ (ب) أحسب سرعة العربة عند $B$ ؛ (ج) أحسب عمل قوة الاحتكاك بين $A$ و $B$ ؛ (د) استنتج شدّة قوة الاحتكاك $f$ (ثابتة).

الجزء الثاني : تواصل العربة حركتها على مستوٍ أفقي خشن $BC$ تحت تأثير نفس قوة الاحتكاك فتتوقّف عند $C$ .

مثّل القوى المؤثّرة على العربة بين $B$ و $C$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة للجملة (عربة).

أحسب المسافة $BC$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$h\ (cm)$	$v_B\ (m/s)$	$f\ (N)$	$BC\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

على البيان : $E_{pp}$ عند $E_{c} = 0$ هي $E_{ppA}$ ، و $E_{c}$ عند $E_{pp} = 0$ هي $E_{cB}$ . الفرق بين ما فقدته الجملة من $E_{pp}$ وما اكتسبته من $E_{c}$ هو ما ضيّعه الاحتكاك.

الثقل $\vec{P}$ ، ورد فعل المستوي $\vec{R}$ المائل عن الناظم (المستوي خشن) نحو الخلف.

حل التمرين 13

E_{ppA} + 0 - f \cdot AB = E_{cB} + 0

(أ)

E_{ppA} = 6\times 10^{-2}\ \mathrm{J} \Rightarrow h = E_{ppA} / (m g) = 0{,}06 / 1 = 6\ \mathrm{cm}

؛ $\sin \alpha = h / AB = 0{,}12$ ( $\alpha \approx 6{,}9^{\circ}$ ). (ب)

E_{cB} = 4\times 10^{-2}\ \mathrm{J} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 \times 0{,}04 / 0{,}1} \approx 0{,}89\ \mathrm{m/s}

W(f) = E_{cB} - E_{ppA} = 0{,}04 - 0{,}06 = - 2\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

f = |W(f)| / AB = 0{,}02 / 0{,}5 = 4\times 10^{-2}\ \mathrm{N}

الثقل $\vec{P}$ ورد الفعل $\vec{R}$ (له مركّبة $\vec{f}$ معاكسة للحركة). $E_{cB} - f \cdot BC = 0$ .

BC = E_{cB} / f = 0{,}04 / 0{,}04 = 1\ \mathrm{m}

التمرين 14 - نابض، احتكاك، ثمّ سقوط

متوسط

يُقذف جسم $(S)$ كتلته $m = 500\ \mathrm{g}$ من الموضع $A$ بسرعة $v_{A} = 4\ \mathrm{m/s}$ على سطح أفقي أملس نحو نابض أفقي ثابت مرونته $k = 250 N/m$ ، فيصطدم بطرفه الحرّ في $B$ وتنعدم سرعته عند $C$ ، ثمّ يدفعه النابض في الاتّجاه المعاكس.

شكل التمرين 14

(أ) مثّل القوى المؤثّرة على الجسم بين $A$ و $B$ ، واستنتج طبيعة حركته. علّل.

استنتج سرعته $v_{B}$ .

(أ) مثّل القوى الخارجية المؤثّرة على الجسم في الموضع $C$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + نابض) بين $B$ و $C$ ، ثمّ أحسب $E_{peC}$ .

أحسب الانضغاط الأعظمي $x$ ، واستنتج شدّة القوة التي يؤثّر بها النابض على الجسم في $C$ .

يعود الجسم فيمرّ بـ $A$ بنفس السرعة $4\ \mathrm{m/s}$ ، ثمّ يقطع جزءا خشنا $AD = 37{,}5\ \mathrm{cm}$ تحت تأثير قوة احتكاك ثابتة معيقة شدّتها $f = 1\ \mathrm{N}$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $D$ ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

أوجد السرعة $v_{D}$ .

يقطع الجسم بعد ذلك الجزء الأملس $DD'$ ثمّ يغادر الطاولة عند $D'$ ليصل إلى سطح الأرض عند $E$ بسرعة $v_{E} = 4{,}5\ \mathrm{m/s}$ (مقاومة الهواء مهملة).

