منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثانية ثانوي

العمل والطاقة الحركية في الحركة الدورانية

أمثلة محلولة

التطبيق الأول - توازن عارضة قابلة للدوران

عارضة متجانسة $AB$ طولها $L = 2\ \mathrm{m}$ وكتلتها $m = 10\ \mathrm{kg}$ قابلة للدوران حول محور أفقي يمرّ بالطرف $A$ ، تُحفظ أفقية بواسطة خيط شاقولي مشدود في $B$ . نعلّق في النقطة $C$ حيث $AC = 1{,}5\ \mathrm{m}$ جسما كتلته $m' = 4\ \mathrm{kg}$ . نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ . أحسب توتّر الخيط $T$ وردّ فعل المحور $R$ .

الحل

الشرط الثاني بالنسبة للمحور المارّ بـ $A$ (ثقل العارضة في منتصفها، وردّ فعل المحور عزمه معدوم) :

T \cdot L - m g \cdot (L/2) - m' g \cdot AC = 0 \Rightarrow T = (100 \times 1 + 40 \times 1{,}5) / 2 = 80\ \mathrm{N}

الشرط الأول على المحور الشاقولي :

R + T = m g + m' g \Rightarrow R = 140 - 80 = 60\ \mathrm{N}

التطبيق الثاني - استطاعة محرك وعمل مزدوجة

محرّك يطبّق على محوره مزدوجة عزمها $\mathcal{M} = 12\ \mathrm{N{\cdot}m}$ ، فيدور بتواتر $n = 1500\ \mathrm{tr/min}$ . أحسب استطاعته، وعمله خلال $10\ \mathrm{s}$ .

الحل

\omega = 2\pi \times 1500 / 60 \approx 157\ \mathrm{rad/s} \Rightarrow P = \mathcal{M} \cdot \omega = 12 \times 157 \approx 1{,}88\times 10^{3}\ \mathrm{W}

W = P \cdot \Delta t = 1{,}88\times 10^{3} \times 10 \approx 1{,}88\times 10^{4}\ \mathrm{J}

تحقّق : $\Delta \theta = \omega \cdot \Delta t = 1570\ \mathrm{rad}$ و $W = \mathcal{M}\cdot \Delta \theta = 12 \times 1570 \approx 1{,}88\times 10^{4}\ \mathrm{J}$ . ✓

التطبيق الثالث - جسم يدور تحت تأثير عزم محرك وعزم احتكاك

أسطوانة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 0{,}2\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ تنطلق من السكون تحت تأثير عزم محرّك ثابت $\mathcal{M} = 5\ \mathrm{N{\cdot}m}$ فتنجز 8 دورات، مع عزم احتكاك ثابت $\mathcal{M}_{f} = 1\ \mathrm{N{\cdot}m}$ . أحسب سرعتها الزاوية النهائية.

الحل

الجملة : الأسطوانة. الزاوية الممسوحة : $\Delta \theta = 2\pi \times 8 = 16\pi \approx 50{,}3\ \mathrm{rad}$ . ردّ فعل المحور وثقل الأسطوانة (محورها يمرّ بمركز عطالتها) عملهما معدوم.

E_{c1} + W(\mathcal{M}) + W(\mathcal{M}_{f}) = E_{c2} \Rightarrow 0 + (5 - 1) \times 50{,}3 = \tfrac{1}{2} \times 0{,}2 \times \omega ^{2}

\omega = \sqrt{2 \times 201 / 0{,}2} = \sqrt{2{,}01\times 10^{3}} \approx 44{,}8\ \mathrm{rad/s}

أي تواتر $n = 60 \omega / 2\pi \approx 428\ \mathrm{tr/min}$ .

التطبيق الرابع - بكرة وجسم معلق: انسحاب ودوران معا

بكرة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ونصف قطرها $r = 0{,}1\ \mathrm{m}$ ، يلتفّ على محيطها خيط لا يمتدّ ولا ينزلق، يحمل جسما كتلته $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ يُترك دون سرعة ابتدائية. أحسب سرعة الجسم وسرعة البكرة الزاوية بعد نزوله $h = 1{,}2\ \mathrm{m}$ (نهمل الاحتكاك، $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ ).

الحل

الجملة (بكرة + جسم) : الجسم في حركة انسحابية والبكرة في حركة دورانية

الخيط لا ينزلق : $v = r\cdot \omega$ . طاقة الجملة الحركية :

E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} = \tfrac{1}{2} ( m + J_{\Delta}/r^{2} ) v^{2}

القوى الخارجية : ثقل الجسم $(W = mgh)$ ، وثقل البكرة وردّ فعل المحور (عملهما معدوم). عمل قوتي الخيط على الجسم وعلى البكرة يلغي بعضهما (الخيط غير ممتدّ ولا ينزلق).

\tfrac{1}{2} ( m + J_{\Delta}/r^{2} ) v^{2} = m g h \Rightarrow v = \sqrt{2 m g h / ( m + J_{\Delta}/r^{2} )}

J_{\Delta}/r^{2} = 10^{-2} / 10^{-2} = 1\ \mathrm{kg} \Rightarrow v = \sqrt{2 \times 0{,}5 \times 10 \times 1{,}2 / 1{,}5} = \sqrt{8} \approx 2{,}8\ \mathrm{m/s}

\omega = v / r = 2{,}83 / 0{,}1 \approx 28\ \mathrm{rad/s}

24 تمرينا متدرجا محلولا

سلسلة التمارين الكاملة للوحدة، مرتبة من الأسهل إلى الأصعب: الحركة الدورانية، عزم قوة والمزدوجة، عزم العطالة ومبرهنة هويغنز، توازن جسم قابل للدوران، عمل المزدوجة ونظرية الطاقة الحركية، ثم جمل تجمع الانسحاب والدوران. كل حل يبدأ بتوجيه منهجي، مع التنبيه إلى الأخطاء الشائعة، ويرفق بالأشكال والحصائل الطاقوية.

تحميل التمارين دون حلول (Word)

التمرين 1 - حصانان على لعبة دوّارة

سهل

في لعبة أطفال دوّارة يوجد حصانان $A$ و $B$ يبعدان عن مركز الدوران $O$ بالمسافتين $6\ \mathrm{m}$ و $2\ \mathrm{m}$ على الترتيب. تدور اللعبة بتواتر $n = 15\ \mathrm{tr/min}$ .

شكل التمرين 1

أحسب السرعة الزاوية $\omega$ للّعبة.

أحسب السرعة الخطية لكلّ من الحصانين.

يقطع الحصان $A$ مسافة $12\ \mathrm{m}$ على مساره. ما المسافة التي يقطعها الحصان $B$ خلال نفس المدّة ؟

أحسب الزاوية $\theta$ الممسوحة خلال هذه المدّة (بالراديان ثم بالدرجات)، ثمّ مدّة الحركة.

تحقق من نتائجك

المقدار	$\omega\ (rad/s)$	$v_A\ (m/s)$	$v_B\ (m/s)$	$S_B\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: حوّل التواتر إلى سرعة زاوية $\omega = 2\pi n/60$ . كلّ نقاط اللعبة لها نفس $\omega$ ، وتختلف سرعاتها الخطية $v = R\cdot \omega$ باختلاف البعد عن المحور. وتربط $S = R\cdot \theta$ المسافة بالزاوية.

\omega = 2\pi n / 60 = 2\pi \times 15 / 60 = \pi /2 \approx 1{,}57\ \mathrm{rad/s}

v_{A} = R_{A} \cdot \omega = 6 \times 1{,}57 \approx 9{,}42\ \mathrm{m/s}

v_{B} = R_{B} \cdot \omega = 2 \times 1{,}57 \approx 3{,}14\ \mathrm{m/s}

الحصانان يمسحان نفس الزاوية $\theta$ : $S_{A} = R_{A}\cdot \theta$ و $S_{B} = R_{B}\cdot \theta$ ، ومنه $S_{B} / S_{A} = R_{B} / R_{A}$ :

S_{B} = S_{A} \times R_{B} / R_{A} = 12 \times 2 / 6 = 4\ \mathrm{m}

\theta = S_{A} / R_{A} = 12 / 6 = 2\ \mathrm{rad} \approx 115^{\circ}

عدد الدورات : $N = \theta / 2\pi = 2 / 6{,}28 \approx 0{,}32$ دورة. مدّة الحركة : $\Delta t = \theta / \omega = 2 / 1{,}57 \approx 1{,}27\ \mathrm{s}$ .

انتبه، خطأ شائع: $\theta = 2\ \mathrm{rad}$ ليست $2^{\circ}$ : تحويل الراديان إلى الدرجات بالضرب في $180/\pi$ .

التمرين 2 - قرص يدور حول محوره

سهل

قرص متجانس كتلته $m = 2\ \mathrm{kg}$ ونصف قطره $R = 0{,}2\ \mathrm{m}$ يدور حول محور ثابت $(\Delta )$ عمودي عليه ويمرّ بمركزه، بتواتر $n = 300\ \mathrm{tr/min}$ . عزم عطالته بالنسبة لـ $(\Delta )$ هو $J_{\Delta} = \tfrac{1}{2} m R^{2}$ .

شكل التمرين 2

أحسب عزم عطالة القرص $J_{\Delta}$ .

بيّن أنّ السرعة الزاوية تُعطى بالعلاقة $\omega = 2\pi n / 60$ (حيث $n$ بـ $\mathrm{tr/min}$ )، ثمّ أحسب قيمتها بـ $\mathrm{rad/s}$ .

أحسب الطاقة الحركية الدورانية للقرص.

تحقق من نتائجك

المقدار	$J_{\Delta}\ (kg{\cdot}m^2)$	$\omega\ (rad/s)$	$E_c\ (J)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: اكتب العلاقة بالرموز أوّلا، ثمّ حوّل كلّ المعطيات إلى وحدات النظام الدولي ( $kg, m, rad/s$ ) قبل التعويض.

J_{\Delta} = \tfrac{1}{2} m R^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0{,}2^{2} = 0{,}04\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

في دورة واحدة تمسح الزاوية $2\pi$ في المدّة $T$ ، والتواتر بـ $\mathrm{tr/min}$ هو عدد الدورات في $60\ \mathrm{s}$ :

\omega = 2\pi \times n / 60

\omega = 2\pi \times 300 / 60 = 10\pi \approx 31{,}4\ \mathrm{rad/s}

E_{c} = \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}04 \times 31{,}4^{2} \approx 19{,}7\ \mathrm{J}

التمرين 3 - فتح باب

سهل

باب عرضه $L = 0{,}9\ \mathrm{m}$ يدور حول محور شاقولي ثابت $(\Delta )$ يمرّ بمفصلاته (الشكل : منظر من الأعلى). نؤثّر على مقبضه، الذي يبعد عن المحور بالمسافة $d = 0{,}8\ \mathrm{m}$ ، بقوة $\vec{F}$ شدّتها $F = 20\ \mathrm{N}$ تقع في المستوي الأفقي.

شكل التمرين 3

أحسب عزم القوة $\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})$ عندما تكون $\vec{F}$ عمودية على مستوي الباب.

أحسب عزمها عندما تصنع $\vec{F}$ الزاوية $\alpha = 60^{\circ}$ مع مستوي الباب (الشكل)، علما أنّ $\mathcal{M}_{\Delta}(F) = F \cdot d \cdot \sin \alpha$ .

ما قيمة الزاوية $\alpha$ التي يكون من أجلها العزم أعظميا ؟ علّل.

على أيّ مسافة $d'$ من المحور يجب أن نطبّق القوة $\vec{F}$ عموديا على الباب لنحصل على نفس عزم السؤال 2 ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$\mathcal{M}\ (N{\cdot}m)$	$\mathcal{M}'\ (N{\cdot}m)$	$d'\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: عزم قوة = $F \times d$ حيث $d$ هو البعد العمودي بين المحور وحامل القوة، وليس المسافة إلى نقطة التطبيق. عندما تميل القوة بالزاوية $\alpha$ عن مستوي الباب يصبح $d = OH \cdot \sin \alpha$ .

$F$ عمودية : $d = 0{,}8\ \mathrm{m}$ ⇒

\mathcal{M}_{\Delta}(F) = F \cdot d = 20 \times 0{,}8 = 16\ \mathrm{N{\cdot}m}

\mathcal{M}_{\Delta}(F) = F \cdot d \cdot \sin 60^{\circ} = 20 \times 0{,}8 \times 0{,}866 \approx 13{,}9\ \mathrm{N{\cdot}m}

العزم أعظمي عندما $\sin \alpha = 1$ أي $\alpha = 90^{\circ}$ : القوة عمودية على الباب، فيكون ذراع القوة أكبر ما يمكن $(d = OH)$ .

القوة عمودية ⇒ $\mathcal{M} = F \cdot d'$ :

d' = \mathcal{M} / F = 13{,}9 / 20 \approx 0{,}69\ \mathrm{m}

$d' = d \cdot \sin 60^{\circ}$ ✓ (أي $0{,}69 m < 0{,}9\ \mathrm{m}$ : النقطة موجودة على الباب).

التمرين 4 - بكرة تحت تأثير مزدوجة

سهل

بكرة نصف قطرها $r = 0{,}2\ \mathrm{m}$ تدور تحت تأثير مزدوجة عزمها $\mathcal{M} = 150\ \mathrm{N{\cdot}m}$ بتواتر $n = 180\ \mathrm{tr/min}$ .

شكل التمرين 4

أحسب عمل المزدوجة عندما تنجز البكرة $120$ دورة.

أحسب استطاعة المزدوجة.

تتكوّن المزدوجة من قوتين $\vec{F_{1}}$ و $\vec{F_{2}}$ متساويتين في الشدّة تؤثّران مماسيا على البكرة. أحسب شدّة كلّ منهما.

تحقق من نتائجك

المقدار	$\Delta\theta\ (rad)$	$W\ (10^{5}\ J)$	$P\ (10^{3}\ W)$	$F\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: عمل المزدوجة $W = \mathcal{M}\cdot \Delta \theta$ (بالراديان)، واستطاعتها $P = \mathcal{M}\cdot \omega$ . وعزم المزدوجة $\mathcal{M} = F\cdot d$ حيث $d$ المسافة بين حاملي القوتين، أي القطر $2r$ للقوتين المماسيتين.

