منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثانية ثانوي · العمل والطاقة الحركية في الحركة الدورانية

العمل والطاقة الحركية في الحركة الدورانية

150 دقيقةمتوسط

درس كامل للوحدة الثالثة من مجال الميكانيك والطاقة: نبدأ بوصف الحركة الدورانية (الفاصلة الزاوية والسرعة الزاوية والخطية)، ثم نتعرف على عزم القوة والمزدوجة وعزم العطالة ومبرهنة هويغنز، ونطبق شرطي التوازن، ونحسب عمل المزدوجة واستطاعتها، وننتهي بالطاقة الحركية الدورانية ومبدأ انحفاظ الطاقة في جملة تدور أو تجمع بين الانسحاب والدوران. مع أربعة تطبيقات محلولة، وأربعة وعشرين تمرينا محلولا بتوجيهات منهجية، ونموذجي اختبار مصححين، واختبار تفاعلي.

تحميل كتيّب الوحدة كاملا (PDF)تحميل ملخّص الدرس (PDF)

الهدف:

حساب السرعة الزاوية والسرعة الخطية لجسم صلب يدور حول محور ثابت
حساب عزم قوة وعزم مزدوجة بالنسبة لمحور ثابت وتحديد إشارتهما
حساب عزم عطالة جسم صلب أو جملة وتوظيف مبرهنة هويغنز
تطبيق شرطي التوازن على جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت
حساب عمل قوة أو مزدوجة في الحركة الدورانية والاستطاعة
حساب الطاقة الحركية الدورانية وتوظيف مبدأ انحفاظ الطاقة

1. الحركة الدورانية لجسم صلب

1.1 تعريف

الحركة الدورانية حول محور ثابت

يكون جسم صلب في حركة دورانية حول محور ثابت $(\Delta )$ إذا وصفت كلّ نقطة منه (ما عدا النقاط الواقعة على المحور) مسارا دائريا مركزه على المحور ومستويه عمودي عليه. أمثلة : مروحة، عجلة دولاب، باب حول مفصلاته، بكرة.

تُوصف حركة النقطة المادية على مسارها الدائري بمقدارين متكاملين :

1.2 الفاصلة المنحنية والفاصلة الزاوية

ينتقل جسم نقطي من الموضع $M_{1}$ في اللحظة $t_{1}$ إلى الموضع $M_{2}$ في اللحظة $t_{2}$ على دائرة نصف قطرها $R$ :

القوس المقطوع ΔS والزاوية الممسوحة Δθ بين اللحظتين t₁ وt₂

الفاصلة المنحنية $S$ : طول القوس المقطوع (المسافة المقطوعة على المسار)، بالمتر $(\mathrm{m})$ ؛ $\Delta S = S_{2} - S_{1}$ .
الفاصلة الزاوية $\theta$ : قيس الزاوية التي يمسحها نصف القطر، بالراديان $(\mathrm{rad})$ ؛ $\Delta \theta = \theta _{2} - \theta _{1}$ .

العلاقة بين الفاصلتين

S = R \cdot \theta

$S$ بالمتر، $R$ نصف قطر المسار بالمتر، $\theta$ بالراديان (وليس بالدرجات).

دورة واحدة : $\theta = 2\pi\ \mathrm{rad}$ و $S = 2\pi R$ (محيط الدائرة).
التحويل : $180^{\circ} \longleftrightarrow \pi\ \mathrm{rad}$ ؛ أي $\theta (\mathrm{rad}) = \theta (^{\circ}) \times \pi / 180$ .
عدد الدورات $N$ يعطي الزاوية الممسوحة : $\Delta \theta = 2\pi \cdot N$ .