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + أرض) بين $D$ و $E$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

استنتج ارتفاع الطاولة $h$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$x\ (m)$	$v_D\ (m/s)$	$h\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

سطح أملس، إذن $\Sigma W = 0$ والحركة مستقيمة منتظمة. ثمّ في كلّ مرحلة : أحدّد الجملة، الخزّانات، والأعمال الخارجية. الاحتكاك يُكتب عملا $- f \cdot d$ للجملة (جسم).

(أ) $\vec{P}$ و $\vec{R}$ متعاكستان ومتساويتان في الشدّة : $\Sigma \vec{F} = \vec{0}$ ، فالحركة مستقيمة منتظمة (مبدأ العطالة). (ب) $v_{B} = v_{A} = 4\ \mathrm{m/s}$ .

(أ) الثقل $\vec{P}$ ، رد الفعل $\vec{R}$ ، وقوة النابض $\vec{T}$ نحو خارج النابض (عكس الانضغاط). (ب) حل التمرين 14

E_{peC} = E_{cB} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 4^{2} = 4\ \mathrm{J}

x = \sqrt{2 E_{peC} / k} = \sqrt{8 / 250} \approx 0{,}179\ \mathrm{m}

T = k x = 250 \times 0{,}179 \approx 44{,}7\ \mathrm{N}

(أ) حل التمرين 14

E_{cA} - f \cdot AD = E_{cD}

E_{cD} = 4 - 1 \times 0{,}375 = 3{,}625\ \mathrm{J} \Rightarrow v_{D} = \sqrt{2 \times 3{,}625 / 0{,}5} \approx 3{,}81\ \mathrm{m/s}

(أ) حل التمرين 14 على $DD'$ الأملس تبقى $E_{cD'} = E_{cD}$ :

E_{cD'} + m g h = E_{cE}

h = (v_{E}^{2} - v_{D}^{2}) / 2g = (20{,}25 - 14{,}5) / 20 \approx 0{,}29\ \mathrm{m}

التمرين 15 - نابض في أسفل مستوٍ مائل

صعب

نابض ثابت مرونته $k = 67{,}5 N/m$ ، أحد طرفيه مثبّت أسفل مستوٍ مائل أملس يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، وطرفه الحرّ في الموضع $B$ . نضغطه بواسطة جسم $(S)$ نقطي كتلته $m = 100\ \mathrm{g}$ بمقدار $x_{0} = 20\ \mathrm{cm}$ على خطّ الميل الأعظم (الموضع $A$ ) ثمّ نتركه دون سرعة ابتدائية، فينطلق الجسم من $A$ مارّا بـ $B$ إلى $C$ أعلى المستوي. المستوي الأفقي المارّ بـ $A$ مرجع للطاقة الكامنة الثقالية.

شكل التمرين 15

(أ) مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + نابض + أرض) بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

أحسب السرعة عند $B$ .

يبلغ الجسم $C$ بالسرعة $v_{C} = 3\ \mathrm{m/s}$ . مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $B$ و $C$ ، ثمّ أحسب المسافة $BC$ .

يغادر الجسم المستوي في $C$ ويواصل حركته في الهواء مارّا بالذروة $D$ ليصطدم بالأرض في $E$ . ارتفاع الذروة عن الأرض $h_{D} = 3\ \mathrm{m}$ ، ومقاومة الهواء مهملة.

مثّل كيفيا شعاعي السرعة في $C$ و $D$ .

نقبل أنّ المركّبة الأفقية لشعاع السرعة تبقى ثابتة أثناء الحركة في الهواء. أحسب $v_{D}$ ، ثمّ $v_{E}$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$BC\ (m)$	$v_E\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

المرجع هو الأفقي المارّ بـ $A$ : في $B$ يكون الجسم قد صعد $x_{0} \sin \alpha$ . في الهواء : المركّبة الأفقية للسرعة ثابتة، فسرعة الذروة $v_{D} = v_{C} \cos \alpha$ ، ثمّ ننتقل من $D$ إلى $E$ بانحفاظ الطاقة.