\Delta \theta = 2\pi \times 120 = 240\pi \approx 754\ \mathrm{rad}

W = \mathcal{M} \cdot \Delta \theta = 150 \times 754 \approx 1{,}13\times 10^{5}\ \mathrm{J}

\omega = 2\pi \times 180 / 60 = 6\pi \approx 18{,}8\ \mathrm{rad/s}

P = \mathcal{M} \cdot \omega = 150 \times 18{,}8 \approx 2{,}83\times 10^{3}\ \mathrm{W}

تحقّق : المدّة $\Delta t = 120 / 3 = 40\ \mathrm{s}$ و $W / \Delta t = 1{,}13\times 10^{5} / 40 \approx 2{,}83\times 10^{3}\ \mathrm{W}$ ✓.

\mathcal{M} = F \cdot d = F \cdot 2r \Rightarrow F = \mathcal{M} / 2r = 150 / (2 \times 0{,}2) = 375\ \mathrm{N}

التمرين 5 - ساق متجانسة

سهل

ساق متجانسة طولها $L = 0{,}6\ \mathrm{m}$ وكتلتها $m = 0{,}3\ \mathrm{kg}$ . عزم عطالتها بالنسبة لمحور $(\Delta _{G})$ عمودي عليها ويمرّ بمركز عطالتها $G$ هو $J_{\Delta _{G}} = (1/12) m L^{2}$ . نريد حساب عزم عطالتها بالنسبة لمحور $(\Delta )$ موازٍ لـ $(\Delta _{G})$ ويمرّ بالطرف $A$ .

شكل التمرين 5

أحسب $J_{\Delta _{G}}$ .

أكتب نصّ مبرهنة هويغنز.

باستعمال المبرهنة، أوجد عبارة $J_{\Delta}$ بدلالة $m$ و $L$ ، وبيّن أنّها تساوي $(1/3) m L^{2}$ . أحسب قيمتها.

نثبّت في الطرف $B$ كريّة صغيرة نعتبرها نقطية كتلتها $m' = 0{,}1\ \mathrm{kg}$ . أحسب عزم عطالة الجملة (ساق + كريّة) بالنسبة لـ $(\Delta )$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$J_{\Delta_G}\ (10^{-3}\ kg{\cdot}m^2)$	$J_{\Delta}\ (10^{-2}\ kg{\cdot}m^2)$	$J\ (10^{-2}\ kg{\cdot}m^2)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: ابحث أوّلا عن عزم العطالة بالنسبة لمحور يمرّ بـ $G$ ، ثمّ طبّق هويغنز $J_{\Delta '} = J_{\Delta _{G}} + m d^{2}$ حيث $d$ المسافة بين المحورين المتوازيين. وعزم عطالة جملة هو مجموع عزوم عطالة أجزائها.

J_{\Delta _{G}} = (1/12) m L^{2} = (1/12) \times 0{,}3 \times 0{,}6^{2} = 9{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

مبرهنة هويغنز : عزم عطالة جسم صلب بالنسبة لمحور $(\Delta )$ لا يمرّ بمركز عطالته ويوازي المحور $(\Delta _{G})$ المارّ بمركز العطالة يساوي عزم عطالته بالنسبة لـ $(\Delta _{G})$ مضافا إليه جداء كتلته في مربّع المسافة $d$ بين المحورين.

المحور $(\Delta )$ يمرّ بالطرف $A$ فـ $d = AG = L/2$ :

J_{\Delta} = J_{\Delta _{G}} + m (L/2)^{2} = (1/12) m L^{2} + (1/4) m L^{2} = (1/3) m L^{2}

J_{\Delta} = (1/3) \times 0{,}3 \times 0{,}6^{2} = 3{,}6\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

الكريّة النقطية على بعد $AB = L = 0{,}6\ \mathrm{m}$ من $(\Delta )$ : $J' = m' L^{2} = 0{,}1 \times 0{,}36 = 3{,}6\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ .

J = J_{\Delta} + J' = 3{,}6\times 10^{-2} + 3{,}6\times 10^{-2} = 7{,}2\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

التمرين 6 - جملة مركّبة

سهل

تتكوّن جملة ميكانيكية من بكرة كتلتها $M = 100\ \mathrm{g}$ موزّعة بانتظام على محيطها ونصف قطرها $R = 20\ \mathrm{cm}$ ، تخترق مركزها $O$ ساق $AB$ مهملة الكتلة طولها $L = 80\ \mathrm{cm}$ (مثبتة من منتصفها $O$ )، وتحمل عند طرفيها كتلتين نقطيتين متماثلتين $S$ كتلة كلّ منهما $m = 50\ \mathrm{g}$ .

شكل التمرين 6

أحسب عزم عطالة الجملة بالنسبة لمحور أفقي $(\Delta )$ عمودي على مستوي البكرة ويمرّ بمركزها $O$ .

أيّ الجزأين (البكرة أم الكتلتان) يساهم أكثر في عزم العطالة الكلّي ؟ علّل.

تحقق من نتائجك

المقدار	$J_P\ (10^{-3}\ kg{\cdot}m^2)$	$J_S\ (10^{-2}\ kg{\cdot}m^2)$	$J_{\Delta}\ (10^{-2}\ kg{\cdot}m^2)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: عزم عطالة الجملة = مجموع عزوم عطالة أجزائها بالنسبة لنفس المحور. البكرة التي كتلتها موزّعة على محيطها تُعامَل كحلقة : $J = M R^{2}$ . أمّا الكتلتان النقطيتان فكلّ منهما على بعد $L/2$ من المحور.

J_{P} = M R^{2} = 0{,}1 \times 0{,}2^{2} = 4\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

J_{S} = 2 \times m (L/2)^{2} = 2 \times 0{,}05 \times 0{,}4^{2} = 1{,}6\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

الساق مهملة الكتلة : عزم عطالتها معدوم.

J_{\Delta} = 4\times 10^{-3} + 1{,}6\times 10^{-2} = 2{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

مساهمة الكتلتين $1{,}6\times 10^{-2}$ أي $80 \%$ من الكلّ، ومساهمة البكرة $20 \%$ فقط، مع أنّ كتلة البكرة ( $100\ \mathrm{g}$ ) تساوي كتلة الكتلتين معا : لأنّ العزم يتعلّق بمربّع البعد عن المحور، والكتلتان أبعد ( $40\ \mathrm{cm}$ مقابل $20\ \mathrm{cm}$ ).

التمرين 7 - قضيب خاضع لقوى

سهل

قضيب متجانس $AB$ طوله $1\ \mathrm{m}$ وثقله $P = 10\ \mathrm{N}$ ، قابل للدوران حول محور أفقي $(\Delta )$ عمودي على مستوي الشكل يمرّ بالنقطة $O$ حيث $OA = 30\ \mathrm{cm}$ و $OG = 20\ \mathrm{cm}$ ( $G$ مركز عطالته). يوجد القضيب في وضع أفقي، ونطبّق عليه قوتين تقعان في المستوي الشاقولي : $\vec{F_{1}}$ في $A$ شدّتها $2\ \mathrm{N}$ موجّهة نحو الأسفل وتصنع مع القضيب الزاوية $\alpha = 60^{\circ}$ ، و $\vec{F_{2}}$ في $B$ شدّتها $1{,}5\ \mathrm{N}$ عمودية على القضيب ونحو الأعلى. نعتبر المنحى الموجب عكس دوران عقارب الساعة.

شكل التمرين 7

أحسب عزم كلّ قوة ( $\vec{F_{1}}$ ، $\vec{F_{2}}$ ، $\vec{P}$ ) بالنسبة لـ $(\Delta )$ .

أحسب مجموع عزوم القوى المؤثّرة على القضيب.

عيّن منحى دوران القضيب.

عرض الحل

توجيه منهجي: لكلّ قوة : (1) حدّد منحى دورانها حول المحور (لتعرف إشارة العزم)، (2) احسب ذراعها $d$ ، (3) $\mathcal{M} = \pm F\cdot d$ . حامل الثقل شاقولي يمرّ بـ $G$ : ذراعه $OG$ . ثمّ اجمع جبريا.

المنحى الموجب : عكس دوران عقارب الساعة. $\vec{F_{1}}$ تدفع النقطة $A$ (يسار $O$ ) نحو الأسفل : دوران في المنحى الموجب. ذراعها $d_{1} = OA \cdot \sin \alpha = 0{,}3 \times 0{,}866 \approx 0{,}26\ \mathrm{m}$ :

\mathcal{M}(F_{1}) = + F_{1} d_{1} = + 2 \times 0{,}26 \approx + 0{,}52\ \mathrm{N{\cdot}m}

$\vec{F_{2}}$ عمودية، تدفع $B$ (يمين $O$ ) نحو الأعلى : دوران موجب، ذراعها $OB = 0{,}7\ \mathrm{m}$ :

\mathcal{M}(F_{2}) = + F_{2} \cdot OB = + 1{,}5 \times 0{,}7 = + 1{,}05\ \mathrm{N{\cdot}m}

الثقل $\vec{P}$ في $G$ (يمين $O$ ) نحو الأسفل : دوران سالب، ذراعه $OG = 0{,}2\ \mathrm{m}$ :

\mathcal{M}(P) = - P \cdot OG = - 10 \times 0{,}2 = - 2{,}0\ \mathrm{N{\cdot}m}

(ردّ فعل المحور يقطع المحور : عزمه معدوم.)

\Sigma \mathcal{M} = + 0{,}52 + 1{,}05 - 2{,}0 \approx - 0{,}43\ \mathrm{N{\cdot}m}

المجموع سالب : يدور القضيب في المنحى السالب، أي في اتجاه دوران عقارب الساعة، ويغلب عزم الثقل.

انتبه، خطأ شائع: الذراع $d$ هو البعد العمودي عن حامل القوة : لـ $\vec{F_{1}}$ ليس $OA$ بل $OA\cdot \sin \alpha$ .

التمرين 8 - صفيحة خاضعة لأربع قوى

سهل

صفيحة متجانسة مستطيلة $ABCD$ ( $AB = 2AD = 80\ \mathrm{cm}$ ) تدور بحرّية حول محور أفقي $(\Delta )$ عمودي على مستويها يمرّ بمركزها $O$ ، وهي في وضع شاقولي. تُطبَّق عليها في النقاط $A$ و $B$ و $D$ و $H$ (حيث $CH = 20\ \mathrm{cm}$ ) القوى $\vec{F_{1}}$ و $\vec{F_{2}}$ و $\vec{F_{3}}$ و $\vec{F_{4}}$ المبيّنة في الشكل : $\vec{F_{1}}$ و $\vec{F_{2}}$ شاقوليتان نحو الأعلى، $\vec{F_{4}}$ شاقولية نحو الأسفل، و $\vec{F_{3}}$ أفقية نحو اليسار ( $F_{2} \perp F_{3}$ ). $F_{1} = 4\ \mathrm{N}$ ؛ $F_{2} = 3\ \mathrm{N}$ ؛ $F_{3} = 5\ \mathrm{N}$ ؛ $F_{4} = 3\ \mathrm{N}$ . المنحى الموجب : عكس دوران عقارب الساعة.

شكل التمرين 8

أحسب عزم كلّ قوة بالنسبة لـ $(\Delta )$ .

في أيّ جهة تدور الصفيحة ؟

نطبّق في النقطة $C$ قوة $\vec{F_{5}}$ شاقولية لتتوازن الصفيحة. أحسب شدّتها وحدّد جهتها.

تحقق من نتائجك

المقدار	$F_5\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: نعتبر المحور في المركز $O$ . لكلّ قوة : الذراع = المسافة العمودية بين $O$ وحامل القوة. القوى الشاقولية : ذراعها المسافة الأفقية لنقطة التطبيق ( $40\ \mathrm{cm}$ لـ $A$ و $B$ ، $20\ \mathrm{cm}$ لـ $H$ ). القوة الأفقية في $D$ : ذراعها المسافة الشاقولية $20\ \mathrm{cm}$ .

$\vec{F_{1}}$ (في $A$ ، إلى أعلى) : تدير في عقارب الساعة : $\mathcal{M}_{1} = - 4 \times 0{,}4 = - 1{,}6\ \mathrm{N{\cdot}m}$
$\vec{F_{2}}$ (في $B$ ، إلى أعلى) : عكس عقارب الساعة : $\mathcal{M}_{2} = + 3 \times 0{,}4 = + 1{,}2\ \mathrm{N{\cdot}m}$
$\vec{F_{3}}$ (في $D$ ، أفقية نحو اليسار، تحت المحور) : في عقارب الساعة : $\mathcal{M}_{3} = - 5 \times 0{,}2 = - 1{,}0\ \mathrm{N{\cdot}m}$
$\vec{F_{4}}$ (في $H$ ، إلى أسفل، يمين $O$ ) : في عقارب الساعة : $\mathcal{M}_{4} = - 3 \times 0{,}2 = - 0{,}6\ \mathrm{N{\cdot}m}$

\Sigma \mathcal{M} = - 1{,}6 + 1{,}2 - 1{,}0 - 0{,}6 = - 2{,}0\ \mathrm{N{\cdot}m}

المجموع سالب : تدور الصفيحة في اتجاه دوران عقارب الساعة.

لتتوازن الصفيحة يجب أن يكون $\Sigma \mathcal{M} = 0$ ، أي أن تؤدّي $\vec{F_{5}}$ عزما موجبا $+ 2{,}0\ \mathrm{N{\cdot}m}$ . $C$ (يمين $O$ ) على بعد أفقي $0{,}4\ \mathrm{m}$ من المحور : القوة الشاقولية إلى أعلى :

\mathcal{M}(F_{5}) = + F_{5} \times 0{,}4 = + 2{,}0 \Rightarrow F_{5} = 5\ \mathrm{N}

القوة F₅ (بالأخضر) تعاكس الدوران

التمرين 9 - ساق مثبّتة بخيط

متوسط

ساق متجانسة $AB$ طولها $L = 1\ \mathrm{m}$ وكتلتها $m = 2\ \mathrm{kg}$ ، قابلة للدوران حول محور أفقي ثابت $(\Delta )$ يمرّ بالنقطة $A$ . تُحفظ في وضع أفقي بواسطة خيط $BC$ مثبّت في حائط شاقولي (في جهة $A$ ) عند $C$ ، يصنع مع الساق الزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ . نعلّق في النقطة $D$ من الساق، حيث $AD = 0{,}75\ \mathrm{m}$ ، جسما كتلته $M = 1\ \mathrm{kg}$ . نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 9

مثّل على الشكل القوى المؤثّرة على الساق.