1.3 السرعة الزاوية والسرعة الخطية

السرعة الزاوية	السرعة الخطية	العلاقة بينهما
$\omega = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}$	$v = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$	$v = R \cdot \omega$
$\omega$ بـ $\mathrm{rad/s}$ ؛ $\Delta \theta$ بالراديان	$v$ بـ $\mathrm{m/s}$ ؛ $\Delta S$ بالمتر	$R$ نصف قطر المسار بالمتر

الدور $T$ : المدّة الزمنية لإنجاز دورة واحدة : $T = 2\pi / \omega$ بالثانية.
التواتر $n$ : عدد الدورات في وحدة الزمن. إذا أُعطي بـ $\mathrm{tr/min}$ فإنّ : $\omega = 2\pi \cdot n / 60$ (لأنّ كلّ دورة تُعطي $2\pi\ \mathrm{rad}$ والدقيقة $60\ \mathrm{s}$ ).
في الحركة الدورانية المنتظمة تكون $\omega$ ثابتة، ومنه $\Delta \theta = \omega \cdot \Delta t$ .

جسم صلب يدور حول محور ثابت

كلّ نقاط الجسم تمسح نفس الزاوية في نفس المدّة، فلها نفس السرعة الزاوية $\omega$ . أمّا سرعتها الخطية $v = R\cdot \omega$ فتتناسب مع بعد النقطة عن المحور : النقطة الأبعد تقطع مسافة أكبر في نفس المدّة.

تطبيق 01

يدور قرص نصف قطره $R = 20\ \mathrm{cm}$ بتواتر $n = 300\ \mathrm{tr/min}$ حول محور ثابت. أحسب سرعته الزاوية، والسرعة الخطية لنقطة من حافته، ودور الحركة.

المقدار	$\omega\ (rad/s)$	$v\ (m/s)$	$T\ (s)$
القيمة

عرض الحل

\omega = 2\pi \times 300 / 60 = 10\pi \approx 31{,}4\ \mathrm{rad/s}

v = R \cdot \omega = 0{,}20 \times 31{,}4 \approx 6{,}28\ \mathrm{m/s}

T = 2\pi / \omega = 2\pi / 31{,}4 = 0{,}20\ \mathrm{s}

2. عزم قوة بالنسبة لمحور ثابت

2.1 نشاط : فتح باب

نشاط تجريبي

باب يدور حول محور شاقولي (منظر من الأعلى) : نغيّر نقطة تطبيق القوة واتجاهها

كلّما ابتعدت نقطة تطبيق القوة عن محور الدوران كان فتح الباب أسهل.
القوة العمودية على الباب أفعل من القوة المائلة.
القوة التي حاملها يقطع المحور أو يوازيه لا تدير الباب إطلاقا.

الاستنتاج : الأثر الدوراني لقوة على جسم قابل للدوران يتعلّق بـشدّتها وبـبُعد حاملها عن المحور. نسمّي هذا الأثر عزم القوة.

2.2 العبارة

ذراع القوة d : البعد العمودي بين المحور وحامل القوة

عزم قوة بالنسبة لمحور (Δ)

قوة $\vec{F}$ تؤثّر في مستوٍ عمودي على المحور $(\Delta )$ . عزمها بالنسبة للمحور هو :

\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d

$\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})$ : عزم القوة، وحدته النيوتن·متر $(\mathrm{N{\cdot}m})$ (وليست الجول).
$F$ : شدّة القوة بالنيوتن $(\mathrm{N})$ .
$d$ : ذراع القوة، وهو البعد العمودي بين المحور وحامل القوة، بالمتر $(\mathrm{m})$ .
الإشارة : نختار منحى موجبا للدوران. عزم القوة موجب إذا كانت القوة تدير الجسم في المنحى الموجب، وسالب إذا أدارته في المنحى المعاكس.
إذا كان حامل القوة يقطع المحور أو يوازيه فإنّ $d = 0$ وعزمها معدوم.
إذا صنعت القوة زاوية $\alpha$ مع المستقيم الذي يصل نقطة تطبيقها بالمحور (طوله $\ell$ ) فإنّ $d = \ell \cdot \sin \alpha$ .

القوة F₁ تدير الجسم في المنحى الموجب، والقوة F₂ في المنحى المعاكس

عزم عدّة قوى

إذا خضع الجسم لعدّة قوى فإنّ مجموع عزومها (جبريا) هو :

\Sigma \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F_{1}}) + \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F_{2}}) + \dots + \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F_{n}})

تطبيق 02

مفتاح ربط طوله $\ell = 25\ \mathrm{cm}$ تؤثّر عليه يد بقوة شدّتها $F = 80\ \mathrm{N}$ عند طرفه. أحسب عزم القوة بالنسبة لمحور البرغي في حالتين : القوة عمودية على المفتاح، ثمّ القوة مائلة عنه بالزاوية $60^{\circ}$ .