(أ) حل التمرين 15

\tfrac{1}{2} k x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g x_{0} \sin \alpha

\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} = 1{,}35 - 0{,}1 = 1{,}25\ \mathrm{J} \Rightarrow v_{B} = 5\ \mathrm{m/s}

حل التمرين 15

\tfrac{1}{2} m v_{C}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} - m g \cdot BC \cdot \sin \alpha \Rightarrow BC = (25 - 9) / (2 \times 10 \times 0{,}5) = 1{,}6\ \mathrm{m}

(أ) في $C$ : $\vec{v}_{C}$ موازٍ للمستوي المائل (يصنع $30^{\circ}$ مع الأفق) ؛ في $D$ : $\vec{v}_{D}$ أفقي. (ب)

v_{D} = v_{C} \cos \alpha = 3 \times 0{,}866 \approx 2{,}6\ \mathrm{m/s}

\tfrac{1}{2} m v_{E}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{D}^{2} + m g h_{D} \Rightarrow v_{E} = \sqrt{6{,}75 + 60} \approx 8{,}2\ \mathrm{m/s}

انتبه : خطأ شائع

في الذروة السرعة ليست معدومة : تنعدم مركّبتها الشاقولية فقط.

التمرين 16 - قاذف بنابض

صعب

نابض أفقي ثابت مرونته $k = 240 N/m$ ، أحد طرفيه مثبّت. نضغطه بواسطة جسم $(S)$ نقطي كتلته $m = 500\ \mathrm{g}$ بمقدار $x_{0}$ ثمّ نتركه دون سرعة ابتدائية، فينطلق الجسم من $A$ على مسار أفقي ثمّ على ربع دائرة شاقولي مركزه $O$ ونصف قطره $r = 1\ \mathrm{m}$ . عند $B$ ، أعلى ربع الدائرة (على الارتفاع $r$ من المسار الأفقي)، يكون شعاع سرعته شاقوليا، فيواصل حركته في الهواء نحو الأعلى حتى الموضع $C$ . نهمل كلّ الاحتكاكات، والمسار الأفقي مرجع للطاقة الكامنة الثقالية.

شكل التمرين 16

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (جسم + نابض + أرض) بين $A$ و $B$ ، أوجد الانضغاط $x_{0}$ اللازم ليبلغ الجسم $B$ بسرعة $v_{B} = 10\ \mathrm{m/s}$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على نفس الجملة بين $A$ و $C$ ، أوجد أقصى ارتفاع $h_{C}$ يبلغه الجسم بالنسبة للمسار الأفقي.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$x_0\ (m)$	$h_C\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

الجملة (جسم + نابض + أرض) معزولة طاقويا : $E_{peA} = E_{cB} + E_{ppB} = E_{ppC}$ . في $C$ السرعة معدومة لأنّ الجسم يتحرّك شاقوليا.

حل التمرين 16

\tfrac{1}{2} k x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g r = 25 + 5 = 30\ \mathrm{J}

x_{0} = \sqrt{2 \times 30 / 240} = 0{,}5\ \mathrm{m}

\tfrac{1}{2} k x_{0}^{2} = m g h_{C} \Rightarrow h_{C} = 30 / (0{,}5 \times 10) = 6\ \mathrm{m}

التمرين 17 - دفع ثمّ صعود

صعب

نطبّق على جسم $(S)$ ساكن كتلته $m = 5\ \mathrm{kg}$ قوة ثابتة أفقية $\vec{F}$ على طول المسار $AB$ فقط، فيواصل حركته على المسار $BCD$ : $AB$ مستقيم أفقي طوله $d$ ؛ $BC$ قوس من دائرة نصف قطرها $r = 2\ \mathrm{m}$ يحصر الزاوية $\theta = 30^{\circ}$ ؛ $CD$ مستقيم مائل. الاحتكاكات مهملة على طول المسار، و $D$ على الارتفاع $h$ من $AB$ .

