منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثانية ثانوي · الطاقة الكامنة

الطاقة الكامنة: الثقالية والمرونية والفتلية

150 دقيقةمتوسط

درس كامل للوحدة الرابعة من مجال الميكانيك والطاقة: نعرّف الجملة القابلة للتشوه والطاقة الكامنة، ثم نستنتج من نشاطين تجريبيين عبارة الطاقة الكامنة الثقالية $E_{pp} = mgh$ ونسبيتها، ونعاير نابضا لنستنتج قانون هوك $T = kx$ وعبارة الطاقة الكامنة المرونية $E_{pe} = \tfrac{1}{2}kx^2$ ، ونتعرف على الطاقة الكامنة الفتلية $E_{pt} = \tfrac{1}{2}C\theta^2$ ، وننتهي بمبدأ انحفاظ الطاقة والطاقة الميكانيكية. مع أربعة تطبيقات محلولة، وتسعة عشر تمرينا محلولا بتوجيهات منهجية، ونموذجي اختبار مصححين، واختبار تفاعلي.

تحميل كتيّب الوحدة كاملا (PDF)

الهدف:

التعرف على الجملة القابلة للتشوه وعلى أشكال الطاقة الكامنة الثلاثة
التعبير عن الطاقة الكامنة الثقالية لجملة (جسم + أرض) وحسابها، ومعرفة أنها نسبية
التفريق بين عمل قوة الثقل والطاقة الكامنة الثقالية
التعبير عن الطاقة الكامنة المرونية لنابض وعن توتره، وحسابهما
التعبير عن الطاقة الكامنة الفتلية لسلك فتل وعن مزدوجة الفتل
تطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة لتحديد سرعة أو ارتفاع جسم أو تشوه نابض

1. الجملة القابلة للتشوّه والطاقة الكامنة

تعريف

نقول عن جملة إنّها قابلة للتشوّه إذا تغيّرت المسافات بين أجزائها (بين النقاط المادية المكوّنة لها). عندما تتشوّه الجملة تخزّن طاقة تسمّى الطاقة الكامنة $E_{p}$ ، وحدتها الجول $(\mathrm{J})$ .

الطاقة الكامنة طاقة مخزّنة في الجملة بسبب وضعها أو تشوّهها، ويمكن أن تتحوّل إلى أشكال أخرى (طاقة حركية مثلا) لإنجاز عمل. الجمل الميكانيكية القابلة للتشوّه في برنامجنا ثلاث :

الجملة	التشوّه	شكل الطاقة المخزّنة	الرمز
(جسم + أرض)	تغيّر المسافة بين الجسم والأرض (الارتفاع)	طاقة كامنة ثقالية	$E_{pp}$
(جسم + نابض)	استطالة النابض أو انضغاطه	طاقة كامنة مرونية	$E_{pe}$
(ساق + سلك فتل)	فتل السلك بزاوية	طاقة كامنة فتلية	$E_{pt}$

انتبه : خطأ شائع

الجسم وحده لا يملك طاقة كامنة ثقالية : هي طاقة الجملة (جسم + أرض). إذا اخترنا الجسم وحده جملةً فإنّ الأرض تصبح وسطا خارجيا يتبادل معه الطاقة بـعمل قوة الثقل.

2. الطاقة الكامنة الثقالية

2.1 نشاط 01 : بماذا تتعلّق ؟

نثبّت أجساما مختلفة الكتلة بطرف خيط مطاطي معلّق، نسحب كلّ جسم إلى نفس الموضع $A$ ثمّ نتركه، فيصعد إلى ارتفاع أعظمي $h$ . في كلّ مرّة يخزّن المطاط نفس الطاقة الكامنة المرونية، وتتحوّل كلّها إلى طاقة كامنة ثقالية للجملة (جسم + أرض) في أعلى نقطة :


$m (g)$	1000	800	600	400	200
$h (\mathrm{m})$	0,15	0,18	0,25	0,37	0,75
$m \cdot h (kg\cdot m)$	0,150	0,144	0,150	0,148	0,150

الاستنتاج : كلّما زادت الكتلة نقص الارتفاع، والجداء $m\cdot h$ ثابت تقريبا. الطاقة الكامنة الثقالية (وهي نفسها في كلّ التجارب) تتناسب إذن مع الجداء $m \cdot h$ : $E_{pp} = K \cdot m \cdot h$ ، والثابت $K$ نعيّنه في النشاط 02.