أكتب شرط توازن الساق (مجموع عزوم القوى بالنسبة لـ $(\Delta )$ معدوم).

استنتج شدّة توتّر الخيط $T$ .

أوجد مركبتي ردّ فعل المحور $\vec{R}$ على الساق (الأفقية $R_{x}$ والشاقولية $R_{y}$ )، ثمّ أحسب شدّته $R$ .

يتحمّل الخيط توتّرا أقصاه $T_{max} = 60\ \mathrm{N}$ . ما أكبر كتلة $M_{max}$ يمكن تعليقها في $D$ دون أن ينقطع الخيط ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$T\ (N)$	$R\ (N)$	$M_{max}\ (kg)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: ساق قابلة للدوران حول $A$ : اختر المحور المارّ بـ $A$ ، فيختفي ردّ الفعل $\vec{R}$ (المجهول) من معادلة العزوم، وتجد $T$ مباشرة. بعدها اسقط $\Sigma F = 0$ على المحورين لتجد $R_{x}$ و $R_{y}$ .

القوى : ثقل الساق $\vec{P}$ في $G$ (منتصفها) ؛ قوة الخيط $\vec{P_{M}}$ على الساق في $D$ (ثقل الجسم، شدّتها $M\cdot g$ ) ؛ توتّر الخيط $\vec{T}$ في $B$ (باتجاه $C$ ) ؛ ردّ فعل المحور $\vec{R}$ في $A$ . القوى المؤثّرة على الساق (ردّ فعل المحور بمركبتيه)

المنحى الموجب : منحى دوران الساق الذي يسبّبه $\vec{T}$ (عكس عقارب الساعة). ذراع $\vec{T}$ هو $AB \cdot \sin \alpha = L \sin \alpha$ :

\Sigma \mathcal{M}_{\Delta} = T \cdot L \cdot \sin \alpha - P \cdot (L/2) - M g \cdot AD = 0

T = ( m g \cdot L/2 + M g \cdot AD ) / ( L \cdot \sin \alpha ) = ( 2\times 10\times 0{,}5 + 1\times 10\times 0{,}75 ) / ( 1 \times 0{,}5 ) = 17{,}5 / 0{,}5 = 35\ \mathrm{N}

الشرط الأول $\Sigma \vec{F} = \vec{0}$ بالإسقاط : أفقيا :

R_{x} - T \cos \alpha = 0 \Rightarrow R_{x} = 35 \times 0{,}866 \approx 30{,}3\ \mathrm{N}

شاقوليا :

R_{y} + T \sin \alpha - (m + M) g = 0 \Rightarrow R_{y} = 30 - 17{,}5 = 12{,}5\ \mathrm{N}

R = \sqrt{R_{x}^{2} + R_{y}^{2}} = \sqrt{30{,}3^{2} + 12{,}5^{2}} \approx 32{,}8\ \mathrm{N}

عند الحدّ الأقصى $T = T_{max} = 60\ \mathrm{N}$ :

60 \times 1 \times 0{,}5 = 10 + M_{max} \times 10 \times 0{,}75 \Rightarrow M_{max} = 20 / 7{,}5 \approx 2{,}7\ \mathrm{kg}

انتبه، خطأ شائع: $\Sigma \mathcal{M} = 0$ تُكتب بالنسبة للمحور المارّ بـ $A$ : لا تُدخل $\vec{R}$ فيها، ولا تنسَ ثقل الساق نفسها في منتصفها.

التمرين 10 - مسطرة وربيعة

متوسط

مسطرة متجانسة $AB$ كتلتها $m = 200\ \mathrm{g}$ وطولها $l = 80\ \mathrm{cm}$ ، يمكنها الدوران حول محور أفقي ثابت $(\Delta )$ يمرّ بطرفها $A$ . الطرف $B$ مشدود بواسطة ربيعة $D$ معلّقة في الأعلى. لجعل المسطرة متوازنة أفقيا نعلّق بخيط في نقطة $C$ تبعد عن $A$ بالمسافة $d$ كتلة $m_{1} = 160\ \mathrm{g}$ . نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 10

مثّل القوى المؤثّرة على المسطرة في حالة التوازن.

أذكر شرطي توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت.

الربيعة تشير عند التوازن إلى القيمة $2\ \mathrm{N}$ . أحسب المسافة $d$ .

أحسب شدّة ردّ فعل المحور $R$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$d\ (m)$	$R\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: حدّد المحور (المارّ بـ $A$ ) واكتب $\Sigma \mathcal{M} = 0$ : توتّر الربيعة (ما تشير إليه) عزمه موجب، والثقلان عزومهما سالبة. حوّل الكتل إلى $\mathrm{kg}$ .

القوى : ثقل المسطرة $\vec{P}$ في منتصفها ؛ قوة الخيط $\vec{P_{1}}$ في $C$ (ثقل $m_{1}$ ) ؛ توتّر الربيعة $\vec{T}$ في $B$ ؛ ردّ فعل المحور $\vec{R}$ في $A$ . القوى المؤثّرة على المسطرة

الشرط الأول : المجموع الشعاعي للقوى معدوم. الشرط الثاني : مجموع عزوم القوى بالنسبة للمحور معدوم.

$P = m g = 0{,}2 \times 10 = 2\ \mathrm{N}$ و $P_{1} = m_{1}\ \mathrm{g} = 0{,}16 \times 10 = 1{,}6\ \mathrm{N}$ :

\Sigma \mathcal{M} = T \cdot l - P \cdot (l/2) - P_{1} \cdot d = 0

d = ( T l - P l/2 ) / P_{1} = ( 2 \times 0{,}8 - 2 \times 0{,}4 ) / 1{,}6 = 0{,}8 / 1{,}6 = 0{,}5\ \mathrm{m}

R + T = P + P_{1} \Rightarrow R = 2 + 1{,}6 - 2 = 1{,}6\ \mathrm{N}

ردّ الفعل موجّه نحو الأعلى.

التمرين 11 - أسطوانتان ملتحمتان

متوسط

تتكوّن جملة ميكانيكية من أسطوانتين خفيفتين $C_{1}$ و $C_{2}$ ملتحمتين لهما نفس محور الدوران $(\Delta )$ ، نصفا قطريهما $r_{1} = 10\ \mathrm{cm}$ و $r_{2} = 20\ \mathrm{cm}$ . نلفّ حبلا خفيفا على كلّ أسطوانة، وينتهي الحبلان بجسمين $A$ و $B$ كتلتاهما $m_{1}$ و $m_{2}$ كما في الشكل. الجملة في حالة توازن. نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 11

مثّل القوى المؤثّرة على الجسمين $A$ و $B$ ، وعلى جملة الأسطوانتين.

طبّق شرطي التوازن على الجسمين وعلى الأسطوانتين، واستنتج العلاقة بين $m_{1}$ و $m_{2}$ و $r_{1}$ و $r_{2}$ . أحسب $m_{2}$ علما أنّ $m_{1} = 600\ \mathrm{g}$ .

أحسب شدّة ردّ فعل المحور على الجملة.

نُعطي الجملة دفعة خفيفة نحو الأسفل من جهة $A$ فتدور بسرعة زاوية $\omega = 2\ \mathrm{rad/s}$ ، مع إهمال الاحتكاك.

حدّد طبيعة حركة كلّ من $A$ و $B$ والأسطوانتين.

أحسب سرعة كلّ من الجسمين $A$ و $B$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$m_2\ (g)$	$R\ (N)$	$v_A\ (m/s)$	$v_B\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الحبلان شاقوليان : كلّ جسم في توازن تحت ثقله وتوتّر حبله ⇒ $T = m g$ . أمّا الأسطوانتان فخاضعتان لتوتّري الحبلين (عزماهما متعاكسان) ولردّ الفعل. إذا كان $\Sigma \mathcal{M} = 0$ فالدوران (إن وُجد) منتظم.

الجسم $A$ : ثقله $\vec{P_{A}}$ وتوتّر الحبل $\vec{T_{1}'}$ . الجسم $B$ : $\vec{P_{B}}$ و $\vec{T_{2}'}$ . الأسطوانتان : توتّرا الحبلين $\vec{T_{1}}$ (على $C_{1}$ ) و $\vec{T_{2}}$ (على $C_{2}$ )، ثقل الجملة مهمل (أسطوانتان خفيفتان)، وردّ فعل المحور $\vec{R}$ . القوى المؤثّرة على الجملة (الأسطوانتان)

الجسمان : $T_{1} = m_{1}\ \mathrm{g}$ و $T_{2} = m_{2}\ \mathrm{g}$ . الأسطوانتان : عزما $\vec{T_{1}}$ و $\vec{T_{2}}$ متعاكسان :

\Sigma \mathcal{M} = T_{2} r_{2} - T_{1} r_{1} = 0 \Rightarrow m_{2} g r_{2} = m_{1} g r_{1} \Rightarrow m_{2} = m_{1} r_{1} / r_{2}

m_{2} = 600 \times 10 / 20 = 300\ \mathrm{g}

الشرط الأول على الأسطوانتين :

R = T_{1} + T_{2} = (m_{1} + m_{2}) g = 0{,}9 \times 10 = 9\ \mathrm{N}

الدفعة تُكسب الجملة سرعة زاوية، ومجموع العزوم يبقى معدوما ⇒ $\omega$ ثابتة : الأسطوانتان في دوران منتظم، و $A$ و $B$ في حركة مستقيمة منتظمة (انسحابية، شاقولية) : أحدهما ينزل والآخر يصعد.

v_{A} = \omega r_{1} = 2 \times 0{,}1 = 0{,}2\ \mathrm{m/s}

v_{B} = \omega r_{2} = 2 \times 0{,}2 = 0{,}4\ \mathrm{m/s}

التمرين 12 - بكرتان وجسم ثقيل

متوسط

بكرتان ملتحمتان، الأولى $P_{1}$ نصف قطرها $r_{1} = 40\ \mathrm{cm}$ والثانية $P_{2}$ نصف قطرها $r_{2} = 10\ \mathrm{cm}$ ، لهما نفس المحور $(\Delta )$ . يُلفّ على كلّ منهما حبل مهمل الكتلة غير ممتدّ. يشدّ حبل $P_{2}$ جسما صلبا $S$ ثقله $P = 8000\ \mathrm{N}$ ، ونؤثّر على الطرف $A$ للحبل الملفوف على $P_{1}$ بقوة $\vec{F}$ شدّتها ثابتة تجعل الطرف $A$ يتحرّك بسرعة ثابتة $v_{A} = 0{,}4\ \mathrm{m/s}$ وفق خطّ مستقيم أفقي (الشكل). نهمل ثقل البكرتين.

شكل التمرين 12

مثّل مختلف القوى المؤثّرة في جملة البكرتين.

أحسب شدّة القوة $\vec{F}$ .

أحسب السرعة الزاوية للجملة $(P_{1}, P_{2})$ .

أحسب $v_{S}$ سرعة الجسم $S$ ، وقارن بين $v_{A}$ و $v_{S}$ .

قارن بين المسافة التي يقطعها الطرف $A$ وتلك التي يقطعها الجسم $S$ خلال نفس المدّة $\Delta t$ .

قارن بين استطاعة القوة $\vec{F}$ واستطاعة ثقل الجسم $S$ . ماذا تستنتج ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$F\ (N)$	$v_S\ (m/s)$	$P_F\ (W)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: السرعة ثابتة ⇒ الجملة في توازن : $\Sigma \mathcal{M} = 0$ . جسم $S$ يتحرّك بسرعة ثابتة فتوتّر حبله يساوي ثقله. والخيط غير ممتدّ ولا ينزلق : $v = r \cdot \omega$ لكلّ بكرة.

القوى على جملة البكرتين : $\vec{F}$ (قوة الحبل على $P_{1}$ ، أفقية في الأعلى) ؛ $\vec{T}$ (توتّر حبل $P_{2}$ ، شاقولي نحو الأسفل) ؛ ردّ فعل المحور $\vec{R}$ (ثقل الجملة مهمل). القوى المؤثّرة على الجملة (البكرتان) ثمّ على الجسم S

الجسم $S$ في توازن : $T = P = 8000\ \mathrm{N}$ . للبكرتين :

\Sigma \mathcal{M} = T r_{2} - F r_{1} = 0 \Rightarrow F = P \cdot r_{2} / r_{1} = 8000 \times 0{,}1 / 0{,}4 = 2000\ \mathrm{N}

(ردّ الفعل : $R = \sqrt{F^{2} + P^{2}} \approx 8{,}2\times 10^{3}\ \mathrm{N}$ ).

\omega = v_{A} / r_{1} = 0{,}4 / 0{,}4 = 1\ \mathrm{rad/s}

v_{S} = \omega \cdot r_{2} = 1 \times 0{,}1 = 0{,}1\ \mathrm{m/s}

$v_{S} = v_{A} / 4$ : سرعة الجسم أصغر بأربع مرّات من سرعة الطرف $A$ (لأنّ $r_{2} = r_{1} / 4$ ).

$d_{A} = r_{1} \Delta \theta$ و $d_{S} = r_{2} \Delta \theta$ ⇒ $d_{A} / d_{S} = r_{1} / r_{2} = 4$ : يقطع $A$ مسافة تساوي أربعة أمثال مسافة $S$ .

