إنشاء حساب
منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثانية ثانوي

الطاقة الكامنة

كل السلاسل

اقرأ نص التمرين وحاول حله بنفسك، ثم اعرض الحل المفصل لتتحقق من إجابتك.

سلسلة تمارين: مسارات ونوابض

أربعة تمارين في الحصيلة الطاقوية ومبدأ انحفاظ الطاقة: مستو مائل، طريق خشن، مسار دائري ونابض، منها تمرينان باستغلال البيانات، مع التصحيح المفصل.

التمرين1

مستو مائل باحتكاك ثم نابض أفقي

متوسط
تحميل الموضوع مع التصحيح (PDF)تحميل الموضوع مع التصحيح (Word)

جسم نعتبره نقطيا كتلته m=0,5 kgm = 0{,}5\ \mathrm{kg} ندفعه من الموضع AA أعلى مستو مائل بزاوية α=30∘\alpha = 30^{\circ} عن الأفق، طوله AB=2,5 mAB = 2{,}5\ \mathrm{m} ، بسرعة vA=2,5 m/sv_A = 2{,}5\ \mathrm{m/s} ليصل إلى الموضع BB بنفس السرعة vB=2,5 m/sv_B = 2{,}5\ \mathrm{m/s} . يخضع أثناء حركته على الجزء ABAB إلى قوة احتكاك f⃗\vec{f} ثابتة الشدة ومعاكسة لجهة الحركة (الشكل 1). يعطى: g=10 N/kgg = 10\ \mathrm{N/kg} .

الشكل (1)

1)

مثل القوى المؤثرة على الجسم أثناء حركته على الجزء ABAB .

2)

مثل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + أرض) أثناء حركته من AA إلى BB ، ثم اكتب معادلة انحفاظ الطاقة. نختار المستوي الأفقي المار من BB مرجعا للطاقة الكامنة الثقالية.

3)

استنتج شدة قوة الاحتكاك ff .

4)

يواصل الجسم حركته على المستوي الأفقي BDBD تحت تأثير نفس قوة الاحتكاك المحسوبة سابقا ليصل إلى الموضع CC بسرعة vC=1 m/sv_C = 1\ \mathrm{m/s} .

أ)

بالاستعانة بالحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين BB و CC ومعادلة انحفاظ الطاقة، احسب المسافة BCBC .

ب)

يصطدم الجسم عند الموضع CC بنابض أفقي مهمل الكتلة، ثابت مرونته K=100 N/mK = 100\ \mathrm{N/m} ، ليتوقف لحظيا عند الموضع DD . احسب قيمة انضغاط النابض x=CDx = CD في الحالتين:

• بإهمال قوة الاحتكاك على المسار CDCD .

• باعتبار قوة الاحتكاك على المسار CDCD هي نفسها المحسوبة سابقا.

عرض الحل
1)

يخضع الجسم لثلاث قوى: ثقله P⃗\vec{P} ، رد الفعل الناظمي R⃗\vec{R} ، وقوة الاحتكاك f⃗\vec{f} المعاكسة لجهة الحركة.

2)

الثقل قوة داخلية لأن الأرض ضمن الجملة، وعمل R⃗\vec{R} معدوم. تبقى الطاقة الحركية ثابتة لأن vA=vBv_A = v_B ، وتتناقص الطاقة الكامنة الثقالية، وتفقد الجملة طاقة بعمل قوة الاحتكاك.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + أرض) بين A و B

معادلة انحفاظ الطاقة:

EcA+EppA=EcB+EppB+∣WAB(f⃗)∣E_{cA} + E_{ppA} = E_{cB} + E_{ppB} + |W_{AB}(\vec{f})|
3)