2.2 نشاط 02 : تعيين الثابت K

نترك كرة تسقط سقوطا حرّا دون سرعة ابتدائية ونصوّر حركتها بالتصوير المتعاقب. الجملة (كرة + أرض) معزولة طاقويا (الاحتكاك مهمل)، فما تكسبه من طاقة حركية تخسره من طاقة كامنة ثقالية : $E_{c} + E_{pp}$ ثابت. رسم البيان $E_{c} = f(h)$ يعطي مستقيما ميله $- m\cdot K$ ، ونجد بالقياس $K \approx 9{,}8\ \mathrm{N/kg}$ : إنّه شدّة الجاذبية $g$ .

عبارة الطاقة الكامنة الثقالية

شكل توضيحي

E_{pp} = m \cdot g \cdot h

$E_{pp}$ : الطاقة الكامنة الثقالية للجملة (جسم + أرض) بالجول $(\mathrm{J})$ .
$m$ : كتلة الجسم بالكيلوغرام $(\mathrm{kg})$ ؛ $g$ : شدّة الجاذبية $(\mathrm{N/kg})$ .
$h$ : ارتفاع مركز عطالة الجسم عن المستوي المرجعي بالمتر $(\mathrm{m})$ ؛ يكون سالبا إذا كان الجسم تحت هذا المستوي.

2.3 الطاقة الكامنة الثقالية مقدار نسبي

نختار بحرّية مستويا مرجعيا نعتبر عنده $E_{pp} = 0$ (سطح الأرض، سطح طاولة، أخفض نقطة في المسار...). قيمة $E_{pp}$ تتعلّق بهذا الاختيار :

نفس الكرة لها طاقة كامنة ثقالية مختلفة بالنسبة للمرجعين (1) و(2)

التغيّر في الطاقة الكامنة الثقالية لا يتعلّق بالمرجع

عندما ينتقل الجسم من الموضع $A$ إلى الموضع $B$ :

\Delta E_{pp} = E_{ppB} - E_{ppA} = m g (h_{B} - h_{A})

وهذا الفرق هو نفسه مهما كان المستوي المرجعي. ونلاحظ أنّ $W_{AB}(\vec{P}) = m g (h_{A} - h_{B})$ ، ومنه :

\Delta E_{pp} = - W_{AB}(\vec{P})

عمل قوة الثقل $W(\vec{P})$	الطاقة الكامنة الثقالية $E_{pp}$
يتعلّق بانتقال بين موضعين، ولا يتعلّق بالمرجع	تتعلّق بموضع واحد، وقيمتها تتعلّق بالمرجع
يظهر عندما تكون الجملة (جسم) : الأرض وسط خارجي	تظهر عندما تكون الجملة (جسم + أرض)
موجب عند النزول، سالب عند الصعود	تنقص عند النزول وتزداد عند الصعود

3. الطاقة الكامنة المرونية

3.1 قوة توتّر النابض (قانون هوك)

x : تغيّر طول النابض (استطالة أو انضغاط) بالنسبة لطوله الأصلي ℓ0

نعلّق كتلا مختلفة بنابض ونقيس استطالته $x$ عند التوازن، حيث $T = P = m g$ :


$T (\mathrm{N})$	2,94	3,92	5,88	6,86
$x (cm)$	7,3	9,8	14,7	17,1

البيان T = f(x) مستقيم يمرّ بالمبدأ

توتّر النابض

T = k \cdot x

$k$ : ثابت مرونة النابض (ميل البيان)، وحدته $N/m$ . هنا : $k = 6{,}86 / 0{,}171 \approx 40 N/m$ . حامل $\vec{T}$ هو محور النابض، وجهتها نحو داخل النابض إذا كان مستطيلا، ونحو خارجه إذا كان منضغطا : إنّها تعاكس التشوّه دائما.

3.2 عبارة الطاقة الكامنة المرونية

لنشوّه النابض بالمقدار $x$ ببطء يجب أن نؤثّر بقوة تساوي $T = k x$ تتزايد من $0$ إلى $k x$ . عملها يساوي مساحة المثلّث تحت البيان $T = f(x)$ : $W = \tfrac{1}{2} \cdot x \cdot (k x) = \tfrac{1}{2} k x^{2}$ . هذه الطاقة يخزّنها النابض :

عبارة الطاقة الكامنة المرونية

E_{pe} = \tfrac{1}{2} \cdot k \cdot x^{2}

$E_{pe}$ بالجول $(\mathrm{J})$ ؛ $k$ ثابت المرونة بـ $N/m$ ؛ $x$ الاستطالة أو الانضغاط بالمتر.
$E_{pe}$ موجبة دائما ( $x^{2}$ )، ومنعدمة عندما يكون النابض بطوله الأصلي.

انتبه : خطأ شائع

$x$ هو تغيّر الطول $|\ell - \ell _{0}|$ وليس طول النابض $\ell$ ، ويُحوَّل إلى المتر قبل التعويض : $x = 5\ \mathrm{cm} = 0{,}05\ \mathrm{m}$ ، ومنه $x^{2} = 2{,}5\times 10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}$ .