الحالة	القوة عمودية $(N{\cdot}m)$	القوة مائلة بـ $60°$ $(N{\cdot}m)$
العزم

عرض الحل

القوة عمودية : $d = \ell$

\mathcal{M} = F \cdot \ell = 80 \times 0{,}25 = 20\ \mathrm{N{\cdot}m}

القوة مائلة بالزاوية $60^{\circ}$ :

d = \ell \cdot \sin 60^{\circ} = 0{,}25 \times 0{,}866 \approx 0{,}217\ \mathrm{m} \Rightarrow \mathcal{M} = F \cdot d = 80 \times 0{,}217 \approx 17{,}3\ \mathrm{N{\cdot}m}

2.3 المزدوجة

المزدوجة

المزدوجة جملة قوتين $\vec{F_{1}}$ و $\vec{F_{2}}$ متساويتين في الشدّة، متعاكستين في الجهة، حاملاهما متوازيان وغير منطبقين (مجموعهما الشعاعي معدوم). مثال : يدا شخص تديران مقودا.

مزدوجة قوتين مماسيتين تؤثّران على عجلة

لكلّ من القوتين نفس إشارة العزم، فعزم المزدوجة هو مجموع عزميهما :

عزم مزدوجة

\mathcal{M}_{\Delta} = F \cdot R + F \cdot R = F \cdot d

$F$ شدّة كلّ قوة، و $d$ ذراع المزدوجة : المسافة بين حاملي القوتين (في الشكل $d = 2R$ ).

عزم المزدوجة لا يتعلّق بموضع المحور في المستوي : تدير المزدوجة الجسم بنفس العزم مهما كان موضع المحور العمودي على مستويها.
لأنّ مجموع القوتين معدوم، لا تحرّك المزدوجة مركز عطالة الجسم : تُحدث دورانا فقط.

3. عزم عطالة جسم صلب

3.1 ملاحظة

نحرّك بدفعة واحدة عجلة دراجة، ثمّ عجلة شاحنة : يصعب تدوير الثانية وإيقافها. تقاوم الأجسام تغيير حركتها الدورانية بمقدار يتعلّق بـ كتلتها وبـتوزيع هذه الكتلة حول المحور : فكلّما ابتعدت الكتلة عن المحور ازدادت هذه المقاومة. نقيس هذه الخاصية بـعزم العطالة $J_{\Delta}$ .

مركز العطالة $G$ لجسم صلب هو النقطة الوحيدة التي لها حركة مستقيمة منتظمة عندما تكون الجملة معزولة. وفي الأجسام المتجانسة ينطبق على مركز التناظر (مركز القرص، منتصف الساق...).

3.2 جسم نقطي وجملة نقاط

يسار : نقطة مادية. يمين : جملة نقاط مادية على أبعاد مختلفة عن المحور

عزم العطالة

عزم عطالة نقطة مادية كتلتها $m$ على بعد $R$ من المحور $(\Delta )$ :

J_{\Delta} = m \cdot R^{2}

وعزم عطالة جملة نقاط مادية هو مجموع عزوم عطالة نقاطها بالنسبة لنفس المحور :

J_{\Delta} = \Sigma m_{i} \cdot R_{i}^{2} = m_{1}R_{1}^{2} + m_{2}R_{2}^{2} + \dots

الوحدة : $\mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ . $m$ بالكيلوغرام، $R$ بالمتر.

وبالتالي فإنّ عزم عطالة جملة مكوّنة من عدّة أجسام صلبة بالنسبة لمحور واحد هو مجموع عزوم عطالة أجزائها.