لدينا EcA=EcBE_{cA} = E_{cB} و EppB=0E_{ppB} = 0 ، و EppA=m g AB sin⁡αE_{ppA} = m\,g\,AB\,\sin\alpha و ∣WAB(f⃗)∣=f⋅AB|W_{AB}(\vec{f})| = f \cdot AB . إذن m g AB sin⁡α=f⋅ABm\,g\,AB\,\sin\alpha = f \cdot AB ، ومنه:

f=m g sin⁡α=0,5×10×0,5=2,5 Nf = m\,g\,\sin\alpha = 0{,}5 \times 10 \times 0{,}5 = 2{,}5\ \mathrm{N}
4)
أ)

عملا P⃗\vec{P} و R⃗\vec{R} معدومان على المسار الأفقي، وتفقد الجملة (جسم) طاقة بعمل قوة الاحتكاك.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين B و C

EcB−f⋅BC=EcCE_{cB} - f \cdot BC = E_{cC} ، حيث:

EcB=12×0,5×2,52=1,5625 JE_{cB} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 2{,}5^2 = 1{,}5625\ \mathrm{J}
EcC=12×0,5×12=0,25 JE_{cC} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 1^2 = 0{,}25\ \mathrm{J}
BC=EcB−EcCf=1,5625−0,252,5=0,525 mBC = \dfrac{E_{cB} - E_{cC}}{f} = \dfrac{1{,}5625 - 0{,}25}{2{,}5} = 0{,}525\ \mathrm{m}
ب)

نختار الجملة (جسم + نابض) بين CC و DD . عند DD تنعدم الطاقة الحركية، وعند CC النابض غير مشوه.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + نابض) بين C و D في وجود الاحتكاك

الحالة الأولى، بإهمال الاحتكاك: لا يوجد عمل مقدم للخارج، إذن EcC=EpeDE_{cC} = E_{peD} أي 12 m vC2=12 K x2\dfrac{1}{2}\,m\,v_C^2 = \dfrac{1}{2}\,K\,x^2 ، ومنه:

x=vC mK=1×0,5100≈0,071 m=7,1 cmx = v_C\,\sqrt{\dfrac{m}{K}} = 1 \times \sqrt{\dfrac{0{,}5}{100}} \approx 0{,}071\ \mathrm{m} = 7{,}1\ \mathrm{cm}

الحالة الثانية، بوجود الاحتكاك: EcC=EpeD+f⋅xE_{cC} = E_{peD} + f \cdot x أي:

0,25=12×100×x2+2,5 x0{,}25 = \dfrac{1}{2} \times 100 \times x^2 + 2{,}5\,x
50 x2+2,5 x−0,25=050\,x^2 + 2{,}5\,x - 0{,}25 = 0
Δ=2,52+4×50×0,25=56,25\Delta = 2{,}5^2 + 4 \times 50 \times 0{,}25 = 56{,}25
x=−2,5+56,252×50=−2,5+7,5100=0,05 m=5 cmx = \dfrac{-2{,}5 + \sqrt{56{,}25}}{2 \times 50} = \dfrac{-2{,}5 + 7{,}5}{100} = 0{,}05\ \mathrm{m} = 5\ \mathrm{cm}

ونرفض الحل السالب لأن x>0x > 0 . الانضغاط أصغر من الحالة الأولى لأن جزءا من الطاقة الحركية ضاع بالاحتكاك.

التمرين2

مستو مائل ثم مسار دائري ونابض شاقولي

متوسط
تحميل الموضوع مع التصحيح (PDF)تحميل الموضوع مع التصحيح (Word)

نترك جسما (S)(S) نعتبره نقطيا كتلته m=400 gm = 400\ \mathrm{g} في النقطة AA لينزل من السكون دون احتكاك على خط الميل الأعظم لمستو مائل بزاوية α=30∘\alpha = 30^{\circ} عن المستوي الأفقي المار من BB .

يعطى: AB=1 mAB = 1\ \mathrm{m} ، g=10 N/kgg = 10\ \mathrm{N/kg} ، sin⁡30∘=0,5\sin 30^{\circ} = 0{,}5 .