4. الطاقة الكامنة الفتلية

نواس الفتل : ساق أفقية معلّقة من مركزها بسلك فتل شاقولي

عندما نفتل السلك بزاوية $\theta$ حول محوره يؤثّر على الساق بـمزدوجة فتل تعيدها نحو وضع التوازن، وتخزّن الجملة (ساق + سلك فتل) طاقة كامنة فتلية.

الطاقة الكامنة الفتلية ومزدوجة الفتل

E_{pt} = \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot \theta ^{2}

\mathcal{M} = C \cdot \theta

$C$ : ثابت الفتل للسلك بـ $N\cdot m/rad$ ؛ $\theta$ : زاوية الفتل بالراديان.
$\mathcal{M}$ : عزم مزدوجة الفتل بـ $\mathrm{N{\cdot}m}$ (مقابل $T = k x$ في النابض).

انتبه : خطأ شائع

الزاوية بالراديان دائما : بالدرجات نحصل على $\tfrac{1}{2} \times 0{,}04 \times 90^{2} = 162\ \mathrm{J}$ وهي قيمة خاطئة تماما.

5. مبدأ انحفاظ الطاقة والطاقة الكامنة

5.1 اختيار الجملة

جسم يسقط من $A$ إلى $B$ دون احتكاك. يمكن أن نصف نفس الظاهرة بطريقتين :

الجملة (جسم) : الأرض وسط خارجي

الجملة (جسم + أرض) : لا تبادل مع الخارج

الجملة (جسم)	الجملة (جسم + أرض)
$E_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB}$	$E_{cA} + E_{ppA} = E_{cB} + E_{ppB}$

المعادلتان متكافئتان لأنّ $W(\vec{P}) = - \Delta E_{pp}$ . لا نجمع أبدا عمل الثقل و $E_{pp}$ في نفس المعادلة.

انتبه : خطأ شائع

إذا كانت الأرض داخل الجملة فلا نمثّل $W(\vec{P})$ في الحصيلة (الثقل قوة داخلية)، وإذا كانت خارجها فلا نكتب $E_{pp}$ . ونفس الشيء للنابض : إذا كان داخل الجملة نكتب $E_{pe}$ ، وإذا كان خارجها نكتب عمل قوة التوتّر.

5.2 الطاقة الميكانيكية

معادلة انحفاظ الطاقة

لجملة تخزّن طاقة حركية وطاقة كامنة، بين موضعين $1$ و $2$ :

E_{c1} + E_{p1} + W_{ext} = E_{c2} + E_{p2}

$E_{p}$ مجموع الطاقات الكامنة المخزّنة في الجملة، و $W_{ext}$ مجموع أعمال القوى الخارجية (موجب إذا كان محرّكا، سالبا إذا كان مقاوما مثل الاحتكاك). نسمّي $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ الطاقة الميكانيكية للجملة : في غياب الاحتكاك وكلّ تبادل مع الخارج تكون $E_{m}$ ثابتة.

مثال : جسم يضغط نابضا أفقيا حتى يتوقّف — تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة كامنة مرونية

تعاريف مهمة

الجملة القابلة للتشوه

جملة تتغير المسافات بين أجزائها. عندما تتشوه تخزن طاقة تسمى الطاقة الكامنة $E_p$ ، وحدتها الجول.

الطاقة الكامنة الثقالية

الطاقة التي تخزنها الجملة (جسم + أرض) بسبب ارتفاع الجسم عن مستو مرجعي: $E_{pp} = m g h$ . الجسم وحده لا يملكها.

المستوي المرجعي

المستوي الذي نختاره بحرية ونعتبر عنده $E_{pp} = 0$ . قيمة $E_{pp}$ تتعلق به (مقدار نسبي)، أما تغيرها بين موضعين فلا يتعلق به.

ثابت مرونة النابض

المقدار $k$ في قانون هوك $T = k x$ ، بـ $N/m$ . هو ميل البيان $T = f(x)$ ويعبر عن صلابة النابض.

الطاقة الكامنة المرونية

الطاقة التي يخزنها نابض مشوه بالمقدار $x$ (استطالة أو انضغاط): $E_{pe} = \tfrac{1}{2} k x^2$ .

الطاقة الكامنة الفتلية

الطاقة التي تخزنها الجملة (ساق + سلك فتل) عند فتل السلك بزاوية $\theta$ : $E_{pt} = \tfrac{1}{2} C \theta^2$ ، مع $C$ ثابت الفتل بـ $N\cdot m/rad$ و $\theta$ بالراديان.

الطاقة الميكانيكية

مجموع الطاقة الحركية والطاقات الكامنة للجملة: $E_m = E_c + E_p$ . تبقى ثابتة في غياب الاحتكاك وكل تبادل مع الخارج.