3.3 عزم عطالة أجسام متجانسة معروفة

حلقة	قرص	كرة مصمتة

$J_{\Delta} = m R^{2}$	$J_{\Delta} = \tfrac{1}{2} m R^{2}$	$J_{\Delta} = \tfrac{2}{5} m R^{2}$

ساق متجانسة	أسطوانة مصمتة	أسطوانة مجوّفة

$J_{\Delta} = (1/12) m L^{2}$	$J_{\Delta} = \tfrac{1}{2} m R^{2}$	$J_{\Delta} = m R^{2}$

المحور $(\Delta )$ يمرّ بمركز عطالة الجسم : عمودي على الحلقة والقرص، شاقولي في الساق (عمودي عليها)، ومحور تناظر الأسطوانة. نصف القطر $R$ ، والطول $L$ .

3.4 مبرهنة هويغنز

محوران متوازيان : (ΔG) يمرّ بمركز العطالة G و(Δ′) يبعد عنه بالمسافة d

مبرهنة هويغنز

عزم عطالة جسم كتلته $m$ بالنسبة لمحور $(\Delta ')$ لا يمرّ بمركز عطالته ويوازي المحور $(\Delta _{G})$ المارّ بمركز العطالة ويبعد عنه بالمسافة $d$ هو :

J_{\Delta '} = J_{\Delta _{G}} + m \cdot d^{2}

خطأ شائع

لا تُطبَّق مبرهنة هويغنز إلاّ انطلاقا من عزم العطالة بالنسبة لمحور يمرّ بمركز العطالة $G$ . وعزم العطالة بالنسبة لمحور آخر دائما أكبر من $J_{\Delta _{G}}$ .

تطبيق 03

ساق متجانسة طولها $L = 0{,}5\ \mathrm{m}$ وكتلتها $m = 0{,}4\ \mathrm{kg}$ . أحسب عزم عطالتها بالنسبة لمحور عمودي عليها يمرّ بأحد طرفيها.

$J_{\Delta} =$ $\times 10^{-2}\ kg{\cdot}m^{2}$

عرض الحل

$J_{\Delta _{G}} = (1/12) m L^{2} = (1/12) \times 0{,}4 \times 0{,}25 \approx 8{,}33\times 10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ؛ المحور يبعد عن $G$ بالمسافة $d = L/2 = 0{,}25\ \mathrm{m}$ :

J_{\Delta} = J_{\Delta _{G}} + m d^{2} = 8{,}33\times 10^{-3} + 0{,}4 \times 0{,}25^{2} \approx 3{,}33\times 10^{-2}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}

وهي النتيجة $J_{\Delta} = (1/3) m L^{2}$ للساق التي تدور حول طرفها.

4. توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت

شرطا توازن جسم صلب

الشرط الأول (انسحابي) : المجموع الشعاعي للقوى الخارجية معدوم : $\Sigma \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ .
الشرط الثاني (دوراني) : المجموع الجبري لعزوم القوى الخارجية بالنسبة لأيّ محور معدوم : $\Sigma \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}_{ext}) = 0$ .

عندما يكون الجسم قابلا للدوران حول محور ثابت، فإنّ ردّ فعل المحور $\vec{R}$ مجهول في الاتجاه والشدّة، لكنّ عزمه بالنسبة للمحور معدوم لأنّ حامله يقطع المحور. لذلك نطبّق الشرط الثاني أوّلا فنحصل مباشرة على شدّة قوة مجهولة، ثمّ نطبّق الشرط الأول لإيجاد $\vec{R}$ .

توجيه منهجي

(1) مثّل كلّ القوى (الثقل في مركز العطالة، التوتّرات، ردّ فعل المحور). (2) اختر المحور واتجاها موجبا. (3) اكتب $\Sigma \mathcal{M} = 0$ (ردّ فعل المحور لا يظهر). (4) اسقط الشرط $\Sigma F = 0$ على محورين لإيجاد مركبتي $\vec{R}$ .