الشكل (2)

الحركة على الجزء AB

1)

مثل كيفيا القوى الخارجية المؤثرة على الجسم.

2)

احسب عمل ثقل الجسم من AA إلى BB ، ثم حدد طبيعته (محرك أو مقاوم).

3)

مثل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم).

4)

اكتب معادلة انحفاظ الطاقة، ثم جد سرعة الجسم vBv_B في الموضع BB .

الحركة على الجزء BC

يواصل الجسم حركته على الطريق الأفقي BC=1 mBC = 1\ \mathrm{m} تحت تأثير قوى احتكاك تكافئ قوة وحيدة f⃗\vec{f} ثابتة الشدة ومعاكسة لجهة الحركة. عند وصول الجسم إلى الموضع CC تكون طاقته الحركية EcC=1,8 JE_{cC} = 1{,}8\ \mathrm{J} .

1)

مثل كيفيا القوى الخارجية المؤثرة على الجسم.

2)

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (جسم) بين BB و CC ، احسب شدة قوة الاحتكاك ff .

الحركة على الجزء CE

يواصل الجسم حركته على المسار الدائري (ربع دائرة مركزها OO ونصف قطرها RR ) ليصل إلى الموضع EE بسرعة vE=1 m/sv_E = 1\ \mathrm{m/s} . نهمل الاحتكاك على المسار الدائري.

1)

مثل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين الموضعين CC و EE .

2)

اكتب معادلة انحفاظ الطاقة، ثم بين أن نصف قطر المسار الدائري هو R=0,4 mR = 0{,}4\ \mathrm{m} .

الحركة على الجزء EF

لما يصل الجسم إلى الموضع EE يصدم نابضا شاقوليا مهمل الكتلة، حلقاته غير متلاصقة وغير مشوه في البداية، فيضغطه بالمقدار xx ويتوقف لحظيا عند الموضع FF . نهمل الاحتكاكات على هذا الجزء.

1)

أي جملة اخترنا حتى نتمكن من الحصول على معادلة انحفاظ الطاقة التالية: EcE−m g x=EpeFE_{cE} - m\,g\,x = E_{peF} ؟

2)

علل جوابك بتقديم حصيلة طاقوية بين الموضعين المحددين للدراسة.

عرض الحل

الحركة على الجزء AB

1)

يخضع الجسم لقوتين: ثقله P⃗\vec{P} شاقولي نحو الأسفل، ورد فعل المستوي R⃗\vec{R} عمودي على المستوي المائل لانعدام الاحتكاك.

2)

الارتفاع: h=AB sin⁡α=1×0,5=0,5 mh = AB\,\sin\alpha = 1 \times 0{,}5 = 0{,}5\ \mathrm{m} . عمل الثقل:

WAB(P⃗)=m g h=0,4×10×0,5=2 JW_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,h = 0{,}4 \times 10 \times 0{,}5 = 2\ \mathrm{J}

WAB(P⃗)>0W_{AB}(\vec{P}) > 0 : عمل الثقل محرك.

3)

الجملة (جسم) تستقبل عمل الثقل، وعمل R⃗\vec{R} معدوم لأنها عمودية على الانتقال.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين A و B

4)

معادلة انحفاظ الطاقة: EcA+WAB(P⃗)=EcBE_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB} مع EcA=0E_{cA} = 0 ، ومنه EcB=2 JE_{cB} = 2\ \mathrm{J} .

vB=2 EcBm=2×20,4=10≈3,16 m/sv_B = \sqrt{\dfrac{2\,E_{cB}}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 2}{0{,}4}} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\ \mathrm{m/s}

الحركة على الجزء BC

1)

يخضع الجسم لثلاث قوى: الثقل P⃗\vec{P} ، رد الفعل الناظمي R⃗\vec{R} ، وقوة الاحتكاك f⃗\vec{f} المعاكسة لجهة الحركة.

