منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثانية ثانوي

العمل والطاقة الحركية في حالة حركة انسحابية

أمثلة محلولة

التطبيق الأول - عمل قوة محرّكة

تجرّ شاحنة سيارة بقوة ثابتة $F = 1000\ \mathrm{N}$ موازية للطريق وفي جهة الحركة، فتنتقل السيارة من $A$ إلى $B$ حيث $AB = 100\ \mathrm{m}$ .

الحل

هل هذه القوة مساعدة أم معيقة للحركة ؟ — مساعدة، لأنّها في جهة الحركة $(\alpha = 0^{\circ})$ .

عمل هذه القوة :

W_{AB}(\vec{F}) = F \cdot AB \cdot \cos 0^{\circ} = 1000 \times 100 \times 1 = 1{,}0\times 10^{5}\ \mathrm{J}

إشارة العمل موجبة : عمل محرّك.

التطبيق الثاني - عمل قوة مقاومة

يكبح سائق سيارته على مسافة $AB = 50\ \mathrm{m}$ ، فتكافئ الفرملة قوة ثابتة شدّتها $F = 500\ \mathrm{N}$ عكس جهة الحركة.

الحل

هذه القوة معيقة للحركة $(\alpha = 180^{\circ})$ .

W_{AB}(\vec{F}) = F \cdot AB \cdot \cos 180^{\circ} = 500 \times 50 \times (-1) = -2{,}5\times 10^{4}\ \mathrm{J}

إشارة العمل سالبة : عمل مقاوم.

التطبيق الثالث - جسم ينزلق على مستوٍ مائل أملس

ينطلق جسم كتلته $m = 2\ kg$ دون سرعة ابتدائية من أعلى مستوٍ مائل أملس طوله $AB = 2{,}5\ m$ يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ . أوجد سرعته في $B$ ( $g = 10\ N/kg$ ).

الحل

الجملة: الجسم. القوى: الثقل $\vec{P}$ وردّ الفعل $\vec{R}$ (المستوي أملس).

W(\vec{R}) = 0 \qquad h = AB \cdot \sin\alpha = 2{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}25\ m

W(\vec{P}) = m g h = 2 \times 10 \times 1{,}25 = 25\ J

معادلة انحفاظ الطاقة بين $A$ و $B$ :

E_{cA} + W(\vec{P}) = E_{cB} \quad \Rightarrow \quad 0 + 25 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times v_B^2

v_B = \sqrt{25} = 5\ m/s

لا ندخل الطاقة الكامنة الثقالية في هذه الوحدة: الأرض خارج الجملة وتأثيرها يحسب بعمل الثقل.

التطبيق الرابع - استطاعة سيارة تسير بسرعة ثابتة

تسير سيارة على طريق أفقي مستقيم بسرعة ثابتة $v = 72\ km/h$ ، وقوة جرّ محركها موازية للطريق شدتها $F = 800\ N$ . احسب استطاعة المحرك، ثم عمله خلال $5\ min$ .

الحل

نحوّل السرعة: $v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\ m/s$ .

P = F \cdot v \cdot \cos 0^{\circ} = 800 \times 20 = 1{,}6 \times 10^{4}\ W

W = P \cdot \Delta t = 1{,}6 \times 10^{4} \times 300 = 4{,}8 \times 10^{6}\ J

وبما أن السرعة ثابتة فإن $\sum W = 0$ : عمل قوة الجرّ يعوضه عمل قوى الاحتكاك والمقاومة.

31 تمرينا متدرجا محلولا

سلسلة التمارين الكاملة للوحدة، مرتبة من الأسهل إلى الأصعب في ثلاثة مستويات: تطبيق مباشر على عمل القوة وطبيعته والطاقة الحركية، ثم تثبيت (الاحتكاك والثقل والاستطاعة ومبدأ انحفاظ الطاقة)، ثم تعمق بالبيانات والمسارات المركبة. كل حل يبدأ بتوجيه منهجي، مع التنبيه إلى الأخطاء الشائعة، ويرفق بالأشكال والحصائل الطاقوية.

تحميل التمارين دون حلول (Word)

التمرين 1

سهل

جسم $(S)$ كتلته $M = 3\ \mathrm{kg}$ كان ساكنا في الموضع $A$ ، ثمّ انتقل على طريق مستقيم أفقي تحت تأثير أربع قوى :

$\vec{F}$ : شدّتها $F = 4\ \mathrm{N}$ ، تصنع مع منحى الانتقال $\vec{AB}$ زاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ؛
$\vec{f}$ : قوة احتكاك معاكسة لجهة الحركة شدّتها $f = 0{,}3\ \mathrm{N}$ ؛
الثقل $\vec{P}$ وردّ الفعل الناظمي $\vec{R}$ .