P_{F} = F \cdot v_{A} = 2000 \times 0{,}4 = 800\ \mathrm{W}

P_{P} = P \cdot v_{S} = 8000 \times 0{,}1 = 800\ \mathrm{W}

الاستطاعتان متساويتان : لا ضياع للطاقة. ما نربحه في القوة (أصغر بأربع مرّات) نخسره في المسافة (أكبر بأربع مرّات) : مبدأ الرافعة.

التمرين 13 - عجلة تحت تأثير قوة مماسية

متوسط

عجلة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 0{,}5\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ونصف قطرها $r = 0{,}2\ \mathrm{m}$ ، قابلة للدوران حول محور ثابت $(\Delta )$ عمودي عليها ويمرّ بمركزها. تنطلق من السكون تحت تأثير قوة ثابتة $\vec{F}$ مماسية لمحيطها شدّتها $F = 20\ \mathrm{N}$ ، فتنجز $10$ دورات. نهمل الاحتكاكات.

شكل التمرين 13

أحسب عزم القوة $\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})$ بالنسبة للمحور $(\Delta )$ .

أحسب الزاوية $\Delta \theta$ التي مسحتها العجلة بالراديان.

أحسب عمل القوة $\vec{F}$ خلال هذه الحركة، علما أنّ $W(F) = \mathcal{M}_{\Delta}(F) \cdot \Delta \theta$ .

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية، استنتج السرعة الزاوية النهائية $\omega _{f}$ للعجلة.

تحقق من نتائجك

المقدار	$\mathcal{M}\ (N{\cdot}m)$	$W\ (J)$	$\omega_f\ (rad/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجملة : العجلة. القوى : $\vec{F}$ (عزمها غير معدوم)، الثقل وردّ فعل المحور (عزمهما معدوم، المحور يمرّ بمركز العطالة). تنطلق من السكون : $E_{c1} = 0$ .

القوة مماسية ⇒ ذراعها $r$ :

\mathcal{M}_{\Delta}(F) = F \cdot r = 20 \times 0{,}2 = 4\ \mathrm{N{\cdot}m}

\Delta \theta = 2\pi \times 10 = 20\pi \approx 62{,}8\ \mathrm{rad}

W(F) = \mathcal{M} \cdot \Delta \theta = 4 \times 62{,}8 \approx 251\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية

E_{c1} + W(F) = E_{c2} \Rightarrow 0 + 251 = \tfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times \omega _{f}^{2}

\omega _{f} = \sqrt{2 \times 251 / 0{,}5} = \sqrt{1005} \approx 31{,}7\ \mathrm{rad/s}

التمرين 14 - توقّف أسطوانة

متوسط

يُدير محرّك أسطوانة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 0{,}8\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ حول محور ثابت $(\Delta )$ فتبلغ سرعتها الزاوية $\omega _{0} = 50\ \mathrm{rad/s}$ . نفصل المحرّك عند لحظة نعتبرها مبدأ للأزمنة، فتتوقّف الأسطوانة بعد أن تنجز $20$ دورة، بسبب عزم احتكاك ثابت $\mathcal{M}_{f}$ . الحركة بعد الفصل متباطئة بانتظام.

شكل التمرين 14

أحسب الطاقة الحركية الدورانية للأسطوانة لحظة فصل المحرّك.

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية، أوجد شدّة عزم الاحتكاك $\mathcal{M}_{f}$ .

أحسب مدّة التوقّف $\Delta t$ (يمكن استعمال السرعة الزاوية المتوسّطة $\omega _{0}/2$ ).

أحسب الاستطاعة المتوسّطة التي يبدّدها الاحتكاك خلال التوقّف.

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{c0}\ (J)$	$\mathcal{M}_f\ (N{\cdot}m)$	$\Delta t\ (s)$	$P_{moy}\ (W)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: بعد فصل المحرّك لا يبقى إلاّ عزم الاحتكاك : عمله مقاوم $W = - \mathcal{M}_{f} \cdot \Delta \theta$ . الأسطوانة تتوقّف : $E_{c2} = 0$ . الحركة متباطئة بانتظام ⇒ السرعة الزاوية المتوسّطة $\omega _{0}/2$ .

E_{c0} = \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega _{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}8 \times 50^{2} = 1000\ \mathrm{J}

$\Delta \theta = 2\pi \times 20 = 40\pi \approx 126\ \mathrm{rad}$ . الحصيلة الطاقوية

E_{c0} - \mathcal{M}_{f} \cdot \Delta \theta = 0 \Rightarrow \mathcal{M}_{f} = 1000 / 126 \approx 7{,}96\ \mathrm{N{\cdot}m}

\Delta t = \Delta \theta / \omega _{moy} = 126 / (50/2) = 126 / 25 \approx 5{,}0\ \mathrm{s}

P_{moy} = |W| / \Delta t = 1000 / 5{,}03 \approx 199\ \mathrm{W}

تحقّق : $\mathcal{M}_{f} \cdot \omega _{moy} = 7{,}96 \times 25 \approx 199\ \mathrm{W}$ ✓.

التمرين 15 - قرص وكتلة نقطية

متوسط

قرص متجانس كتلته $M = 400\ \mathrm{g}$ نصف قطره $R = 12\ \mathrm{cm}$ بإمكانه الدوران بحرّية (دون احتكاك) في مستوٍ شاقولي حول محور أفقي $(\Delta )$ يمرّ بمركز عطالته $G$ . نثبّت عند نقطة $A$ من محيطه كتلة نقطية $m = 100\ \mathrm{g}$ . نُزيح الجملة عن وضع توازنها حتى تصبح $G$ و $A$ على خطّ أفقي واحد، ونتركها دون سرعة ابتدائية. نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 15

أحسب عزم عطالة الجملة (قرص + كتلة نقطية) حول $(\Delta )$ .

أوجد عبارة الطاقة الحركية للجملة عندما يصنع $GA$ الزاوية $\alpha$ مع الشاقول.

أحسب الطاقة الحركية للجملة من أجل $\alpha = 60^{\circ}$ .

أحسب السرعة الزاوية.

أحسب السرعة الخطية للكتلة النقطية.

أحسب الطاقة الحركية للجملة عندما تمرّ الكتلة النقطية بوضع التوازن $(\alpha = 0)$ .

أحسب السرعة الزاوية.

أحسب السرعة الخطية للكتلة النقطية.

تحقق من نتائجك

المقدار	$J_{\Delta}\ (10^{-3}\ kg{\cdot}m^2)$	$\omega\ (rad/s)$	$v\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجملة : (قرص + كتلة نقطية). ثقل القرص يؤثّر في $G$ الواقع على المحور : عمله معدوم. الكتلة النقطية $m$ هي الوحيدة التي ينزل مركزها، وارتفاع نزولها $R\cdot \cos \alpha$ عندما يصنع $GA$ الزاوية $\alpha$ مع الشاقول. عزم العطالة : $J = \tfrac{1}{2} M R^{2} + m R^{2}$ .

J_{\Delta} = \tfrac{1}{2} M R^{2} + m R^{2} = (\tfrac{1}{2} \times 0{,}4 + 0{,}1) \times 0{,}12^{2} = 0{,}3 \times 0{,}0144 = 4{,}32\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

من الوضع الأفقي ( $\alpha = 90^{\circ}$ ) إلى الزاوية $\alpha$ : ينزل الكتلة $m$ ارتفاعا $h = R \cos \alpha$ . الحصيلة الطاقوية

E_{c} = W(P) = m g R \cos \alpha

E_{c} = 0{,}1 \times 10 \times 0{,}12 \times \cos 60^{\circ} = 0{,}06\ \mathrm{J}

\omega = \sqrt{2 E_{c} / J_{\Delta}} = \sqrt{2 \times 0{,}06 / 4{,}32\times 10^{-3}} \approx 5{,}27\ \mathrm{rad/s}

v = R \cdot \omega = 0{,}12 \times 5{,}27 \approx 0{,}63\ \mathrm{m/s}

$\alpha = 0$ :

E_{c} = m g R = 0{,}1 \times 10 \times 0{,}12 = 0{,}12\ \mathrm{J}

\omega = \sqrt{2 \times 0{,}12 / 4{,}32\times 10^{-3}} \approx 7{,}45\ \mathrm{rad/s}

v = R \cdot \omega = 0{,}12 \times 7{,}45 \approx 0{,}89\ \mathrm{m/s}

التمرين 16 - قرص يدور حول نقطة من حافته

متوسط

قرص متجانس كتلته $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ ونصف قطره $R = 0{,}1\ \mathrm{m}$ ، قابل للدوران حول محور أفقي ثابت $(\Delta )$ عمودي عليه يمرّ بالنقطة $O$ من حافته. عزم عطالته بالنسبة لمحور يمرّ بمركزه $G$ هو $J_{\Delta _{G}} = \tfrac{1}{2} m R^{2}$ . يُترك القرص دون سرعة ابتدائية والمستقيم $(OG)$ أفقي (الوضع $G_{1}$ ). نهمل الاحتكاكات ونأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 16

بتطبيق مبرهنة هويغنز، بيّن أنّ $J_{\Delta} = (3/2) m R^{2}$ ثمّ أحسب قيمته.

أحسب عمل ثقل القرص عندما ينتقل مركز عطالته من الوضع $G_{1}$ إلى أدنى وضع $G_{2}$ (شاقوليا تحت $O$ ).

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية، أوجد عبارة السرعة الزاوية $\omega$ للقرص في الوضع $G_{2}$ ثمّ احسب قيمتها.

استنتج السرعة الخطية $v_{G}$ لمركز العطالة $G$ في هذا الوضع.

تحقق من نتائجك

المقدار	$J_{\Delta}\ (10^{-3}\ kg{\cdot}m^2)$	$\omega\ (rad/s)$	$v_G\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: المحور يمرّ بالنقطة $O$ من الحافة، لا بالمركز $G$ : استعمل هويغنز بالمسافة $d = OG = R$ . ثقل القرص يؤثّر في $G$ : ينزل $G$ من $G_{1}$ إلى $G_{2}$ بارتفاع $R$ .

J_{\Delta} = J_{\Delta _{G}} + m R^{2} = \tfrac{1}{2} m R^{2} + m R^{2} = (3/2) m R^{2}

J_{\Delta} = 1{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}1^{2} = 7{,}5\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

W(P) = m g R = 0{,}5 \times 10 \times 0{,}1 = 0{,}5\ \mathrm{J}

(عمل محرّك).

الحصيلة الطاقوية

0 + m g R = \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} = \tfrac{1}{2} \cdot (3/2) m R^{2} \omega ^{2} \Rightarrow \omega = \sqrt{4\ \mathrm{g} / 3 R}

\omega = \sqrt{4 \times 10 / (3 \times 0{,}1)} = \sqrt{133} \approx 11{,}5\ \mathrm{rad/s}

v_{G} = R \cdot \omega = 0{,}1 \times 11{,}5 \approx 1{,}15\ \mathrm{m/s}

انتبه، خطأ شائع: ردّ فعل المحور في $O$ يقطع المحور : عمله معدوم. أمّا ثقل القرص فعمله لا ينعدم لأنّ مركز عطالته $G$ لا يقع على المحور.

التمرين 17 - بكرة وجسم معلّق

صعب

بكرة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 2\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ونصف قطرها $r = 0{,}1\ \mathrm{m}$ ، قابلة للدوران حول محور أفقي ثابت $(\Delta )$ يمرّ بمركزها. يلتفّ على محيطها خيط غير ممتدّ وكتلته مهملة، يحمل في طرفه الحرّ جسما صلبا كتلته $m = 1\ \mathrm{kg}$ يُترك دون سرعة ابتدائية. نهمل الاحتكاكات ونأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 17

أكتب عبارة الطاقة الحركية للجملة (بكرة + جسم) بدلالة $v$ و $m$ و $J_{\Delta}$ و $r$ ، علما أنّ الخيط لا ينزلق على البكرة.

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية على الجملة، بيّن أنّ سرعة الجسم بعد نزوله المسافة $h$ تُعطى بالعبارة : $v = \sqrt{2 m g h / ( m + J_{\Delta} / r^{2} )}$ .

أحسب قيمة $v$ من أجل $h = 2\ \mathrm{m}$ .

استنتج السرعة الزاوية $\omega$ للبكرة عندئذ.

قارن $v$ بسرعة جسم يسقط سقوطا حرّا من نفس الارتفاع. فسّر الفرق.

تحقق من نتائجك

المقدار	$v\ (m/s)$	$\omega\ (rad/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجملة (بكرة + جسم) : الجسم في حركة انسحابية والبكرة في حركة دورانية، فطاقتها الحركية مجموع الحدّين. الخيط لا ينزلق : $v = r\cdot \omega$ . عملا قوتي الخيط على الجسم وعلى البكرة يلغي أحدهما الآخر ؛ يبقى عمل ثقل الجسم فقط (ثقل البكرة وردّ فعل المحور عملهما معدوم).

E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} J_{\Delta} (v/r)^{2} = \tfrac{1}{2} ( m + J_{\Delta} / r^{2} ) v^{2}

الحصيلة الطاقوية

0 + m g h = \tfrac{1}{2} ( m + J_{\Delta} / r^{2} ) v^{2} \Rightarrow v = \sqrt{2 m g h / ( m + J_{\Delta} / r^{2} )}

$J_{\Delta} / r^{2} = 2\times 10^{-2} / 10^{-2} = 2\ \mathrm{kg}$ :

v = \sqrt{2 \times 1 \times 10 \times 2 / (1 + 2)} = \sqrt{13{,}3} \approx 3{,}65\ \mathrm{m/s}

\omega = v / r = 3{,}65 / 0{,}1 \approx 36{,}5\ \mathrm{rad/s}

جسم يسقط حرّا : $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{40} \approx 6{,}3\ \mathrm{m/s}$ ، أكبر من $3{,}65\ \mathrm{m/s}$ . السبب : من الطاقة $m g h = 20\ \mathrm{J}$ يذهب إلى الجسم $\tfrac{1}{2} m v^{2} \approx 6{,}7\ \mathrm{J}$ (الثلث)، والباقي $\approx 13{,}3\ \mathrm{J}$ (الثلثان) يُختزن في دوران البكرة.