2)

عملا P⃗\vec{P} و R⃗\vec{R} معدومان لأنهما عموديتان على الانتقال الأفقي، ومنه: EcB−f⋅BC=EcCE_{cB} - f \cdot BC = E_{cC} ، إذن:

f=EcB−EcCBC=2−1,81=0,2 Nf = \dfrac{E_{cB} - E_{cC}}{BC} = \dfrac{2 - 1{,}8}{1} = 0{,}2\ \mathrm{N}

الحركة على الجزء CE

1)

الجملة (جسم) تفقد طاقة بعمل الثقل المقاوم لأن الجسم يصعد، وعمل R⃗\vec{R} معدوم لأنها عمودية على المسار في كل لحظة.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين C و E

2)

الموضع EE يرتفع عن CC بمقدار نصف القطر RR ، إذن: EcC−m g R=EcEE_{cC} - m\,g\,R = E_{cE} .

EcE=12 m vE2=12×0,4×12=0,2 JE_{cE} = \dfrac{1}{2}\,m\,v_E^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}4 \times 1^2 = 0{,}2\ \mathrm{J}
R=EcC−EcEm g=1,8−0,20,4×10=0,4 mR = \dfrac{E_{cC} - E_{cE}}{m\,g} = \dfrac{1{,}8 - 0{,}2}{0{,}4 \times 10} = 0{,}4\ \mathrm{m}

الحركة على الجزء EF

1)

الجملة المختارة هي (جسم + نابض).

2)

تحتوي هذه الجملة على خزانين: طاقة حركية (الجسم) وطاقة كامنة مرونية (النابض). الثقل قوة خارجية لأن الأرض خارج الجملة، وعمله مقاوم لأن الجسم يصعد بالمقدار xx .

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم + نابض) بين E و F

معادلة انحفاظ الطاقة: EcE+EpeE=EcF+EpeF+∣WEF(P⃗)∣E_{cE} + E_{peE} = E_{cF} + E_{peF} + |W_{EF}(\vec{P})| مع EpeE=0E_{peE} = 0 و EcF=0E_{cF} = 0 و ∣WEF(P⃗)∣=m g x|W_{EF}(\vec{P})| = m\,g\,x ، ومنه:

EcE−m g x=EpeFE_{cE} - m\,g\,x = E_{peF}

ملاحظة: لو أخذنا الجملة (جسم) وحده لما ظهرت EpeFE_{peF} ، ولو أضفنا الأرض إلى الجملة لظهرت طاقة كامنة ثقالية بدل الحد m g xm\,g\,x .

التمرين3

ربع دائرة وطريق خشن ثم نابض، باستغلال البيانين

صعب
تحميل الموضوع مع التصحيح (PDF)تحميل الموضوع مع التصحيح (Word)

يتألف طريق من جزأين:

• الجزء ABAB : ربع دائرة شاقولي أملس نصف قطرها rr ومركزها OO .

• الجزء BCBC : طريق أفقي خشن طوله BC=1 mBC = 1\ \mathrm{m} (الاحتكاكات تكافئ قوة وحيدة f⃗\vec{f} ثابتة الشدة ومعاكسة لجهة الحركة).

نترك كرة نعتبرها نقطية كتلتها m=0,5 kgm = 0{,}5\ \mathrm{kg} بدون سرعة ابتدائية من الموضع MM من الجزء ABAB ، بحيث يشكل شعاع موضعها OM⃗\vec{OM} زاوية θ\theta مع الشاقول OBOB كما هو موضح في الشكل (3). يعطى: g=10 N/kgg = 10\ \mathrm{N/kg} .

الشكل (3)

I

1)

مثل القوى الخارجية المؤثرة على الكرة في الجزء ABAB .

2)

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة للجملة (جسم) بين الموضعين MM و BB ، جد عبارة vB2v_B^2 بدلالة gg و rr و θ\theta .