طول الانتقال $AB = 10\ \mathrm{m}$ .

شكل التمرين 1

صنّف أعمال القوى الممثّلة (محرّك، مقاوم، معدوم)، ثمّ احسب عمل كلّ منها بين $A$ و $B$ .

احسب المجموع الجبري $\Sigma W$ لأعمال القوى المطبّقة على الجسم.

ما نمط تحويل الطاقة بين الجملة (الجسم) والوسط الخارجي ؟ وهل الطاقة المحوّلة مكتسبة أم ضائعة بالنسبة للجملة ؟

ما شكل الطاقة الذي تغيّر خلال هذا الانتقال ؟

استنتج سرعة الجسم لحظة مروره بالموضع $B$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{AB}(\vec{F})\ (J)$	$\Sigma W\ (J)$	$v_B\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: لكلّ قوة : حدّد الزاوية بين شعاع القوة وشعاع الانتقال، ثمّ طبّق $W = F\cdot AB\cdot \cos \alpha$ . القوى العمودية على الانتقال (هنا $\vec{P}$ و $\vec{R}$ ) عملها معدوم.

$\vec{F}$ : $\alpha = 30^{\circ} < 90^{\circ}$ ⇒ عمل محرّك :

W_{AB}(\vec{F}) = F\cdot AB\cdot \cos 30^{\circ} = 4 \times 10 \times 0{,}866 \approx 34{,}6\ \mathrm{J}

$\vec{f}$ : $\alpha = 180^{\circ}$ ⇒ عمل مقاوم :

W_{AB}(\vec{f}) = - f\cdot AB = - 0{,}3 \times 10 = - 3\ \mathrm{J}

$\vec{P}$ و $\vec{R}$ : عموديتان على الانتقال $(\alpha = 90^{\circ})$ ⇒ عملهما معدوم : $W_{AB}(\vec{P}) = W_{AB}(\vec{R}) = 0$ .

\Sigma W = 34{,}6 - 3 + 0 + 0 = 31{,}6\ \mathrm{J}

نمط التحويل : تحويل ميكانيكي (بالعمل). وبما أنّ $\Sigma W > 0$ فالطاقة المحوّلة مكتسبة بالنسبة للجملة.

الشكل الذي تغيّر : الطاقة الحركية للجسم (ازدادت، لأنّ الجسم انطلق من السكون وأصبح متحرّكا).

معادلة انحفاظ الطاقة : $E_{cA} + \Sigma W = E_{cB}$ مع $E_{cA} = 0$ :

\tfrac{1}{2} M v_{B}^{2} = \Sigma W \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 \cdot \Sigma W / M} = \sqrt{2 \times 31{,}6 / 3} \approx 4{,}6\ \mathrm{m/s}

التمرين 2

سهل

يطبّق طفل بواسطة حبل قوة ثابتة $\vec{F}$ شدّتها $F = 2\ \mathrm{N}$ ، حاملها يصنع زاوية $27^{\circ}$ مع المسار، على عربة كتلتها $m = 150\ \mathrm{g}$ ، فتتحرّك مسافة مستقيمة $AB = 160\ \mathrm{cm}$ على مستوٍ أفقي بسرعة ثابتة $v = 0{,}5\ \mathrm{m/s}$ . تخضع العربة لقوة احتكاك $\vec{f}$ شدّتها $f = 1{,}78\ \mathrm{N}$ .

شكل التمرين 2

مثّل كلّ القوى التي تخضع لها العربة أثناء حركتها.

احسب عمل كلّ قوة خلال الانتقال $AB$ ، وحدّد طبيعته.

احسب العمل الكلّي المنجز من طرف كلّ القوى. ماذا تستنتج ؟

احسب الطاقة الحركية للعربة.

احسب مدّة الانتقال من $A$ إلى $B$ ، ثمّ استنتج استطاعة القوة $\vec{F}$ بطريقتين.

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{AB}(\vec{F})\ (J)$	$E_c\ (10^{-2}\ J)$	$P\ (W)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: حوّل أوّلا إلى وحدات النظام الدولي : $m = 0{,}15\ \mathrm{kg}$ و $AB = 1{,}6\ \mathrm{m}$ . ثمّ لاحظ أنّ السرعة ثابتة : ماذا يعني ذلك بالنسبة لمجموع الأعمال ؟

القوى : الثقل $\vec{P}$ ، ردّ الفعل الناظمي $\vec{R}$ ، قوة الحبل $\vec{F}$ ، قوة الاحتكاك $\vec{f}$ .