5. عمل قوة (أو مزدوجة) في الحركة الدورانية — الاستطاعة

5.1 عمل قوة مماسية

قوة مماسية ثابتة على عجلة : تتحرّك نقطة تطبيقها من A إلى B على القوس s

تؤثّر قوة $\vec{F}$ ثابتة الشدّة، مماسية للعجلة (نصف قطرها $R$ )، فتمسح العجلة الزاوية $\theta$ . نقطة تطبيق القوة تقطع القوس $s = R \cdot \theta$ في اتجاه القوة، فعمل القوة :

W(F) = F \cdot s = F \cdot R \cdot \theta = \mathcal{M}_{\Delta}(F) \cdot \theta

عمل قوة عزمها ثابت

W(\vec{F}) = \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \Delta \theta

$W$ بالجول $(\mathrm{J})$ ؛ $\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})$ بـ $\mathrm{N{\cdot}m}$ ؛ $\Delta \theta$ بالراديان.
عمل مزدوجة عزمها $\mathcal{M}$ : $W = \mathcal{M} \cdot \Delta \theta$ .
العمل محرّك (موجب) إذا كان العزم في منحى الدوران، ومقاوم (سالب) إذا كان في المنحى المعاكس (كعزم الاحتكاك).
القوى التي عزمها معدوم (ردّ فعل المحور، ثقل جسم يدور حول محور يمرّ بمركز عطالته) عملها معدوم.
تحويل : $N$ دورة تعني $\Delta \theta = 2\pi\ \mathrm{N}$ .

5.2 الاستطاعة

استطاعة قوة (أو مزدوجة) تدير جسما صلبا

P = \dfrac{W}{\Delta t} = \mathcal{M} \cdot \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} = \mathcal{M} \cdot \omega

$P$ بالواط $(\mathrm{W})$ ، $\mathcal{M}$ بـ $\mathrm{N{\cdot}m}$ ، $\omega$ بـ $\mathrm{rad/s}$ .

6. الطاقة الحركية الدورانية

جسم صلب يدور حول محور ثابت بسرعة زاوية $\omega$ . نقسّمه إلى نقاط مادية صغيرة كتلتها $m_{i}$ على أبعاد $R_{i}$ من المحور، سرعة كلّ منها $v_{i} = R_{i}\cdot \omega$ . طاقته الحركية مجموع الطاقات الحركية لنقاطه :

E_{c} = \Sigma \tfrac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \tfrac{1}{2} ( \Sigma m_{i} R_{i}^{2} ) \omega ^{2}

الطاقة الحركية الدورانية

E_{c} = \tfrac{1}{2} \cdot J_{\Delta} \cdot \omega ^{2}

$E_{c}$ بالجول $(\mathrm{J})$ ، $J_{\Delta}$ بـ $\mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ ، $\omega$ بـ $\mathrm{rad/s}$ .

إذا تضاعفت السرعة الزاوية تضاعفت الطاقة الحركية أربع مرّات.
لنقطة مادية $J = mR^{2}$ و $v = R\omega$ فنجد من جديد $E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ . ✓
لجسم صلب في حركة انسحابية ودورانية معا (كأسطوانة تتدحرج) : $E_{c} = \tfrac{1}{2} m v_{G}^{2} + \tfrac{1}{2} J_{\Delta _{G}} \omega ^{2}$ .

تطبيق 06

دولاب عطالة عزم عطالته $J_{\Delta} = 0{,}5\ \mathrm{kg{\cdot}m^{2}}$ يدور بتواتر $600\ \mathrm{tr/min}$ . ما طاقته الحركية ؟

المقدار	$\omega\ (rad/s)$	$E_c\ (J)$
القيمة

عرض الحل

\omega = 2\pi \times 600 / 60 \approx 62{,}8\ \mathrm{rad/s} \Rightarrow E_{c} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 62{,}8^{2} \approx 9{,}9\times 10^{2}\ \mathrm{J}

7. العمل والطاقة الحركية : مبدأ انحفاظ الطاقة

معادلة انحفاظ الطاقة (جملة صلبة تدور)

تغيّر الطاقة الحركية لجسم صلب بين لحظتين يساوي المجموع الجبري لأعمال القوى الخارجية المطبّقة عليه بين هاتين اللحظتين :

E_{c1} + \Sigma W = E_{c2} \Leftrightarrow \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega _{2}^{2} - \tfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega _{1}^{2} = \Sigma \mathcal{M} \cdot \Delta \theta

$\Sigma W > 0$ : الجسم يكتسب طاقة، فتزداد سرعته الزاوية.
$\Sigma W < 0$ : الجسم يفقد طاقة، فتتناقص سرعته الزاوية.
$\Sigma W = 0$ : السرعة الزاوية ثابتة.