التمرين 18 - ساق تُترك من الوضع الأفقي

صعب

ساق متجانسة $OB$ طولها $L = 0{,}6\ \mathrm{m}$ وكتلتها $m = 0{,}3\ \mathrm{kg}$ ، قابلة للدوران حول محور أفقي ثابت $(\Delta )$ يمرّ بطرفها $O$ . عزم عطالتها بالنسبة لمحور يمرّ بمركزها $G$ هو $J_{\Delta _{G}} = (1/12) m L^{2}$ . تُترك الساق دون سرعة ابتدائية من الوضع الأفقي. نهمل الاحتكاكات ونأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 18

أحسب عزم عطالة الساق بالنسبة لـ $(\Delta )$ .

أوجد عبارة عمل ثقل الساق عندما تصنع الساق الزاوية $\beta$ مع الأفق (أسفله).

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية، بيّن أنّ السرعة الزاوية تُعطى بالعبارة $\omega = \sqrt{3 g \sin \beta / L}$ . هل تتعلّق بالكتلة $m$ ؟

أحسب $\omega$ من أجل $\beta = 40^{\circ}$ .

أحسب السرعة الزاوية والسرعة الخطية للطرف $B$ عندما تصبح الساق شاقولية.

تحقق من نتائجك

المقدار	$J_{\Delta}\ (10^{-2}\ kg{\cdot}m^2)$	$\omega(40^{\circ})\ (rad/s)$	$v_B\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الساق تدور حول طرفها $O$ : عزم عطالتها $J_{\Delta} = J_{\Delta _{G}} + m(L/2)^{2}$ . المحور في $O$ : ردّ الفعل عمله معدوم، ولا يعمل إلاّ الثقل المطبّق في $G$ ، الذي ينزل $(L/2) \sin \beta$ .

J_{\Delta} = (1/12) m L^{2} + m (L/2)^{2} = (1/3) m L^{2} = (1/3) \times 0{,}3 \times 0{,}36 = 3{,}6\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

ينزل $G$ بالارتفاع $h = (L/2) \sin \beta$ :

W(P) = m g (L/2) \sin \beta = 0{,}3 \times 10 \times 0{,}3 \times \sin \beta = 0{,}9 \sin \beta (\mathrm{J})

الحصيلة الطاقوية

0 + m g (L/2) \sin \beta = \tfrac{1}{2} \cdot (1/3) m L^{2} \omega ^{2} \Rightarrow \omega ^{2} = 3 g \sin \beta / L \Rightarrow \omega = \sqrt{3 g \sin \beta / L}

الكتلة $m$ اختفت من العبارة : لا تتعلّق $\omega$ بالكتلة.

\omega = \sqrt{3 \times 10 \times \sin 40^{\circ} / 0{,}6} = \sqrt{32{,}1} \approx 5{,}67\ \mathrm{rad/s}

الوضع الشاقولي : $\beta = 90^{\circ}$ ⇒ $\sin \beta = 1$ :

\omega = \sqrt{3 g / L} = \sqrt{3 \times 10 / 0{,}6} = \sqrt{50} \approx 7{,}07\ \mathrm{rad/s}

v_{B} = L \cdot \omega = 0{,}6 \times 7{,}07 \approx 4{,}24\ \mathrm{m/s}

التمرين 19 - مِرفاع

صعب

يرفع محرّك حمولة كتلتها $m = 10\ \mathrm{kg}$ بواسطة حبل غير ممتدّ ملفوف على أسطوانة (مِرفاع) نصف قطرها $r = 0{,}2\ \mathrm{m}$ وعزم عطالتها $J_{\Delta} = 0{,}5\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ . يطبّق المحرّك على الأسطوانة عزما ثابتا $\mathcal{M} = 25\ \mathrm{N{\cdot}m}$ . تنطلق الجملة من السكون وتصعد الحمولة ارتفاعا $h = 2\ \mathrm{m}$ . نهمل الاحتكاكات ونأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 19

أحسب الزاوية $\Delta \theta$ التي تمسحها الأسطوانة خلال هذا الصعود.

أحسب عمل عزم المحرّك وعمل ثقل الحمولة.

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية على الجملة (أسطوانة + حمولة)، أحسب سرعة الحمولة $v$ والسرعة الزاوية $\omega$ في نهاية الصعود.

أحسب استطاعة المحرّك عند هذه اللحظة.

تحقق من نتائجك

المقدار	$W\ (J)$	$E_{c2}\ (J)$	$v\ (m/s)$	$P\ (10^{2}\ W)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجملة (أسطوانة + حمولة) : عزم المحرّك محرّك ( $+$ ) وثقل الحمولة مقاوم ( $-$ ) لأنّها تصعد. الحبل لا يمتدّ : $h = r\cdot \Delta \theta$ و $v = r\cdot \omega$ . عملا قوتي الحبل يلغي أحدهما الآخر.

\Delta \theta = h / r = 2 / 0{,}2 = 10\ \mathrm{rad}

W(\mathcal{M}) = \mathcal{M} \cdot \Delta \theta = 25 \times 10 = 250\ \mathrm{J}

W(P) = - m g h = - 10 \times 10 \times 2 = - 200\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية

E_{c2} = \tfrac{1}{2} ( m + J_{\Delta} / r^{2} ) v^{2} = 0 + 250 - 200 = 50\ \mathrm{J}

$J_{\Delta} / r^{2} = 0{,}5 / 0{,}04 = 12{,}5\ \mathrm{kg}$ :

v = \sqrt{2 \times 50 / (10 + 12{,}5)} = \sqrt{4{,}44} \approx 2{,}11\ \mathrm{m/s}

\omega = v / r = 2{,}11 / 0{,}2 \approx 10{,}5\ \mathrm{rad/s}

P = \mathcal{M} \cdot \omega = 25 \times 10{,}5 \approx 2{,}6\times 10^{2}\ \mathrm{W}

التمرين 20 - بكرة وجسمان

صعب

تمرّ على بكرة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 2{,}5\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ونصف قطرها $r = 5\ \mathrm{cm}$ خيط لا ينزلق ولا يمتدّ، يحمل في طرفيه الجسمين $S_{1}$ و $S_{2}$ كتلتاهما $m_{1} = 300\ \mathrm{g}$ و $m_{2} = 200\ \mathrm{g}$ . تُترك الجملة دون سرعة ابتدائية، فينزل $S_{1}$ ارتفاعا $h = 0{,}75\ \mathrm{m}$ . نهمل الاحتكاكات ونأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 20

أكتب عبارة الطاقة الحركية للجملة (بكرة + جسمان) بدلالة سرعة الجسمين $v$ .

أحسب مجموع أعمال القوى الخارجية المؤثّرة على الجملة خلال الانتقال $h$ .

أوجد $v$ ثمّ السرعة الزاوية $\omega$ للبكرة.

الحركة متغيّرة بانتظام : أحسب تسارع الجسمين ومدّة الانتقال.

أحسب $v$ لو أهملنا عزم عطالة البكرة. قارن.

تحقق من نتائجك

المقدار	$\Sigma W\ (J)$	$v\ (m/s)$	$\omega\ (rad/s)$	$\Delta t\ (s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجملة (بكرة + $S_{1}$ + $S_{2}$ ) : الجسمان لهما نفس السرعة $v$ (الخيط لا يمتدّ) والبكرة $\omega = v/r$ . أعمال الثقلين : $S_{1}$ ينزل (+) و $S_{2}$ يصعد (−). أعمال التوتّرات تلغي بعضها.

E_{c} = \tfrac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v^{2} + \tfrac{1}{2} J_{\Delta} (v/r)^{2} = \tfrac{1}{2} ( m_{1} + m_{2} + J_{\Delta} / r^{2} ) v^{2}

W(P_{1}) = m_{1} g h = 0{,}3 \times 10 \times 0{,}75 = 2{,}25\ \mathrm{J}

W(P_{2}) = - m_{2} g h = - 0{,}2 \times 10 \times 0{,}75 = - 1{,}5\ \mathrm{J}

\Sigma W = (m_{1} - m_{2}) g h = 0{,}75\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية $J_{\Delta} / r^{2} = 2{,}5\times 10^{-3} / 2{,}5\times 10^{-3} = 1\ \mathrm{kg}$ :

\tfrac{1}{2} (0{,}3 + 0{,}2 + 1) v^{2} = 0{,}75 \Rightarrow v^{2} = 1 \Rightarrow v = 1\ \mathrm{m/s}

\omega = v / r = 1 / 0{,}05 = 20\ \mathrm{rad/s}

v^{2} = 2 a h \Rightarrow a = 1 / (2 \times 0{,}75) \approx 0{,}67\ \mathrm{m/s^{2}}

\Delta t = v / a = 1 / 0{,}67 = 1{,}5\ \mathrm{s}

$J = 0$ :

v' = \sqrt{2 (m_{1} - m_{2}) g h / (m_{1} + m_{2})} = \sqrt{2 \times 0{,}75 / 0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\ \mathrm{m/s}

أكبر من $1\ \mathrm{m/s}$ : عزم عطالة البكرة يبطّئ الحركة لأنّ جزءا من الطاقة يذهب إلى دوران البكرة.

التمرين 21 - دولاب يتوقّف

صعب

يدور دولاب عزم عطالته $J_{\Delta} = 0{,}1\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ حول محور ثابت. عند لحظة نعتبرها المبدأ نفصل عنه المحرّك، فيتباطأ ويتوقّف بفعل عزم احتكاك ثابت $\mathcal{M}_{f}$ . يمثّل البيان تغيّرات مربّع السرعة الزاوية $\omega ^{2}$ بدلالة الفاصلة الزاوية $\theta$ الممسوحة بعد الفصل.

شكل التمرين 21

بالاعتماد على البيان، حدّد السرعة الزاوية $\omega _{0}$ عند الفصل والزاوية الكلّية الممسوحة حتى التوقّف.

بتطبيق نظرية الطاقة الحركية، بيّن أنّ $\omega ^{2} = \omega _{0}^{2} - (2\mathcal{M}_{f} / J_{\Delta}) \cdot \theta$ .

استنتج من البيان قيمة عزم الاحتكاك $\mathcal{M}_{f}$ .

أحسب عدد الدورات التي ينجزها الدولاب قبل أن يتوقّف، والطاقة الحركية الابتدائية.

تحقق من نتائجك

المقدار	$\mathcal{M}_f\ (N{\cdot}m)$	$N$ (دورة)	$E_{c0}\ (J)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: بعد فصل المحرّك، يعمل عزم الاحتكاك فقط (مقاوم) : $E_{c} = E_{c0} - \mathcal{M}_{f} \theta$ . اكتب $\tfrac{1}{2} J \omega ^{2}$ بدل $E_{c}$ لتحصل على علاقة بين $\omega ^{2}$ و $\theta$ : خطّ مستقيم ميله $-2\mathcal{M}_{f} / J$ . اقرأ البيان بدقّة (قيم الأوراق الشبكية).

عند $\theta = 0$ : $\omega _{0}^{2} = 1000 (\mathrm{rad/s})^{2}$ ⇒ $\omega _{0} = \sqrt{1000} \approx 31{,}6\ \mathrm{rad/s}$ . المنحنى يقطع محور الفواصل عند $\theta = 50\ \mathrm{rad}$ : الزاوية الكلّية الممسوحة حتى التوقّف.

الحصيلة الطاقوية

\tfrac{1}{2} J \omega _{0}^{2} - \mathcal{M}_{f} \cdot \theta = \tfrac{1}{2} J \omega ^{2} \Rightarrow \omega ^{2} = \omega _{0}^{2} - (2 \mathcal{M}_{f} / J) \cdot \theta

معامل التوجيه (القيمة المطلقة للميل) : $2\mathcal{M}_{f} / J = 1000 / 50 = 20\ \mathrm{rad/s}^{2}$ :

\mathcal{M}_{f} = 20 \times J / 2 = 20 \times 0{,}1 / 2 = 1\ \mathrm{N{\cdot}m}

N = \Delta \theta / 2\pi = 50 / 6{,}28 \approx 8 tr

E_{c0} = \tfrac{1}{2} J \omega _{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}1 \times 1000 = 50\ \mathrm{J}

تحقّق : $\mathcal{M}_{f} \cdot \Delta \theta = 1 \times 50 = 50\ \mathrm{J}$ ✓.

التمرين 22 - كرة على مستوٍ مائل

صعب

كرة مصمتة متجانسة كتلتها $m = 0{,}2\ \mathrm{kg}$ ونصف قطرها $R = 2\ \mathrm{cm}$ ، عزم عطالتها بالنسبة لأحد أقطارها $J = (2/5) m R^{2}$ . تُترك دون سرعة ابتدائية من الموضع $A$ الواقع على ارتفاع $h = 0{,}7\ \mathrm{m}$ فوق $B$ على مستوٍ مائل، فتتدحرج دون انزلاق ممّا يعني $v = R\cdot \omega$ ( $v$ سرعة مركزها). نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 22

بيّن أنّ الطاقة الحركية للكرة (انسحاب + دوران) تُكتب $E_{c} = (7/10) m v^{2}$ .

حدّد القوى المؤثّرة على الكرة وأعمالها (قوة الاحتكاك السكوني عملها معدوم لأنّ نقطة التماس لا تنزلق).

أوجد عبارة سرعة الكرة عند $B$ ثمّ أحسبها، والسرعة الزاوية $\omega$ .

قارن مع سرعة كتلة تنزلق دون احتكاك من نفس الارتفاع. ما حصّة الدوران من الطاقة الحركية الكلّية ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$\omega\ (rad/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: جسم في حركة انسحابية ودورانية معا : $E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} J \omega ^{2}$ ، وعدم الانزلاق يعطي $v = R\cdot \omega$ . قوة الاحتكاك (نقطة التماس ساكنة لحظيا) وردّ الفعل الناظمي عملهما معدوم، فيبقى عمل الثقل $m g h$ .

E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} \cdot (2/5) m R^{2} \cdot (v/R)^{2} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + (1/5) m v^{2} = (7/10) m v^{2}

القوى : الثقل $\vec{P}$ (عمله $+ m g h$ ) ؛ ردّ الفعل الناظمي $\vec{R_{N}}$ (عمله معدوم، عمودي على الانتقال) ؛ قوة الاحتكاك السكوني $\vec{f}$ (عملها معدوم لأنّ نقطة تطبيقها لا تنزلق).