عمل محرّك :

W_{AB}(\vec{F}) = F\cdot AB\cdot \cos 27^{\circ} = 2 \times 1{,}6 \times 0{,}891 \approx 2{,}85\ \mathrm{J}

عمل مقاوم :

W_{AB}(\vec{f}) = - f\cdot AB = - 1{,}78 \times 1{,}6 \approx - 2{,}85\ \mathrm{J}

$W_{AB}(\vec{P}) = W_{AB}(\vec{R}) = 0$ : عمل معدوم (قوتان عموديتان على الانتقال).

\Sigma W = 2{,}85 - 2{,}85 + 0 + 0 \approx 0

الاستنتاج : مجموع الأعمال معدوم، وهذا يتوافق مع ثبات السرعة : الطاقة الحركية للعربة لا تتغيّر $(\Delta E_{c} = 0)$ . الطاقة التي يقدّمها الطفل تُفقد كلّها بالاحتكاك.

E_{c} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}15 \times 0{,}5^{2} \approx 1{,}9\times 10^{-2}\ \mathrm{J}

مدّة الانتقال : $\Delta t = AB / v = 1{,}6 / 0{,}5 = 3{,}2\ \mathrm{s}$ .

الطريقة 1 :

P = W_{AB}(\vec{F}) / \Delta t = 2{,}85 / 3{,}2 \approx 0{,}89\ \mathrm{W}

الطريقة 2 :

P = F \cdot v \cdot \cos 27^{\circ} = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}891 \approx 0{,}89\ \mathrm{W}

التمرين 3

سهل

تُنقل آجرّة على مستوٍ مائل يصنع خطّ ميله الأعظم مع الأفق زاوية $\alpha = 30^{\circ}$ . تخضع الآجرّة (إضافة إلى ثقلها وردّ فعل المستوي) إلى القوى التالية :

$\vec{F_{1}}$ : حاملها أفقي، جهتها كما في الشكل، وشدّتها $160\ \mathrm{N}$ ؛
$\vec{F_{2}}$ : عمودية على خطّ الميل الأعظم وشدّتها $90\ \mathrm{N}$ ؛
$\vec{F_{3}}$ : موازية لخطّ الميل الأعظم نحو الأعلى وشدّتها $180\ \mathrm{N}$ .

شكل التمرين 3

احسب العمل الذي تنجزه كلّ قوة من هذه القوى الثلاث عندما تصعد الآجرّة مسافة $d = 3\ \mathrm{m}$ على المستوي المائل. ما طبيعة كلّ عمل ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$W(\vec{F}_1)\ (J)$	$W(\vec{F}_3)\ (J)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: ارسم شعاع الانتقال (نحو أعلى المستوي، يصنع $30^{\circ}$ مع الأفق)، ثمّ قِس الزاوية بينه وبين كلّ قوة.

$\vec{F_{1}}$ أفقية وجهتها نحو الخلف (عكس الجهة الأفقية للحركة) : الزاوية بينها وبين الانتقال هي $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ ، فعملها مقاوم :

W(\vec{F}_{1}) = 160 \times 3 \times \cos 150^{\circ} = 160 \times 3 \times (- 0{,}866) \approx - 416\ \mathrm{J}

$\vec{F_{2}}$ عمودية على الانتقال : $W(\vec{F}_{2}) = 0$ عمل معدوم.
$\vec{F_{3}}$ موازية للانتقال وفي جهته $(\alpha = 0^{\circ})$ ، فعملها محرّك :

W(\vec{F}_{3}) = 180 \times 3 \times \cos 0^{\circ} = 540\ \mathrm{J}

انتبه، خطأ شائع: الزاوية التي تدخل في حساب عمل $\vec{F_{1}}$ ليست زاوية الميل $30^{\circ}$ ، بل الزاوية بين $\vec{F_{1}}$ والانتقال $(150^{\circ})$ .

التمرين 4

سهل

من النقطة $A$ على مستوٍ أفقي خشن، يُقذف جسم كتلته $m = 400\ \mathrm{g}$ بسرعة ابتدائية $v_{0}$ ، فيقطع المسافة $AB = 20\ \mathrm{m}$ ويتوقّف في $B$ . يمثّل الشكل الحصيلة الطاقوية للجملة (الجسم) بين $A$ و $B$ ، حيث $W_{AB} = -0{,}8\ \mathrm{J}$ هو العمل الذي تلقّاه الجسم من الوسط الخارجي.