الحصيلة الطاقوية : نرسم الجملة في فقاعة وفيها عمود $E_{c}$ ؛ الأعمال المحرّكة بأسهم داخلة من اليسار، والأعمال المقاومة بأسهم خارجة نحو اليمين.

الحصيلة الطاقوية

توجيه منهجي

(1) حدّد الجملة (جسم صلب يدور، أو جسم صلب + أجسام معلّقة) والموضعين الابتدائي والنهائي. (2) مثّل القوى وحدّد عزمها (أو انتقالها). (3) احسب عمل كلّ قوة بإشارته : $W = \mathcal{M}\cdot \Delta \theta$ للدوران، $W = \pm mgh$ للثقل. (4) مثّل الحصيلة الطاقوية واكتب $E_{c1} + \Sigma W = E_{c2}$ . (5) استخرج المجهول حرفيا ثمّ عوّض بالأرقام مع الوحدات.

أخطاء شائعة

استعمال الدرجات بدل الراديان في $S = R\theta$ و $W = \mathcal{M}\Delta \theta$ ، أو نسيان تحويل $\mathrm{tr/min}$ إلى $\mathrm{rad/s}$ ( $\omega = 2\pi n/60$ ).
أخذ $d$ (ذراع القوة) على أنّه المسافة إلى نقطة التطبيق، وهو في الحقيقة البعد العمودي إلى حامل القوة.
كتابة وحدة عزم القوة بالجول، أو الخلط بين $\mathcal{M}$ (عزم) و $m$ (كتلة).
تطبيق مبرهنة هويغنز انطلاقا من محور لا يمرّ بمركز العطالة.
نسيان الحدّ الانسحابي $\tfrac{1}{2}mv^{2}$ في طاقة جملة (بكرة + جسم معلّق).

تعاريف مهمة

الفاصلة الزاوية

قيس الزاوية التي يمسحها نصف القطر عند دوران جسم حول محور، بالراديان. تربطها بالفاصلة المنحنية $S$ العلاقة $S = R\theta$ ، وتعطي $N$ دورة الزاوية $\Delta\theta = 2\pi N$ .

السرعة الزاوية

الزاوية الممسوحة في وحدة الزمن: $\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$ بـ $rad/s$ . هي نفسها لكل نقاط الجسم الصلب الذي يدور حول محور ثابت. وإذا أعطي التواتر $n$ بـ $tr/min$ فإن $\omega = \dfrac{2\pi n}{60}$ .

السرعة الخطية

سرعة نقطة تبعد $R$ عن المحور: $v = R\omega$ . تزداد كلما ابتعدت النقطة عن المحور، أما $\omega$ فواحدة لكل النقاط.

عزم قوة بالنسبة لمحور

القدرة الدورانية للقوة: $\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d$ بالنيوتن متر $N\cdot m$ ، حيث $d$ ذراع القوة. تكون الإشارة موجبة إذا أدارت القوة الجسم في المنحى الموجب المختار، وسالبة في المنحى المعاكس. ينعدم العزم إذا قطع حامل القوة المحور أو وازاه.

ذراع القوة

البعد العمودي $d$ بين محور الدوران وحامل القوة (وليس المسافة إلى نقطة تطبيقها). إذا صنعت القوة زاوية $\alpha$ مع المستقيم الواصل بين المحور ونقطة التطبيق الذي طوله $\ell$ فإن $d = \ell \sin\alpha$ .

المزدوجة

جملة قوتين متساويتين في الشدة، متعاكستين في الجهة، حاملاهما متوازيان وغير منطبقين. عزمها $\mathcal{M} = F \cdot d$ حيث $d$ المسافة بين الحاملين، وهو لا يتعلق بموضع المحور. تحدث دورانا دون أن تحرك مركز عطالة الجسم.