القوانين

قانون : الطاقة الكامنة الثقالية

E_{pp} = m g h

$h$ ارتفاع مركز عطالة الجسم عن المستوي المرجعي، سالب تحته.

قانون : تغير الطاقة الكامنة الثقالية

\Delta E_{pp} = -W_{AB}(\vec{P})

لا يتعلق بالمرجع؛ تنقص $E_{pp}$ عندما يكون عمل الثقل محركا (نزول).

قانون : قانون هوك

T = k \cdot x

التوتر يعاكس التشوه وحامله محور النابض.

قانون : الطاقة الكامنة المرونية

E_{pe} = \dfrac{1}{2} k x^2

$x$ تغير طول النابض بالمتر.

قانون : الطاقة الكامنة الفتلية

E_{pt} = \dfrac{1}{2} C \theta^2

$\theta$ بالراديان؛ وعزم مزدوجة الفتل $\mathcal{M} = C\theta$ .

قانون : انحفاظ الطاقة

E_{c1} + E_{p1} + W_{ext} = E_{c2} + E_{p2}

في غياب الاحتكاك وكل تبادل مع الخارج: $E_{m1} = E_{m2}$ .

العلاقات الأساسية

الطاقة الكامنة الثقالية

E_{pp} = m g h

بالجول.

تغيرها بين موضعين

\Delta E_{pp} = m g (h_B - h_A)

لا يتعلق بالمرجع.

عمل الثقل

W_{AB}(\vec{P}) = m g (h_A - h_B) = -\Delta E_{pp}

موجب عند النزول.

توتر النابض

T = k \cdot x

بالنيوتن.

الطاقة الكامنة المرونية

E_{pe} = \dfrac{1}{2} k x^2

بالجول.

الطاقة الكامنة الفتلية

E_{pt} = \dfrac{1}{2} C \theta^2

بالجول.

مزدوجة الفتل

\mathcal{M} = C \cdot \theta

بـ $N\cdot m$ .

الطاقة الميكانيكية

E_m = E_c + E_p

بالجول.

انحفاظ الطاقة

E_{c1} + E_{p1} + W_{ext} = E_{c2} + E_{p2}

الاحتكاك: $W = -f\cdot d$ .

مستو مائل

h = L \sin\alpha

ميل $p\,\%$ يعني $\sin\alpha = p/100$ .

نواس بسيط

h = \ell (1 - \cos\alpha)

الارتفاع بين الموضع المنحرف بزاوية $\alpha$ ووضع التوازن.

سقوط حر من السكون

v = \sqrt{2 g h}

من انحفاظ الطاقة للجملة (جسم + أرض).

تذكّر

تخزن الجملة القابلة للتشوه طاقة كامنة. الجملة (جسم + أرض) تخزن طاقة كامنة ثقالية $E_{pp} = mgh$ حيث $h$ الارتفاع عن مستو مرجعي نختاره؛ قيمتها نسبية لكن تغيرها $\Delta E_{pp} = -W(\vec{P})$ لا يتعلق بالمرجع. توتر النابض $T = kx$ (قانون هوك)، والطاقة الكامنة المرونية $E_{pe} = \tfrac{1}{2}kx^2$ . سلك الفتل يؤثر بمزدوجة $\mathcal{M} = C\theta$ ويخزن $E_{pt} = \tfrac{1}{2}C\theta^2$ . تكتب معادلة انحفاظ الطاقة $E_{c1} + E_{p1} + W_{ext} = E_{c2} + E_{p2}$ ، وفي غياب الاحتكاك تبقى الطاقة الميكانيكية $E_m = E_c + E_p$ ثابتة. إذا كانت الأرض (أو النابض) داخل الجملة نكتب طاقتها الكامنة، وإذا كانت خارجها نكتب عمل قوتها، ولا نجمعهما أبدا.

انتبه

أخطاء تتكرر في هذه الوحدة: كتابة $E_{pp}$ وعمل الثقل معا في نفس المعادلة؛ نسيان ذكر المستوي المرجعي؛ أخذ طول النابض بدل تغير طوله $x$ أو عدم تحويله إلى المتر؛ التعويض بالدرجات في $\tfrac{1}{2}C\theta^2$ ؛ أخذ المسافة المقطوعة على المسار بدل الارتفاع الشاقولي؛ ونسيان أن الجسم الذي يضغط نابضا شاقوليا ينزل أيضا فتتغير طاقته الكامنة الثقالية. وفي المسائل: حدد الجملة، اختر المرجع، مثل الحصيلة الطاقوية، ثم اكتب معادلة الانحفاظ بالرموز قبل التعويض.

سجل الدخول لتتبع تقدمك التالي: التطبيقات