3)

مثل القوى الخارجية المؤثرة على الكرة في الجزء BCBC .

4)

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة للجملة (جسم) بين BB و CC ، بين أنه يمكن كتابة عبارة vC2v_C^2 على الشكل: vC2=acos⁡θ+bv_C^2 = a\cos\theta + b ، حيث aa و bb ثابتان يطلب تحديد عبارتيهما.

II

قمنا بتغيير الزاوية θ\theta بتغيير موضع الكرة MM من الجزء ABAB ، وباستعمال برنامج مناسب تمكنا من تحديد سرعة وصول الكرة إلى الموضع CC ، فتحصلنا على البيان vC2=f(cos⁡θ)v_C^2 = f(\cos\theta) في الشكل (4).

الشكل (4)

1)

اكتب معادلة البيان.

2)

باستغلال البيان والعبارة المتحصل عليها سابقا (I-4)، جد كلا من:

أ)

قيمة نصف القطر rr .

ب)

شدة قوة الاحتكاك ff .

III

نترك الكرة من الموضع AA دون سرعة ابتدائية لتصل إلى الموضع CC فتصطدم بنابض مرن مهمل الكتلة، حلقاته غير متلاصقة، ثابت مرونته K=200 N/mK = 200\ \mathrm{N/m} ، فتتوقف لحظيا في الموضع DD بعد قطعها المسافة x0=CDx_0 = CD . نهمل الاحتكاكات على الجزء CDCD ونعتبر الموضع CC مبدأ للفواصل.

1)

حدد السرعة التي تصل بها الكرة إلى الموضع CC .

2)

مثل القوى الخارجية المؤثرة على الكرة خلال حركتها على الجزء CDCD .

3)

تمثل المنحنيات (1) و(2) في الشكل (5) تغيرات الطاقة الحركية والطاقة الكامنة المرونية للجملة (كرة + نابض) بدلالة الانضغاط xx للنابض.

الشكل (5)

أ)

أنسب كل منحنى للطاقة الموافقة له مع التعليل.

ب)

باستغلال المنحنيين، حدد مقدار الانضغاط الأعظمي x0x_0 للنابض.

ج)

استنتج شدة توتر النابض في هذه الحالة.

عرض الحل

I

1)

تخضع الكرة لقوتين: ثقلها P⃗\vec{P} ، ورد الفعل R⃗\vec{R} العمودي على المسار والمتجه نحو المركز OO لأن المسار أملس.

2)

الحصيلة الطاقوية للجملة (كرة) بين MM و BB :

EcM+WMB(P⃗)=EcBE_{cM} + W_{MB}(\vec{P}) = E_{cB} مع EcM=0E_{cM} = 0 ، والارتفاع المقطوع: h=r−rcos⁡θ=r (1−cos⁡θ)h = r - r\cos\theta = r\,(1 - \cos\theta) . إذن:

12 m vB2=m g r (1−cos⁡θ)\dfrac{1}{2}\,m\,v_B^2 = m\,g\,r\,(1 - \cos\theta)
vB2=2 g r (1−cos⁡θ)v_B^2 = 2\,g\,r\,(1 - \cos\theta)
3)

تخضع الكرة لثلاث قوى: الثقل P⃗\vec{P} ، رد الفعل الناظمي R⃗\vec{R} ، وقوة الاحتكاك f⃗\vec{f} .