شكل التمرين 17

مثّل القوى المؤثّرة على الجسم خلال المسار $AB$ .

(أ) مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $B$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أثبت أنّ : $v_{B} = \sqrt{2 F d / m}$ .

يصل الجسم إلى $D$ بسرعة منعدمة.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + أرض) بين $B$ و $D$ .

أوجد عبارة $v_{B}$ بدلالة $h$ و $g$ .

استنتج عبارة $F$ بدلالة $m$ و $g$ و $h$ و $d$ ، ثمّ أحسبها من أجل $d = 0{,}1\ \mathrm{m}$ و $h = 2{,}8\ \mathrm{m}$ .

أحسب السرعة $v_{C}$ عند $C$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$F\ (N)$	$v_C\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

على $AB$ : $\vec{F}$ هي القوة الوحيدة التي تعمل ( $W(\vec{P}) = 0$ ). من $B$ إلى $D$ : تحوّل $E_{c}$ إلى $E_{pp}$ . ارتفاع $C$ : $r (1 - \cos \theta )$ .

الثقل $\vec{P}$ ، رد الفعل $\vec{R}$ (عمودي، لا احتكاك) والقوة $\vec{F}$ الأفقية.

(أ) حل التمرين 17

0 + F \cdot d = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 F d / m}

(أ) حل التمرين 17

\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} = m g h \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 g h}

2 F d / m = 2 g h \Rightarrow F = m g h / d = 5 \times 10 \times 2{,}8 / 0{,}1 = 1{,}4\times 10^{3}\ \mathrm{N}

v_{C} = \sqrt{v_{B}^{2} - 2 g r (1 - \cos \theta )} = \sqrt{56 - 5{,}36} \approx 7{,}1\ \mathrm{m/s}

التمرين 18 - مسار مركّب

صعب

جسم صلب $(S)$ كتلته $m = 200\ \mathrm{g}$ ينزلق على المسار $ABCD$ : $AB$ مستقيم أفقي طوله $d = 2\ \mathrm{m}$ ؛ $BC$ جزء دائري مركزه $O$ ونصف قطره $r = 3\ \mathrm{m}$ ، النقطة $B$ أعلاه ( $OB$ شاقولي) و $\alpha = 60^{\circ}$ الزاوية بين $OC$ والأفق ؛ $CD$ مستقيم مائل طوله $CD = 2\ \mathrm{m}$ يميل عن الأفق بـ $30^{\circ}$ . نرسل الجسم من $A$ بسرعة $v_{A} = 3\ \mathrm{m/s}$ فيصل إلى $B$ بسرعة $v_{B} = 2\ \mathrm{m/s}$ .

شكل التمرين 18

فسّر تناقص سرعة الجسم، ثمّ مثّل القوى المؤثّرة عليه خلال $AB$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $B$ ، ثمّ أحسب مجموع أعمال القوى المؤثّرة عليه.

قوى الاحتكاك تكافئ قوة $\vec{f}$ ثابتة موازية لـ $AB$ . أوجد شدّتها.

نهمل الاحتكاكات على $BC$ و $CD$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + أرض) بين $B$ و $C$ .

أثبت أنّ : $v_{C} = \sqrt{2 g r (1 - \sin \alpha ) + v_{B}^{2}}$ ، ثمّ أحسبها.

أحسب سرعة الجسم $v_{D}$ عند $D$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$f\ (N)$	$v_C\ (m/s)$	$v_D\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

على $AB$ الأفقي، الاحتكاك هو القوة الوحيدة التي تعمل. على القوس : الجسم ينزل من $B$ (أعلى القوس، على البعد $r$ من $O$ ) إلى $C$ (على الارتفاع $r \sin \alpha$ فوق $O$ ) : $h = r (1 - \sin \alpha )$ .

تتناقص السرعة لأنّ قوى الاحتكاك (عملها مقاوم) تستهلك جزءا من الطاقة الحركية. القوى : $\vec{P}$ ، و $\vec{R}$ المائل نحو الخلف.