الحصيلة الطاقوية

0 + m g h = (7/10) m v_{B}^{2} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{10 g h / 7}

v_{B} = \sqrt{10 \times 10 \times 0{,}7 / 7} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\ \mathrm{m/s}

\omega = v_{B} / R = 3{,}16 / 0{,}02 \approx 158\ \mathrm{rad/s}

كتلة تنزلق دون احتكاك : $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{14} \approx 3{,}74\ \mathrm{m/s}$ ، أكبر : في الكرة، جزء من الطاقة يذهب إلى الدوران. حصّة الدوران : $(1/5) m v^{2} / ((7/10) m v^{2}) = 2/7 \approx 29 \%$ من الطاقة الحركية الكلّية، والانسحاب $5/7 \approx 71 \%$ .

انتبه، خطأ شائع: الكرة التي تتدحرج لها طاقة حركية أكبر من $\tfrac{1}{2}mv^{2}$ عند نفس السرعة : لذلك تكون سرعتها أصغر من سرعة جسم ينزلق دون احتكاك من نفس الارتفاع.

التمرين 23 - مسألة شاملة : ساق، نابض وكرة

صعب

ساق متجانسة $OG$ كتلتها $M = 2\ \mathrm{kg}$ وطولها $L = 40\ \mathrm{cm}$ ، قابلة للدوران دون احتكاك حول محور أفقي ثابت $(\Delta )$ يمرّ بطرفها $O$ . نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ ؛ عزم عطالة الساق بالنسبة لمحور يمرّ بمركز عطالتها $G_{0}$ هو $J_{\Delta _{G0}} = (1/12) M L^{2}$ . الأجزاء الثلاثة مستقلّة.

الجزء الأول : نربط الطرف $G$ للساق بنابض ثابت مرونته $K$ حامله عمودي على الساق، فيستطيل النابض بمقدار $x$ وتتوازن الساق عندما تصنع الزاوية $\alpha = 60^{\circ}$ مع الشاقول المارّ بـ $O$ (الشكل 1).

الشكل 1

بتطبيق شرط التوازن الدوراني على الساق، أوجد شدّة توتّر النابض $F$ .

علما أنّ الطاقة المخزَّنة في النابض $E_{pe} = \tfrac{1}{2} K x^{2} = 0{,}05\ \mathrm{J}$ وأنّ $F = K\cdot x$ ، استنتج ثابت المرونة $K$ ومقدار الاستطالة $x$ .

الجزء الثاني : ينفلت الساق من النابض فتُترك دون سرعة ابتدائية من نفس الوضع $(\alpha = 60^{\circ})$ وتدور حول $(\Delta )$ .

باستعمال مبرهنة هويغنز وبتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الساق، بيّن أنّ سرعتها الزاوية عند مرورها بالوضع الشاقولي تُعطى بالعبارة : $\omega = \sqrt{3 g (1 - \cos \alpha ) / L}$ .

أحسب $\omega$ ، ثمّ السرعة الخطية للنقطة $G$ (حافة الساق) عند مرورها بالنقطة $A$ .

الجزء الثالث : عند مرور الساق بالوضع الشاقولي يصطدم طرفها $G$ بكرة نقطية كتلتها $m = 200\ \mathrm{g}$ موضوعة في $A$ على مستوٍ أفقي خشن $AB$ طوله $1\ \mathrm{m}$ يرتفع $0{,}30\ \mathrm{m}$ عن الأرض، فتنطلق الكرة بسرعة $v_{A}$ تساوي سرعة $G$ التي وجدتها في الجزء الثاني. تصل الكرة إلى $B$ بسرعة $v_{B} = 2\ \mathrm{m/s}$ ، ثمّ تتابع حركتها على منحدر دائري أملس $BC$ نصف قطره $r = 30\ \mathrm{cm}$ ، وتغادره في $C$ بسرعة $v_{C} = 1\ \mathrm{m/s}$ يصنع حاملها مع الأفق الزاوية $60^{\circ}$ ، ثمّ تتحرّك في الهواء وتسقط على الأرض في $D$ (الشكل 2 غير مرسوم بسلّم). $E$ هي المسقط الشاقولي لـ $C$ على الأرض.

الشكل 2

أحسب شدّة قوة الاحتكاك $f$ (المعتبرة ثابتة) على المستوي $AB$ .

أنجز الحصيلة الطاقوية للكرة بين $B$ و $C$ ، وأحسب الزاوية $\theta$ التي يصنعها نصف القطر عند $C$ مع الشاقول.

أحسب سرعة الكرة عند الذروة $S$ ، ثمّ استنتج ارتفاع الذروة $H$ بالنسبة لـ $C$ (بتطبيق نظرية الطاقة الحركية بين $C$ و $S$ ).

مدّة الحركة بين $C$ و $D$ هي $0{,}4\ \mathrm{s}$ . أحسب المدى الأفقي $ED$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$F\ (N)$	$K\ (N/m)$	$\omega\ (rad/s)$	$\theta\ (^{\circ})$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجزء الأول : توازن جسم قابل للدوران : $\Sigma \mathcal{M} = 0$ بالنسبة للمحور $(\Delta )$ (ردّ فعل المحور لا يظهر). الجزء الثاني : الجملة (الساق) وحدها، ولا يعمل إلاّ ثقلها لأنّ ردّ فعل المحور عمله معدوم. الجزء الثالث : ثلاث مراحل : $AB$ (يعمل الاحتكاك)، $BC$ (يعمل الثقل)، ثمّ المقذوف في الهواء (المركّبة الأفقية للسرعة ثابتة لأنّ الثقل شاقولي).

الجزء الأول

القوى : الثقل $\vec{P}$ في $G_{0}$ (ذراعه $(L/2) \sin \alpha$ )، قوة النابض $\vec{F}$ في $G$ عمودية على الساق (ذراعها $L$ )، وردّ فعل المحور $\vec{R}$ (عزمه معدوم). القوى المؤثّرة على الساق المنحى الموجب : منحى دوران الساق الذي يسبّبه $\vec{F}$ :

\Sigma \mathcal{M}_{\Delta} = F \cdot L - M g \cdot (L/2) \sin \alpha = 0 \Rightarrow F = \tfrac{1}{2} M g \sin \alpha

F = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 10 \times \sin 60^{\circ} \approx 8{,}66\ \mathrm{N}

$F = K\cdot x$ ومنه $x = F/K$ :

E_{pe} = \tfrac{1}{2} K x^{2} = \tfrac{1}{2} K (F/K)^{2} = F^{2} / (2K) \Rightarrow K = F^{2} / (2 E_{pe})

K = 8{,}66^{2} / (2 \times 0{,}05) = 750 N/m

x = F / K = 8{,}66 / 750 \approx 1{,}2\times 10^{-2}\ \mathrm{m}

الجزء الثاني

مبرهنة هويغنز :

J_{\Delta} = J_{\Delta _{G0}} + M (L/2)^{2} = (1/12) M L^{2} + (1/4) M L^{2} = (1/3) M L^{2}

من الوضع $\alpha$ إلى الوضع الشاقولي ينزل $G_{0}$ بالارتفاع $h = (L/2)(1 - \cos \alpha )$ فعمل الثقل محرّك : $W(P) = M g (L/2)(1 - \cos \alpha )$ . الحصيلة الطاقوية

0 + M g (L/2)(1 - \cos \alpha ) = \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega ^{2} = \tfrac{1}{2} \cdot (1/3) M L^{2} \omega ^{2}

\omega ^{2} = 3 g (1 - \cos \alpha ) / L \Rightarrow \omega = \sqrt{3 g (1 - \cos \alpha ) / L}

\omega = \sqrt{3 \times 10 \times (1 - 0{,}5) / 0{,}4} = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}12\ \mathrm{rad/s}

v_{G} = L \cdot \omega = 0{,}4 \times 6{,}12 \approx 2{,}45\ \mathrm{m/s}

(نلاحظ أنّ $v_{G}^{2} = 3 g L (1 - \cos \alpha ) = 6{,}0\ \mathrm{m}^{2}/s^{2}$ .)

الجزء الثالث

$v_{A} = v_{G}$ أي $v_{A}^{2} = 6{,}0$ . على $AB$ : ردّ الفعل الناظمي والثقل عمودان على الانتقال (عملهما معدوم)، فلا يعمل إلاّ الاحتكاك. الحصيلة الطاقوية

\tfrac{1}{2} m v_{A}^{2} - f \cdot AB = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} \Rightarrow f = m (v_{A}^{2} - v_{B}^{2}) / (2 AB)

f = 0{,}2 \times (6{,}0 - 4) / (2 \times 1) = 0{,}2\ \mathrm{N}

على $BC$ الأملس ردّ الفعل الناظمي عمودي على الانتقال : عمله معدوم. ترتفع الكرة بالارتفاع $r (1 - \cos \theta )$ فعمل الثقل مقاوم. الحصيلة الطاقوية

\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} - m g r (1 - \cos \theta ) = \tfrac{1}{2} m v_{C}^{2}

\cos \theta = 1 - (v_{B}^{2} - v_{C}^{2}) / (2 g r) = 1 - (4 - 1) / (2 \times 10 \times 0{,}3) = 0{,}5

\theta = 60^{\circ}

بعد $C$ لا تخضع الكرة إلاّ لثقلها (شاقولي) : المركّبة الأفقية للسرعة ثابتة، وعند الذروة $S$ السرعة أفقية :

v_{S} = v_{C} \cdot \cos 60^{\circ} = 1 \times 0{,}5 = 0{,}5\ \mathrm{m/s}

بين $C$ و $S$ يعمل الثقل (مقاوما) : الحصيلة الطاقوية

\tfrac{1}{2} m v_{C}^{2} - m g H = \tfrac{1}{2} m v_{S}^{2} \Rightarrow H = (v_{C}^{2} - v_{S}^{2}) / (2\ \mathrm{g})

H = (1 - 0{,}25) / 20 = 0{,}0375\ \mathrm{m} \approx 3{,}8\ \mathrm{cm}

الحركة الأفقية منتظمة بالسرعة $v_{S} = 0{,}5\ \mathrm{m/s}$ :

ED = v_{S} \cdot \Delta t = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2\ \mathrm{m}

تحقّق : $C$ يرتفع عن الأرض $0{,}30 + r(1 - \cos \theta ) = 0{,}30 + 0{,}15 = 0{,}45\ \mathrm{m}$ ، ومن $0{,}45 + 0{,}866\ \mathrm{t} - 5\ \mathrm{t}^{2} = 0$ نجد $t \approx 0{,}4\ \mathrm{s}$ ✓.

التمرين 24 - كرة تصعد مستوٍ مائل متدحرجة

صعب

كرة مصمتة متجانسة كتلتها $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ ونصف قطرها $R = 5\ \mathrm{cm}$ ، عزم عطالتها بالنسبة لأحد أقطارها $J = (2/5) m R^{2}$ . تنطلق من أسفل مستوٍ مائل يصنع مع الأفق الزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ في النقطة $B$ نحو الأعلى بسرعة $v_{0} = 3\ \mathrm{m/s}$ ، وتتدحرج دون انزلاق ( $v = R\cdot \omega$ ) حتى تتوقّف لحظيا في النقطة $A$ الواقعة على ارتفاع $h$ بالنسبة لـ $B$ . نأخذ $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

شكل التمرين 24

أحسب السرعة الزاوية الابتدائية $\omega _{0}$ والطاقة الحركية الابتدائية للكرة (انسحاب + دوران). ما حصّة الدوران منها ؟

أنجز الحصيلة الطاقوية للكرة بين $B$ و $A$ . لماذا لا تنجز قوة الاحتكاك السكوني أيّ عمل ؟

أوجد المسافة $d = BA$ التي تقطعها الكرة على المستوي، ثمّ الارتفاع $h$ .

نعيد التجربة بقشرة كروية رقيقة (كرة مجوّفة) لها نفس الكتلة ونفس نصف القطر وعزم عطالتها $J' = (2/3) m R^{2}$ ، وبنفس السرعة $v_{0}$ . أحسب المسافة $d'$ التي تقطعها قبل أن تتوقّف. ماذا تلاحظ ؟

أحسب المسافة $d''$ التي يقطعها جسم صلب ينزلق دون احتكاك على نفس المستوي بنفس السرعة $v_{0}$ ، وقارن بين المسافات الثلاث.

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{c0}\ (J)$	$d\ (m)$	$d'\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: جسم يتدحرج دون انزلاق : $E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} J \omega ^{2}$ مع $\omega = v/R$ . قوة الاحتكاك السكوني تؤثّر في نقطة تماس ساكنة لحظيا فعملها معدوم، وردّ الفعل الناظمي عمودي على الانتقال : لا يعمل إلاّ الثقل (مقاوما أثناء الصعود). تتوقّف الكرة لحظيا : سرعتها وسرعتها الزاوية معدومتان معا.

\omega _{0} = v_{0} / R = 3 / 0{,}05 = 60\ \mathrm{rad/s}

J = (2/5) m R^{2} = 0{,}4 \times 0{,}5 \times 0{,}05^{2} = 5\times 10^{-4}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

E_{c0} = \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} + \tfrac{1}{2} J \omega _{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 9 + \tfrac{1}{2} \times 5\times 10^{-4} \times 60^{2} = 2{,}25 + 0{,}9 = 3{,}15\ \mathrm{J}

حصّة الدوران : $0{,}9 / 3{,}15 = 2/7 \approx 29 \%$ (كما في $E_{c} = (7/10) m v^{2}$ ).

الحصيلة الطاقوية نقطة تماس الكرة بالمستوي لا تنزلق : سرعتها لحظيا معدومة، فعمل قوة الاحتكاك السكوني معدوم. وردّ الفعل الناظمي عموديّ على الانتقال. يبقى عمل الثقل المقاوم.