4)

عملا P⃗\vec{P} و R⃗\vec{R} معدومان، ومنه: EcB−f⋅BC=EcCE_{cB} - f \cdot BC = E_{cC} . نقسم على m2\dfrac{m}{2} :

vC2=vB2−2 f⋅BCm=2 g r (1−cos⁡θ)−2 f⋅BCmv_C^2 = v_B^2 - \dfrac{2\,f \cdot BC}{m} = 2\,g\,r\,(1 - \cos\theta) - \dfrac{2\,f \cdot BC}{m}
vC2=−2 g r cos⁡θ+2 g r−2 f⋅BCmv_C^2 = -2\,g\,r\,\cos\theta + 2\,g\,r - \dfrac{2\,f \cdot BC}{m}

وهي من الشكل vC2=acos⁡θ+bv_C^2 = a\cos\theta + b حيث:

a=−2 g ra = -2\,g\,r
b=2 g r−2 f⋅BCmb = 2\,g\,r - \dfrac{2\,f \cdot BC}{m}

II

1)

البيان خط مستقيم لا يمر بالمبدأ، معادلته vC2=acos⁡θ+bv_C^2 = a\cos\theta + b . نقرأ: b=9 m2/s2b = 9\ \mathrm{m^2/s^2} ، وينعدم vC2v_C^2 عند cos⁡θ=0,9\cos\theta = 0{,}9 .

a=0−90,9−0=−10 m2/s2a = \dfrac{0 - 9}{0{,}9 - 0} = -10\ \mathrm{m^2/s^2}
vC2=−10cos⁡θ+9v_C^2 = -10\cos\theta + 9
2)
أ)

a=−2 g ra = -2\,g\,r ومنه:

r=−a2 g=102×10=0,5 mr = \dfrac{-a}{2\,g} = \dfrac{10}{2 \times 10} = 0{,}5\ \mathrm{m}
ب)

من عبارة bb :

f=m (2 g r−b)2 BC=0,5×(10−9)2×1=0,25 Nf = \dfrac{m\,(2\,g\,r - b)}{2\,BC} = \dfrac{0{,}5 \times (10 - 9)}{2 \times 1} = 0{,}25\ \mathrm{N}

ملاحظة: من أجل cos⁡θ>0,9\cos\theta > 0{,}9 تتوقف الكرة قبل الوصول إلى CC ، لذلك ينتهي البيان عند cos⁡θ=0,9\cos\theta = 0{,}9 .

III

1)

من الموضع AA لدينا θ=90∘\theta = 90^{\circ} أي cos⁡θ=0\cos\theta = 0 ، ومنه من البيان: vC2=9 m2/s2v_C^2 = 9\ \mathrm{m^2/s^2} ، إذن vC=3 m/sv_C = 3\ \mathrm{m/s} .

2)

تخضع الكرة لثلاث قوى: الثقل P⃗\vec{P} ، رد الفعل R⃗\vec{R} ، وتوتر النابض T⃗\vec{T} المعاكس لجهة الحركة.

3)
أ)

المنحنى (1): الطاقة الحركية، لأنها تتناقص مع الانضغاط حتى تنعدم عند توقف الكرة. المنحنى (2): الطاقة الكامنة المرونية، لأنها معدومة عند x=0x = 0 وتتزايد مع xx حسب Epe=12 K x2E_{pe} = \dfrac{1}{2}\,K\,x^2 .

ب)

عند الانضغاط الأعظمي تنعدم الطاقة الحركية: يقطع المنحنى (1) محور الفواصل عند x0=15 cmx_0 = 15\ \mathrm{cm} . تحقق: EcC=12×0,5×9=2,25 JE_{cC} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 9 = 2{,}25\ \mathrm{J} ، ومنه:

x0=2 EcCK=2×2,25200=0,15 mx_0 = \sqrt{\dfrac{2\,E_{cC}}{K}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}25}{200}} = 0{,}15\ \mathrm{m}
ج)

T=K x0=200×0,15=30 NT = K\,x_0 = 200 \times 0{,}15 = 30\ \mathrm{N}

التمرين4

ربع دائرة وطريق خشن ثم مستو مائل ونابض، باستغلال البيانين

صعب
تحميل الموضوع مع التصحيح (PDF)تحميل الموضوع مع التصحيح (Word)

I

انطلاقا من الموضع AA نترك جسما (S)(S) نعتبره نقطيا كتلته m=200 gm = 200\ \mathrm{g} بدون سرعة ابتدائية ليتحرك على مسار شاقولي ABAB مارا بالموضع MM الذي يصنع شعاع موضعه OM⃗\vec{OM} زاوية α\alpha مع الأفق OAOA . المسار ABAB عبارة عن ربع دائرة مركزها OO ونصف قطرها rr ، و MM موضع متغير من هذا المسار. نهمل الاحتكاكات على هذا الجزء من المسار. يعطى: g=10 N/kgg = 10\ \mathrm{N/kg} .