حل التمرين 18

\Sigma W = E_{cB} - E_{cA} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}2 \times (4 - 9) = - 0{,}5\ \mathrm{J}

- f \cdot d = - 0{,}5 \Rightarrow f = 0{,}5 / 2 = 0{,}25\ \mathrm{N}

(أ) حل التمرين 18

\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g r (1 - \sin \alpha ) = \tfrac{1}{2} m v_{C}^{2}

، ومنه :

v_{C} = \sqrt{2 g r (1 - \sin \alpha ) + v_{B}^{2}} = \sqrt{8{,}04 + 4} \approx 3{,}47\ \mathrm{m/s}

المماس في $C$ يميل بـ $90^{\circ} - \alpha = 30^{\circ}$ : ينزل الجسم $CD \sin 30^{\circ} = 1\ \mathrm{m}$ .

v_{D} = \sqrt{v_{C}^{2} + 2\ \mathrm{g} \times 1} = \sqrt{12{,}04 + 20} \approx 5{,}66\ \mathrm{m/s}

التمرين 19 - تعيين ثابت فتل سلك

صعب

لتعيين ثابت فتل سلك، نفتل ساقا معلّقة به بزوايا مختلفة $\theta$ ونحسب في كلّ مرّة الطاقة الكامنة الفتلية $E_{pt}$ المخزّنة، فنحصل على البيان $E_{pt} = f(\theta ^{2})$ .

شكل التمرين 19

اكتب المعادلة الرياضية للبيان، وقارنها بعبارة الطاقة الكامنة الفتلية. استنتج ثابت الفتل $C$ .

نفتل الساق بزاوية $\theta _{m} = 1\ \mathrm{rad}$ ثمّ نتركها دون سرعة ابتدائية. عزم عطالة الساق $J_{\Delta} = 2\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ، والاحتكاك مهمل.

ما الطاقة الميكانيكية للجملة (ساق + سلك) ؟

أحسب السرعة الزاوية العظمى للساق. في أيّ موضع تبلغها ؟

أحسب عزم مزدوجة الفتل عندما $\theta = 0{,}5\ \mathrm{rad}$ ، والسرعة الزاوية للساق في هذا الموضع.

تحقق من نتائجك

المقدار	$C\ (10^{-2}\ N\cdot m/rad)$	$\omega_{max}\ (rad/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي

بيان $E_{pt} = f(\theta ^{2})$ مستقيم يمرّ بالمبدأ : ميله $a = C / 2$ . ثمّ انحفاظ الطاقة الميكانيكية $\tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} + \tfrac{1}{2} C \theta ^{2} = \tfrac{1}{2} C \theta _{m}^{2}$ .

E_{pt} = a \cdot \theta ^{2} ; a = 0{,}05 / 2{,}5 = 0{,}02 J/rad^{2}

بالمطابقة مع $E_{pt} = \tfrac{1}{2} C \theta ^{2}$ :

C = 2a = 4\times 10^{-2}\ \mathrm{N}\cdot m/rad

(أ)

E_{m} = \tfrac{1}{2} C \theta _{m}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}04 \times 1 = 2\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

$\omega$ عظمى عندما تنعدم $E_{pt}$ ، أي عند وضع التوازن $(\theta = 0)$ :

\omega _{max} = \sqrt{2 E_{m} / J_{\Delta}} = \sqrt{0{,}04 / 2\times 10^{-3}} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\ \mathrm{rad/s}

\mathcal{M} = C \theta = 0{,}04 \times 0{,}5 = 2\times 10^{-2}\ \mathrm{N{\cdot}m}

E_{c} = E_{m} - \tfrac{1}{2} C \theta ^{2} = 0{,}02 - 0{,}005 = 1{,}5\times 10^{-2}\ \mathrm{J} \Rightarrow \omega = \sqrt{2 \times 0{,}015 / 0{,}002} \approx 3{,}87\ \mathrm{rad/s}