عزم العطالة

مقدار يقيس مقاومة جسم صلب لتغيير حركته الدورانية حول محور، ويتعلق بالكتلة وتوزيعها حول المحور: $J_{\Delta} = \sum m_i R_i^2$ بـ $kg\cdot m^2$ . وهو مجموع عزوم عطالة أجزاء الجسم.

مبرهنة هويغنز

عزم عطالة جسم كتلته $m$ بالنسبة لمحور $(\Delta')$ مواز لمحور $(\Delta_G)$ المار بمركز العطالة ويبعد عنه $d$ هو $J_{\Delta'} = J_{\Delta_G} + m d^2$ .

شرطا توازن جسم صلب

يتوازن جسم صلب خاضع لقوى خارجية إذا كان $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ و $\sum \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}_{ext}) = 0$ بالنسبة لأي محور. عزم رد فعل المحور معدوم لأن حامله يقطع المحور.

عمل قوة في الدوران

عمل قوة (أو مزدوجة) عزمها ثابت: $W = \mathcal{M}_{\Delta} \cdot \Delta\theta$ بالجول، مع $\Delta\theta$ بالراديان. هو محرك إذا كان العزم في منحى الدوران، ومقاوم في المنحى المعاكس.

الاستطاعة في الدوران

سرعة إنجاز العمل: $P = \dfrac{W}{\Delta t} = \mathcal{M} \cdot \omega$ بالواط.

الطاقة الحركية الدورانية

الطاقة التي يملكها جسم صلب يدور حول محور ثابت: $E_c = \dfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2$ بالجول. وللجسم الذي ينسحب ويدور معا: $E_c = \dfrac{1}{2} m v_G^2 + \dfrac{1}{2} J_{\Delta_G} \omega^2$ .

القوانين

قانون : العلاقة بين الفاصلتين

S = R \cdot \theta

الزاوية $\theta$ بالراديان، و $R$ نصف قطر المسار. دورة واحدة تقابل $\theta = 2\pi$ .

قانون : السرعة الخطية

v = R \cdot \omega

السرعة الزاوية واحدة لكل نقاط الجسم، والسرعة الخطية تتناسب مع بعد النقطة عن المحور.

قانون : عزم قوة

\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d

الذراع $d$ هو البعد العمودي بين المحور وحامل القوة. الوحدة $N\cdot m$ .

قانون : عزم العطالة

J_{\Delta} = \sum m_i R_i^2

جداء الكتلة في مربع البعد عن المحور، مجموعا على كل نقاط الجسم. الوحدة $kg\cdot m^2$ .

قانون : مبرهنة هويغنز

J_{\Delta'} = J_{\Delta_G} + m d^2

تطبق انطلاقا من المحور المار بمركز العطالة $G$ فقط.

قانون : عمل قوة عزمها ثابت

W = \mathcal{M}_{\Delta} \cdot \Delta\theta

العمل بالجول والزاوية بالراديان.

قانون : الطاقة الحركية الدورانية

E_c = \dfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2

تضاعف السرعة الزاوية يضاعف الطاقة أربع مرات.

قانون : انحفاظ الطاقة

E_{c1} + \sum W = E_{c2}

تغير الطاقة الحركية بين لحظتين يساوي المجموع الجبري لأعمال القوى الخارجية.

العلاقات الأساسية

الفاصلة المنحنية

S = R \cdot \theta

الزاوية بالراديان.

السرعة الزاوية

\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}

بـ $rad/s$ .

السرعة الزاوية من التواتر

\omega = \dfrac{2\pi n}{60}

مع $n$ بـ $tr/min$ .

السرعة الخطية

v = R \cdot \omega

بـ $m/s$ .

دور الحركة

T = \dfrac{2\pi}{\omega}

بالثانية.

عزم قوة

\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d

بـ $N\cdot m$ .

عزم قوة مائلة

d = \ell \sin\alpha

الزاوية $\alpha$ بين القوة والمستقيم الواصل بين المحور ونقطة التطبيق.

عزم مزدوجة

\mathcal{M} = F \cdot d

المسافة $d$ بين حاملي القوتين.