الشكل (6)

1)

مثل القوى الخارجية المؤثرة على الجسم خلال حركته على الجزء ABAB .

2)

مثل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين الموضعين AA و MM .

3)

اكتب معادلة انحفاظ الطاقة للجملة (جسم) بين الموضعين AA و MM ، ثم جد عبارة الطاقة الحركية EcE_c في الموضع MM بدلالة mm و gg و rr و α\alpha .

4)

قمنا بحساب الطاقة الحركية EcE_c للجسم في الموضع MM من أجل قيم مختلفة للزاوية α\alpha ومثلنا منحنى تغيرات الطاقة الحركية بدلالة sin⁡α\sin\alpha في الشكل (7).

الشكل (7)

أ)

اكتب معادلة البيان.

ب)

باستغلال البيان، جد قيمة rr نصف قطر المسار الدائري.

ج)

استنتج سرعة الجسم vBv_B في الموضع BB .

II

لما يصل الجسم (S)(S) إلى الموضع BB يواصل حركته على طريق أفقي خشن طوله BC=1 mBC = 1\ \mathrm{m} حيث يخضع إلى قوة احتكاك f⃗\vec{f} ثابتة الشدة ومعاكسة لجهة الحركة، فتنعدم سرعته في الموضع CC .

1)

مثل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين الموضعين BB و CC .

2)

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة للجملة (جسم) بين الموضعين BB و CC ، جد شدة قوة الاحتكاك ff .

III

نترك الجسم (S)(S) ينزلق من الموضع CC بدون سرعة ابتدائية على مستو مائل خال من الاحتكاك يميل عن الأفق بزاوية β=30∘\beta = 30^{\circ} ، ليصطدم في الموضع DD بنابض مرن مهمل الكتلة، حلقاته غير متلاصقة، ثابت مرونته KK ، فيضغطه بالمقدار x0x_0 ويتوقف لحظيا في الموضع EE .

1)

مثل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين الموضعين CC و DD .

2)

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة للجملة (جسم) بين الموضعين CC و DD ، جد سرعة اصطدام الجسم بالنابض vDv_D علما أن: CD=1 mCD = 1\ \mathrm{m} .

3)

يمثل الشكل (8) بيان تغيرات الطاقة الكامنة المرونية للنابض بدلالة مربع مقدار الانضغاط x2x^2 للنابض.

الشكل (8)

باستغلال البيان، جد:

أ)

مقدار الانضغاط الأعظمي x0x_0 للنابض.

ب)

الطاقة الكامنة المرونية EpeEE_{peE} في الموضع EE .

ج)

ثابت مرونة النابض KK .

د)

استنتج شدة توتر النابض في الموضع EE .

عرض الحل

I

1)

يخضع الجسم لقوتين: ثقله P⃗\vec{P} ، ورد الفعل R⃗\vec{R} العمودي على المسار والمتجه نحو المركز OO .