E_{c0} - m g \cdot d \sin \alpha = 0 \Rightarrow d = E_{c0} / (m g \sin \alpha )

d = 3{,}15 / (0{,}5 \times 10 \times 0{,}5) = 1{,}26\ \mathrm{m}

h = d \sin \alpha = 1{,}26 \times 0{,}5 = 0{,}63\ \mathrm{m}

E'_{c0} = \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} + \tfrac{1}{2} J' \omega _{0}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} (1 + 2/3) = (5/6) m v_{0}^{2} = (5/6) \times 0{,}5 \times 9 = 3{,}75\ \mathrm{J}

d' = E'_{c0} / (m g \sin \alpha ) = 3{,}75 / 2{,}5 = 1{,}5\ \mathrm{m}

$d' > d$ : لنفس الكتلة ونفس السرعة، الكرة المجوّفة تملك طاقة دورانية أكبر (كتلتها أبعد عن المحور)، فتصعد أبعد.

الجسم المنزلق لا يملك إلاّ طاقة الانسحاب :

\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g d'' \sin \alpha \Rightarrow d'' = v_{0}^{2} / (2 g \sin \alpha ) = 9 / (2 \times 10 \times 0{,}5) = 0{,}9\ \mathrm{m}

الترتيب : $d'' (0{,}9\ \mathrm{m}) < d (1{,}26\ \mathrm{m}) < d' (1{,}5\ \mathrm{m})$ . كلّما زادت حصّة الدوران من الطاقة الحركية الابتدائية صعد الجسم مسافة أكبر.

نماذج اختبارات مصححة

نموذج للفرض الأول (ساعة واحدة) ونموذج لاختبار الفصل (ساعتان)، في شكل مواضيع كاملة مع التصحيح المفصل وسلم التنقيط. أنجز الموضوع في الوقت المحدد قبل الاطلاع على التصحيح.

تحميل التمارين دون حلول (Word)

التمرين1

نموذج الفرض الأول (ساعة واحدة) - الحركة الدورانية، التوازن، الطاقة

متوسط

التمرين الأول (6 نقاط)

قرص متجانس كتلته $m = 3\ kg$ ونصف قطره $R = 0{,}25\ m$ يدور حول محور ثابت $(\Delta)$ عمودي عليه ويمر بمركزه، بتواتر $n = 480\ tr/min$ . عزم عطالته $J_{\Delta} = \dfrac{1}{2} m R^2$ .

قرص يدور حول محوره

احسب عزم عطالة القرص $J_{\Delta}$ .

احسب سرعته الزاوية $\omega$ بـ $rad/s$ .

احسب طاقته الحركية الدورانية.

احسب السرعة الخطية لنقطة من حافته.

نفصل المحرك، فيتوقف القرص بعد أن ينجز $40$ دورة بفعل عزم احتكاك ثابت $\mathcal{M}_f$ . أوجد شدته.

التمرين الثاني (8 نقاط)

عارضة متجانسة $AB$ طولها $L = 1{,}2\ m$ وكتلتها $m = 3\ kg$ ، قابلة للدوران حول محور أفقي ثابت $(\Delta)$ يمر بالطرف $A$ المثبت في حائط شاقولي. تُحفظ العارضة في وضع أفقي بواسطة خيط $BC$ مثبت في الحائط عند $C$ ، يصنع مع العارضة الزاوية $\alpha = 45^{\circ}$ . نعلّق في منتصف العارضة جسما كتلته $m' = 2\ kg$ . نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

عارضة مثبتة بخيط

مثّل القوى المؤثرة على العارضة.

اكتب شرط التوازن الدوراني بالنسبة للمحور $(\Delta)$ واستنتج توتر الخيط $T$ .

أوجد مركبتي ردّ فعل المحور ( $R_x$ أفقية و $R_y$ شاقولية) ثم احسب شدته $R$ .

يتحمل الخيط توترا أقصاه $T_{max} = 50\ N$ . ما أكبر كتلة $m'_{max}$ يمكن تعليقها في المنتصف؟

التمرين الثالث (6 نقاط)

بكرة عزم عطالتها $J_{\Delta} = 0{,}04\ kg \cdot m^2$ ونصف قطرها $r = 0{,}2\ m$ ، قابلة للدوران حول محور أفقي ثابت يمر بمركزها. يلتف على محيطها خيط غير ممتد ولا ينزلق، يحمل جسما كتلته $m = 2\ kg$ يُترك دون سرعة ابتدائية فينزل ارتفاعا $h = 1{,}5\ m$ . نهمل الاحتكاكات ونأخذ $g = 10\ N/kg$ .

بكرة وجسم معلق

اكتب عبارة الطاقة الحركية للجملة (بكرة + جسم) بدلالة سرعة الجسم $v$ .

اكتب معادلة انحفاظ الطاقة واستنتج قيمة $v$ .

احسب السرعة الزاوية $\omega$ للبكرة.

قارن $v$ بسرعة سقوط حر من نفس الارتفاع.

عرض الحل

التمرين الأول

$J_{\Delta} = \dfrac{1}{2} m R^2 = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 0{,}25^2 = 9{,}4 \times 10^{-2}\ kg \cdot m^2$ (1 نقطة)

$\omega = \dfrac{2\pi n}{60} = \dfrac{2\pi \times 480}{60} = 16\pi \approx 50{,}3\ rad/s$ (1 نقطة)

$E_c = \dfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}094 \times 50{,}3^2 \approx 1{,}2 \times 10^{2}\ J$ (1 نقطة)

$v = R \cdot \omega = 0{,}25 \times 50{,}3 \approx 12{,}6\ m/s$ (1 نقطة)

الزاوية الممسوحة $\Delta\theta = 2\pi \times 40 = 80\pi \approx 251\ rad$ . بعد الفصل لا يعمل إلا عزم الاحتكاك (عمله مقاوم)، والقرص يتوقف:

E_c - \mathcal{M}_f \cdot \Delta\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathcal{M}_f = \dfrac{E_c}{\Delta\theta} = \dfrac{118}{251} \approx 0{,}47\ N \cdot m

(2 نقطتان: نقطة لمعادلة الطاقة ونقطة للنتيجة)

التمرين الثاني

القوى: ثقل العارضة $\vec{P}$ في منتصفها، ثقل الجسم $\vec{P'}$ (قوة الخيط) في المنتصف، توتر الخيط $\vec{T}$ في $B$ نحو $C$ ، وردّ فعل المحور $\vec{R}$ في $A$ .

القوى المؤثرة على العارضة

(1.5 نقطة)

المنحى الموجب: منحى دوران العارضة الذي يسببه $\vec{T}$ . ذراع $\vec{T}$ هو $L \sin\alpha$ ورد الفعل لا عزم له:

T \cdot L \sin\alpha - m g \dfrac{L}{2} - m' g \dfrac{L}{2} = 0

T = \dfrac{(m + m') g \, L/2}{L \sin\alpha} = \dfrac{50 \times 0{,}6}{1{,}2 \times 0{,}707} \approx 35{,}4\ N

(2.5 نقطة)

الشرط الأول بالإسقاط:

R_x = T \cos\alpha = 35{,}4 \times 0{,}707 = 25{,}0\ N \qquad R_y = (m + m')g - T \sin\alpha = 50 - 25{,}0 = 25{,}0\ N

R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{25^2 + 25^2} \approx 35{,}4\ N

(2.5 نقطة)

عند $T = 50\ N$ :

50 \times 1{,}2 \times 0{,}707 = m g \dfrac{L}{2} + m'_{max}\, g\, \dfrac{L}{2} \quad \Rightarrow \quad 42{,}4 = 18 + m'_{max} \times 6

m'_{max} = \dfrac{24{,}4}{6} \approx 4{,}1\ kg

(1.5 نقطة)

التمرين الثالث

الخيط لا ينزلق: $v = r\omega$ .

E_c = \dfrac{1}{2} m v^2 + \dfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 = \dfrac{1}{2}\left( m + \dfrac{J_{\Delta}}{r^2} \right) v^2

(1.5 نقطة)

عملا قوتي الخيط يلغي أحدهما الآخر، ولا يعمل إلا ثقل الجسم. بين الموضعين الابتدائي (سكون) والنهائي:

0 + m g h = \dfrac{1}{2}\left( m + \dfrac{J_{\Delta}}{r^2} \right) v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{2 m g h}{m + J_{\Delta}/r^2}}

مع $J_{\Delta}/r^2 = 0{,}04 / 0{,}04 = 1\ kg$ :

v = \sqrt{\dfrac{2 \times 2 \times 10 \times 1{,}5}{2 + 1}} = \sqrt{20} \approx 4{,}5\ m/s

(2.5 نقطة)

$\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{4{,}47}{0{,}2} \approx 22\ rad/s$ (1 نقطة)

السقوط الحر: $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{30} \approx 5{,}5\ m/s$ ، وهي أكبر: جزء من الطاقة $m g h$ يُختزن في دوران البكرة. (1 نقطة)

ملاحظات للتصحيح: تقبل النتائج المقربة، ويخصم نصف النقطة عند غياب الوحدة أو نسيان تحويل $tr/min$ إلى $rad/s$ .

التمرين2

نموذج اختبار الفصل (ساعتان) - عزم العطالة، العمل، الطاقة الحركية

صعب

التمرين الأول (6 نقاط)

ساق متجانسة $AB$ طولها $L = 0{,}8\ m$ وكتلتها $m = 0{,}6\ kg$ ، نثبّت في طرفها $B$ كرية صغيرة نعتبرها نقطية كتلتها $m' = 0{,}2\ kg$ . تدور الجملة (ساق + كرية) حول محور أفقي ثابت $(\Delta)$ عمودي على الساق ويمر بالطرف $A$ . عزم عطالة الساق بالنسبة لمحور يمر بمركز عطالتها $G$ هو $J_{\Delta_G} = \dfrac{1}{12} m L^2$ . نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

باستعمال مبرهنة هويغنز، احسب عزم عطالة الساق بالنسبة لـ $(\Delta)$ .

احسب عزم عطالة الجملة (ساق + كرية) بالنسبة لـ $(\Delta)$ .

تُترك الجملة دون سرعة ابتدائية من الوضع الأفقي. احسب مجموع أعمال القوى الخارجية عندما تصبح الساق شاقولية، ثم اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

استنتج السرعة الزاوية $\omega$ للجملة عند الوضع الشاقولي.

احسب السرعة الخطية للكرية في هذا الوضع.

التمرين الثاني (7 نقاط)

دولاب عزم عطالته $J_{\Delta} = 0{,}5\ kg \cdot m^2$ قابل للدوران حول محور ثابت. يطبّق عليه محرك مزدوجة عزمها ثابت $\mathcal{M} = 8\ N \cdot m$ ، بينما يؤثر عزم احتكاك ثابت $\mathcal{M}_f = 2\ N \cdot m$ . ينطلق الدولاب من السكون وينجز $25$ دورة.

دولاب يدور حول محوره

احسب الزاوية الممسوحة $\Delta\theta$ بالراديان.

احسب عمل المزدوجة المحركة وعمل عزم الاحتكاك.

أنجز الحصيلة الطاقوية للدولاب واستنتج سرعته الزاوية النهائية $\omega$ بـ $rad/s$ ثم بـ $tr/min$ .

احسب استطاعة المحرك عند هذه اللحظة.

نفصل المحرك. كم دورة ينجز الدولاب قبل أن يتوقف؟

التمرين الثالث (7 نقاط)

أسطوانة مصمتة متجانسة كتلتها $m = 2\ kg$ ونصف قطرها $R = 0{,}1\ m$ ، عزم عطالتها بالنسبة لمحورها $J = \dfrac{1}{2} m R^2$ . تُترك دون سرعة ابتدائية من أعلى مستوٍ مائل ارتفاعه $h = 1{,}2\ m$ ، فتتدحرج دون انزلاق، أي $v = R\omega$ ( $v$ سرعة مركز عطالتها). نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

جسم يتدحرج على مستوٍ مائل

بيّن أن طاقتها الحركية تُكتب $E_c = \dfrac{3}{4} m v^2$ .

أوجد عبارة سرعتها $v$ عند أسفل المستوي ثم احسب قيمتها.

استنتج سرعتها الزاوية $\omega$ .

ما حصة الدوران من الطاقة الحركية الكلية؟

قارن $v$ بسرعة جسم ينزلق دون احتكاك من نفس الارتفاع.

عرض الحل

التمرين الأول

المحور $(\Delta)$ يبعد عن $G$ المسافة $d = L/2$ :

J_{\Delta} = \dfrac{1}{12} m L^2 + m \left(\dfrac{L}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{3} m L^2 = \dfrac{1}{3} \times 0{,}6 \times 0{,}8^2 = 0{,}128\ kg \cdot m^2

(1.5 نقطة)

الكرية على بعد $L$ من المحور: $J' = m' L^2 = 0{,}2 \times 0{,}64 = 0{,}128\ kg \cdot m^2$ .

J = J_{\Delta} + J' = 0{,}128 + 0{,}128 = 0{,}256\ kg \cdot m^2

(1 نقطة)

ردّ فعل المحور عمله معدوم. من الوضع الأفقي إلى الشاقولي ينزل $G$ بالارتفاع $L/2$ وتنزل الكرية بالارتفاع $L$ :

\sum W = m g \dfrac{L}{2} + m' g L = 0{,}6 \times 10 \times 0{,}4 + 0{,}2 \times 10 \times 0{,}8 = 2{,}4 + 1{,}6 = 4{,}0\ J

E_{c1} + \sum W = E_{c2} \quad \Rightarrow \quad 0 + 4{,}0 = \dfrac{1}{2} J \omega^2

(2 نقطتان)

$\omega = \sqrt{\dfrac{2 \times 4{,}0}{0{,}256}} = \sqrt{31{,}25} \approx 5{,}6\ rad/s$ (1 نقطة)

$v = L \cdot \omega = 0{,}8 \times 5{,}59 \approx 4{,}5\ m/s$ (0.5 نقطة)

التمرين الثاني

$\Delta\theta = 2\pi \times 25 = 50\pi \approx 157\ rad$ (1 نقطة)

$W(\mathcal{M}) = \mathcal{M} \cdot \Delta\theta = 8 \times 157 \approx 1{,}26 \times 10^{3}\ J \qquad W(\mathcal{M}_f) = -\mathcal{M}_f \cdot \Delta\theta = -2 \times 157 \approx -3{,}14 \times 10^{2}\ J$ (1.5 نقطة)

ردّ فعل المحور وثقل الدولاب عملهما معدوم. الحصيلة الطاقوية: سهم عمل المزدوجة المحركة داخل من اليسار، وسهم عمل الاحتكاك المقاوم خارج نحو اليمين، وسهم $E_c$ صاعد.