عزم عطالة جملة نقاط

J_{\Delta} = \sum m_i R_i^2

بـ $kg\cdot m^2$ .

قرص أو أسطوانة مصمتة

J_{\Delta} = \dfrac{1}{2} m R^2

المحور يمر بالمركز.

حلقة أو أسطوانة مجوفة

J_{\Delta} = m R^2

المحور يمر بالمركز.

كرة مصمتة

J_{\Delta} = \dfrac{2}{5} m R^2

المحور يمر بالمركز.

ساق متجانسة

J_{\Delta_G} = \dfrac{1}{12} m L^2

المحور عمودي على الساق ويمر بمنتصفها.

هويغنز

J_{\Delta'} = J_{\Delta_G} + m d^2

مثال: ساق حول طرفها $J = \dfrac{1}{3} m L^2$ .

شرط توازن دوراني

\sum \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}_{ext}) = 0

بالنسبة لأي محور.

عمل مزدوجة

W = \mathcal{M} \cdot \Delta\theta

بالجول.

الاستطاعة

P = \mathcal{M} \cdot \omega

بالواط.

الطاقة الحركية الدورانية

E_c = \dfrac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2

بالجول.

انسحاب ودوران معا

E_c = \dfrac{1}{2} m v_G^2 + \dfrac{1}{2} J_{\Delta_G} \omega^2

مثال: كرة مصمتة تتدحرج دون انزلاق $E_c = \dfrac{7}{10} m v^2$ .

بكرة وجسم معلق

v = \sqrt{\dfrac{2 m g h}{m + J_{\Delta}/r^2}}

يهبط الجسم من السكون ارتفاعا $h$ ، والخيط لا ينزلق.

انحفاظ الطاقة

E_{c1} + \sum W = E_{c2}

أي $\Delta E_c = \sum W$ .

تذكّر

يمسح الجسم الصلب الذي يدور حول محور ثابت نفس الزاوية في نفس المدة، فلكل نقاطه نفس السرعة الزاوية $\omega$ ، وسرعتها الخطية $v = R\omega$ تتعلق بالبعد عن المحور. عزم قوة بالنسبة لمحور هو $\pm F \cdot d$ حيث $d$ البعد العمودي بين المحور وحامل القوة، وعزم المزدوجة $F \cdot d$ حيث $d$ المسافة بين الحاملين. عزم العطالة $J = \sum m R^2$ يقيس مقاومة الجسم لتغيير حركته الدورانية، وتسمح مبرهنة هويغنز بالانتقال من محور يمر بمركز العطالة إلى محور مواز له. يتوازن جسم قابل للدوران حول محور ثابت إذا كان مجموع القوى معدوما ومجموع عزومها معدوما. عمل قوة عزمها ثابت $W = \mathcal{M}\Delta\theta$ واستطاعتها $P = \mathcal{M}\omega$ . الطاقة الحركية الدورانية $E_c = \tfrac{1}{2}J\omega^2$ ، ويكتب مبدأ انحفاظ الطاقة $E_{c1} + \sum W = E_{c2}$ مع حدي الانسحاب والدوران إذا كان الجسم يجمع بينهما.

انتبه

أخطاء تتكرر في هذه الوحدة: عدم تحويل $tr/min$ إلى $rad/s$ أو الدرجات إلى الراديان قبل التعويض؛ أخذ ذراع القوة المسافة إلى نقطة التطبيق بدل البعد العمودي إلى حامل القوة؛ تطبيق مبرهنة هويغنز من محور لا يمر بمركز العطالة أو نسيان تربيع المسافة؛ كتابة وحدة العزم بالجول؛ نسيان إشارة عزم الاحتكاك (عمله مقاوم)؛ ونسيان الحد الانسحابي $\tfrac{1}{2}mv^2$ في طاقة جملة تضم بكرة وجسما معلقا. وفي المسائل: ابدأ دائما بتحديد الجملة والموضعين، ثم احسب عمل كل قوة بإشارته، ثم اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

سجل الدخول لتتبع تقدمك التالي: التطبيقات