2)

الجملة (جسم) تستقبل عمل الثقل، وعمل R⃗\vec{R} معدوم.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين A و M

3)

EcA+WAM(P⃗)=EcME_{cA} + W_{AM}(\vec{P}) = E_{cM} مع EcA=0E_{cA} = 0 ، والارتفاع المقطوع: h=r sin⁡αh = r\,\sin\alpha . إذن:

Ec=m g r sin⁡αE_c = m\,g\,r\,\sin\alpha
4)
أ)

البيان خط مستقيم يمر بالمبدأ، ومن النقطة (sin⁡α=1 ; Ec=0,9 J)(\sin\alpha = 1\ ;\ E_c = 0{,}9\ \mathrm{J}) معامل توجيهه 0,9 J0{,}9\ \mathrm{J} :

Ec=0,9 sin⁡αE_c = 0{,}9\,\sin\alpha

ب)

بالمطابقة مع Ec=m g r sin⁡αE_c = m\,g\,r\,\sin\alpha : m g r=0,9 Jm\,g\,r = 0{,}9\ \mathrm{J} ، ومنه:

r=0,90,2×10=0,45 mr = \dfrac{0{,}9}{0{,}2 \times 10} = 0{,}45\ \mathrm{m}
ج)

في الموضع BB : α=90∘\alpha = 90^{\circ} أي sin⁡α=1\sin\alpha = 1 ، ومنه EcB=0,9 JE_{cB} = 0{,}9\ \mathrm{J} .

vB=2 EcBm=2×0,90,2=3 m/sv_B = \sqrt{\dfrac{2\,E_{cB}}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 0{,}9}{0{,}2}} = 3\ \mathrm{m/s}

II

1)

تفقد الجملة (جسم) كل طاقتها الحركية بعمل قوة الاحتكاك، وعملا P⃗\vec{P} و R⃗\vec{R} معدومان.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين B و C

2)

EcB−f⋅BC=EcCE_{cB} - f \cdot BC = E_{cC} مع EcC=0E_{cC} = 0 :

f=EcBBC=0,91=0,9 Nf = \dfrac{E_{cB}}{BC} = \dfrac{0{,}9}{1} = 0{,}9\ \mathrm{N}

III

1)

تستقبل الجملة (جسم) عمل الثقل، وعمل R⃗\vec{R} معدوم لانعدام الاحتكاك.

الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين C و D

2)

EcC+m g CD sin⁡β=EcDE_{cC} + m\,g\,CD\,\sin\beta = E_{cD} مع EcC=0E_{cC} = 0 :

vD=2 g CD sin⁡β=2×10×1×0,5=10≈3,16 m/sv_D = \sqrt{2\,g\,CD\,\sin\beta } = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times 0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\ \mathrm{m/s}
3)

أ)

ينتهي البيان عند x2=2,25×10−2 m2x^2 = 2{,}25 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2} (الانضغاط الأعظمي)، ومنه:

x0=2,25×10−2=0,15 mx_0 = \sqrt{2{,}25 \times 10^{-2}} = 0{,}15\ \mathrm{m}
ب)

نقرأ من البيان: EpeE=1,15 JE_{peE} = 1{,}15\ \mathrm{J} .

ج)

Epe=12 K x2E_{pe} = \dfrac{1}{2}\,K\,x^2 ، إذن البيان خط مستقيم معامل توجيهه K2\dfrac{K}{2} :

K=2 EpeEx02=2×1,152,25×10−2≈102 N/mK = \dfrac{2\,E_{peE}}{x_0^2} = \dfrac{2 \times 1{,}15}{2{,}25 \times 10^{-2}} \approx 102\ \mathrm{N/m}
د)

T=K x0≈102×0,15≈15,3 NT = K\,x_0 \approx 102 \times 0{,}15 \approx 15{,}3\ \mathrm{N}

تحقق: بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (جسم + نابض) بين DD و EE : EpeE=EcD+m g x0 sin⁡β=1+0,2×10×0,15×0,5=1,15 JE_{peE} = E_{cD} + m\,g\,x_0\,\sin\beta = 1 + 0{,}2 \times 10 \times 0{,}15 \times 0{,}5 = 1{,}15\ \mathrm{J} ، وهي القيمة المقروءة من البيان.

ملاحظة: تقبل القيم المقروءة بيانيا في حدود دقة القراءة.