0 + 1257 - 314 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times \omega^2 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\dfrac{2 \times 943}{0{,}5}} \approx 61{,}4\ rad/s

n = \dfrac{60\,\omega}{2\pi} \approx 586\ tr/min

(2 نقطتان)

$P = \mathcal{M} \cdot \omega = 8 \times 61{,}4 \approx 4{,}9 \times 10^{2}\ W$ (1 نقطة)

بعد الفصل لا يعمل إلا عزم الاحتكاك، والدولاب يتوقف:

E_c - \mathcal{M}_f \cdot \Delta\theta' = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta\theta' = \dfrac{943}{2} \approx 471\ rad \quad \Rightarrow \quad N' = \dfrac{471}{2\pi} = 75

أي $75$ دورة. (1.5 نقطة)

التمرين الثالث

$E_c = \dfrac{1}{2} m v^2 + \dfrac{1}{2} J \omega^2 = \dfrac{1}{2} m v^2 + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} m R^2 \times \dfrac{v^2}{R^2} = \dfrac{3}{4} m v^2$ (2 نقطتان)

قوة الاحتكاك السكوني وردّ الفعل الناظمي عملهما معدوم (نقطة التماس لا تنزلق)، فلا يعمل إلا الثقل:

0 + m g h = \dfrac{3}{4} m v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{4 g h}{3}} = \sqrt{\dfrac{4 \times 10 \times 1{,}2}{3}} = \sqrt{16} = 4{,}0\ m/s

(2 نقطتان)

$\omega = \dfrac{v}{R} = \dfrac{4{,}0}{0{,}1} = 40\ rad/s$ (1 نقطة)

$\dfrac{\tfrac{1}{4} m v^2}{\tfrac{3}{4} m v^2} = \dfrac{1}{3} \approx 33\ \%$ (1 نقطة)

جسم ينزلق دون احتكاك: $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{24} \approx 4{,}9\ m/s$ ، أكبر من $4{,}0\ m/s$ لأن الأسطوانة تحوّل جزءا من الطاقة إلى دوران. (1 نقطة)

ملاحظات للتصحيح: تقبل النتائج المقربة، ويخصم نصف النقطة عند غياب الوحدة. في الحصيلة الطاقوية يُمنح الكامل للأسهم الصحيحة الاتجاه.

تمرينان إضافيان محلولان: الأسطوانة المحركة والبكرة المزدوجة

تمرينان في عمل مزدوجة واستطاعتها: أسطوانة يديرها محرك تسحب حمولة على مستو مائل، ثم عامل يختار بين طريقتين لرفع حمولة ببكرة مزدوجة. الحل مفصل بنظرية الطاقة الحركية، مع تمثيل القوى. يمكن تحميل الموضوع مع التصحيح بصيغتي PDF و Word.

التمرين1

أسطوانة تسحب حمولة على مستو مائل

متوسط

تحميل الموضوع مع التصحيح (PDF)تحميل الموضوع مع التصحيح (Word)

على سطح مستو مائل بالزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ عن الخط الأفقي، تُسحب حمولة $(S)$ ثقلها $P = 1000\ \mathrm{N}$ بسرعة ثابتة بواسطة حبل مهمل الكتلة وغير قابل للامتطاط، يوازي خط الميل الأعظم، وملفوف على أسطوانة نصف قطرها $R = 20\ \mathrm{cm}$ . تدور الأسطوانة حول محورها الثابت $(\Delta)$ بواسطة محرك يطبق عليها مزدوجة عزمها ثابت. تخضع الحمولة لقوة احتكاك شدتها ثابتة $f = 200\ \mathrm{N}$ ، ونهمل الاحتكاكات على مستوى محور الأسطوانة. الشكل 1

أجرد مختلف القوى المطبقة على كل من الحمولة والأسطوانة، ومثّلها على الشكل.

احسب شدة القوة التي يطبقها الحبل على الحمولة.

احسب عزم المزدوجة المحركة التي يطبقها المحرك على الأسطوانة.

استنتج استطاعة المحرك، علما أن سرعة الحمولة $v = 0{,}5\ \mathrm{m{\cdot}s^{-1}}$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$T\ (N)$	$\mathcal{M}_c\ (N{\cdot}m)$	$\mathcal{P}\ (W)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: السرعة ثابتة، فالطاقة الحركية للحمولة وللأسطوانة لا تتغير: $\Delta E_c = 0$ . نطبق نظرية الطاقة الحركية على الحمولة (انسحاب) ثم على الأسطوانة (دوران)، والحبل المهمل الكتلة ينقل نفس التوتر $T' = T$ .

القوى المطبقة على الحمولة $(S)$ : ثقلها $\vec{P}$ (شاقولي نحو الأسفل)، رد فعل المستوي $\vec{R}$ (عمودي على المستوي)، قوة الاحتكاك $\vec{f}$ (توازي المستوي، عكس جهة الحركة أي نحو الأسفل)، توتر الحبل $\vec{T}$ (يوازي المستوي نحو الأسطوانة). القوى المطبقة على الأسطوانة: ثقلها $\vec{P_c}$ ، رد فعل المحور $\vec{R_{\Delta}}$ (كلاهما يمر بالمحور)، توتر الحبل $\vec{T'}$ (مماسي للأسطوانة، نحو الحمولة)، والمزدوجة المحركة ذات العزم $\mathcal{M}_c$ . القوى المطبقة على الحمولة وعلى الأسطوانة

نطبق نظرية الطاقة الحركية على الحمولة خلال انتقال $d$ على المستوي (الارتفاع المكتسب $d \sin\alpha$ ، و $\vec{R}$ عمودي على الانتقال فعمله معدوم):

\Delta E_c = W(\vec{T}) + W(\vec{P}) + W(\vec{f}) + W(\vec{R}) = 0

T \cdot d - P \cdot d \sin\alpha - f \cdot d + 0 = 0 \Rightarrow T = P \sin\alpha + f

T = 1000 \times 0{,}5 + 200 = 700\ \mathrm{N}

الأسطوانة تدور بسرعة زاوية ثابتة، نطبق نظرية الطاقة الحركية عليها خلال دوران $\Delta\theta$ . عمل $\vec{P_c}$ و $\vec{R_{\Delta}}$ معدوم (يمران بالمحور)، وعمل التوتر $\vec{T'}$ مقاوم: $W(\vec{T'}) = -T \cdot R \cdot \Delta\theta$ .

\mathcal{M}_c \cdot \Delta\theta - T \cdot R \cdot \Delta\theta = 0 \Rightarrow \mathcal{M}_c = T \cdot R

\mathcal{M}_c = 700 \times 0{,}20 = 140\ \mathrm{N{\cdot}m}

الحبل لا ينزلق على الأسطوانة: $v = R \cdot \omega$ ، ومنه السرعة الزاوية:

\omega = \dfrac{v}{R} = \dfrac{0{,}5}{0{,}20} = 2{,}5\ \mathrm{rad/s}

\mathcal{P} = \mathcal{M}_c \cdot \omega = 140 \times 2{,}5 = 350\ \mathrm{W}

ملاحظة: تحقق: استطاعة توتر الحبل على الحمولة $T \cdot v = 700 \times 0{,}5 = 350\ \mathrm{W}$ ، وهي نفس استطاعة المحرك لأن الأسطوانة لا تخزن طاقة (سرعتها ثابتة) ولا احتكاك على محورها.

التمرين2

العامل والبكرة المزدوجة: أي طريقة نختار؟

متوسط

تحميل الموضوع مع التصحيح (PDF)تحميل الموضوع مع التصحيح (Word)

يريد عامل رفع حمولة $(S)$ كتلتها $m = 50\ \mathrm{kg}$ بسرعة ثابتة إلى ارتفاع $h = 3\ \mathrm{m}$ ، ويريد الاختيار بين الطريقتين (أ) و (ب) الممثلتين في الشكل 2. في كلتا الطريقتين يستعمل بكرة مزدوجة ذات محزين، نصفا قطريهما $R_1$ و $R_2$ يحققان العلاقة $R_2 = \dfrac{3}{2} R_1$ ، قابلة للدوران حول محور ثابت $(\Delta)$ يمر بمركزها. الحمولة معلقة بحبل ملفوف على المحز الكبير $R_2$ ، ويطبق العامل قوة $\vec{F}$ ثابتة على طرف حبل ثان ملفوف: – في الطريقة (أ): على المحز الكبير $R_2$ ؛ – في الطريقة (ب): على المحز الصغير $R_1$ . نهمل جميع الاحتكاكات وكتلتي الحبلين، والحبلان غير قابلين للامتطاط ولا ينزلقان على المحزين. نأخذ $g = 10\ \mathrm{N{\cdot}kg^{-1}}$ . الشكل 2

أجرد جميع القوى المطبقة على كل من الحمولة $(S)$ والبكرة، ثم مثّلها على الشكل.

احسب عمل ثقل الحمولة خلال رفعها.

احسب عمل القوة $\vec{F}$ في كل طريقة، ثم قارن بين النتيجتين.

احسب شدة القوة $\vec{F}$ في كل طريقة. ما هي الطريقة التي تنصح بها العامل؟ علّل.

تحقق من نتائجك

المقدار	$W(\vec{F})\ (J)$	$F_a\ (N)$	$F_b\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الحمولة ترتفع بسرعة ثابتة والبكرة تدور بسرعة زاوية ثابتة، إذن $\Delta E_c = 0$ لكل منهما. حبل الحمولة ملفوف على $R_2$ في الطريقتين، فعندما ترتفع الحمولة بـ $h$ تدور البكرة بالزاوية $\Delta\theta = \dfrac{h}{R_2}$ ، وما يتغير هو المحز الذي يُسحب منه الحبل الثاني.

القوى المطبقة على الحمولة: ثقلها $\vec{P}$ (شاقولي نحو الأسفل) وتوتر الحبل $\vec{T}$ (شاقولي نحو الأعلى). القوى المطبقة على البكرة: ثقلها $\vec{P_p}$ ورد فعل المحور $\vec{R_{\Delta}}$ (يمران بالمحور)، توتر حبل الحمولة $\vec{T'}$ (شاقولي نحو الأسفل، مماسي للمحز $R_2$ ، و $T' = T$ )، والقوة $\vec{F}$ التي ينقلها الحبل الثاني (مماسية للمحز $R_2$ في (أ) وللمحز $R_1$ في (ب)). القوى المطبقة على الحمولة وعلى البكرة في الطريقتين

الحمولة ترتفع، فعمل ثقلها مقاوم:

W(\vec{P}) = -m \cdot g \cdot h = -50 \times 10 \times 3 = -1500\ \mathrm{J}

نظرية الطاقة الحركية على الحمولة: $W(\vec{T}) + W(\vec{P}) = 0$ ، إذن $W(\vec{T}) = 1500\ \mathrm{J}$ و $T = P = m g = 500\ \mathrm{N}$ . نظرية الطاقة الحركية على البكرة (عمل $\vec{P_p}$ و $\vec{R_{\Delta}}$ معدوم): $W(\vec{F}) + W(\vec{T'}) = 0$ ، مع $W(\vec{T'}) = -T \cdot R_2 \cdot \Delta\theta = -T \cdot h = -1500\ \mathrm{J}$ ، إذن في الطريقتين:

W(\vec{F}) = m \cdot g \cdot h = 1500\ \mathrm{J}

المقارنة: العمل متساو في الطريقتين، فهو يساوي دائما الطاقة اللازمة لرفع الحمولة $m g h$ ، ولا يتعلق بالطريقة المستعملة.

طرف الحبل الذي يسحبه العامل ينتقل بالمسافة $d = r \cdot \Delta\theta$ ، حيث $r$ نصف قطر المحز الذي يُلف عليه هذا الحبل، و $W(\vec{F}) = F \cdot d$ .

الطريقة (أ) ( $r = R_2$ ): $d_a = R_2 \cdot \dfrac{h}{R_2} = h = 3\ \mathrm{m}$ ، ومنه $F_a = \dfrac{W(\vec{F})}{d_a} = \dfrac{1500}{3} = 500\ \mathrm{N}$ .

الطريقة (ب) ( $r = R_1$ ): $d_b = R_1 \cdot \dfrac{h}{R_2} = \dfrac{2}{3} h = 2\ \mathrm{m}$ ، ومنه $F_b = \dfrac{W(\vec{F})}{d_b} = \dfrac{1500}{2} = 750\ \mathrm{N}$ . (تحقق بالعزوم، البكرة تدور بانتظام: $F_a \cdot R_2 = T \cdot R_2$ ، و $F_b \cdot R_1 = T \cdot R_2 \Rightarrow F_b = m g \dfrac{R_2}{R_1} = 500 \times 1{,}5 = 750\ \mathrm{N}$ .) النصيحة: ننصح العامل بالطريقة (أ)، لأنها تتطلب قوة أصغر ( $500\ \mathrm{N} < 750\ \mathrm{N}$ ) لإنجاز نفس العمل، مقابل سحب طول أكبر من الحبل ( $3\ \mathrm{m}$ بدل $2\ \mathrm{m}$ ). ملاحظة: خطأ شائع: الظن أن البكرة المزدوجة تنقص العمل. العمل لا يتغير ( $1500\ \mathrm{J}$ )؛ ما نربحه في شدة القوة نخسره في المسافة. لتقليل القوة إلى ما دون ثقل الحمولة يجب أن تُعلق الحمولة على المحز الصغير ويُسحب الحبل من المحز الكبير: $F = m g \dfrac{R_1}{R_2} \approx 333\ \mathrm{N}$ .