الحصيلة الطاقوية

هل اكتسب الجسم طاقة أثناء حركته أم فقدها ؟ علّل.

ما قيمة الطاقة الحركية النهائية $E_{cB}$ ؟

ما القوة الخارجية التي أنجزت العمل $W_{AB} < 0$ ؟ احسب شدّتها.

اكتب العلاقة بين $E_{cA}$ و $E_{cB}$ و $W_{AB}$ ، ثمّ استنتج $E_{cA}$ وسرعة القذف $v_{0}$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$f\ (N)$	$E_{cA}\ (J)$	$v_0\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: اقرأ المخطّط : اتّجاه السهم (داخل أم خارج) وعمود $E_{c}$ (صاعد أم نازل) يكفيان للإجابة عن السؤال الأوّل.

الجسم فقد طاقة : السهم خارج من الجملة نحو الوسط الخارجي، و $W_{AB} < 0$ ، وطاقته الحركية تناقصت.

الجسم يتوقّف في $B$ : $E_{cB} = 0$ .

القوة التي أنجزت العمل المقاوم هي قوة الاحتكاك $\vec{f}$ (عمل الثقل وردّ الفعل معدوم على طريق أفقي) :

W_{AB} = - f \cdot AB \Rightarrow f = 0{,}8 / 20 = 0{,}04\ \mathrm{N}

E_{cA} + W_{AB} = E_{cB} \Rightarrow E_{cA} = E_{cB} - W_{AB} = 0 - (- 0{,}8) = 0{,}8\ \mathrm{J}

v_{0} = \sqrt{2 E_{cA} / m} = \sqrt{2 \times 0{,}8 / 0{,}4} = 2\ \mathrm{m/s}

التمرين 5

سهل

يدفع شخص سيارة معطّلة قصد تحريكها على طريق أفقي $AB$ طوله $150\ \mathrm{m}$ ، بقوة ثابتة $\vec{F}$ موازية للطريق. يمثّل الشكل الحصيلة الطاقوية للجملة (سيارة) منذ بداية الدفع (السيارة ساكنة) إلى غاية الإقلاع في $B$ .

الحصيلة الطاقوية

اعتمادا على المخطّط، بيّن :

هل حركة السيارة منتظمة أم متغيّرة ؟ علّل.

هل تخضع السيارة لقوى مقاومة ؟ علّل، وفي حالة وجودها احسب عملها.

احسب شدّة القوة $\vec{F}$ التي يطبّقها الشخص، وشدّة القوة المقاومة $\vec{f}$ (نعتبرها ثابتة).

تحقق من نتائجك

المقدار	$W(\vec{f})\ (J)$	$F\ (N)$	$f\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: قارن الطاقة التي تستقبلها الجملة بالطاقة التي تخزّنها : الفرق هو ما تفقده الجملة.

الطاقة الحركية للسيارة تزداد من $0$ إلى $3600\ \mathrm{J}$ : سرعتها تتزايد، فالحركة متغيّرة (متسارعة).

السيارة تستقبل $5400\ \mathrm{J}$ ولا تخزّن إلاّ $3600\ \mathrm{J}$ : الفرق $1800\ \mathrm{J}$ تفقده الجملة لصالح الطريق، إذن تخضع السيارة لقوى مقاومة (احتكاك) عملها :

W(\vec{f}) = E_{cB} - E_{cA} - W(\vec{F}) = 3600 - 0 - 5400 = - 1800\ \mathrm{J}

F = W(\vec{F}) / AB = 5400 / 150 = 36\ \mathrm{N}

f = |W(\vec{f})| / AB = 1800 / 150 = 12\ \mathrm{N}

التمرين 6

سهل

يمثّل الشكل الحصيلة الطاقوية لكرية كتلتها $m = 100\ \mathrm{g}$ تسقط سقوطا حرّا، بين مرورها بالنقطة $A$ ثمّ بالنقطة $B$ .

الحصيلة الطاقوية

ماذا يمثّل $W_{AB}$ ؟ وما القوة التي تنجز هذا العمل أثناء السقوط ؟

ما طبيعة هذا العمل (محرّك أم مقاوم) ؟

احسب قيمة هذا العمل بين الموضعين $A$ و $B$ .

ما هو الوسط الخارجي الذي قدّم عملا للكرية ؟

احسب المسافة $AB$ ، واستنتج سرعة مرور الكرية بالنقطتين $A$ و $B$ .

نفترض الآن أنّ الكرية تخضع أثناء سقوطها بين $A$ و $B$ إلى قوة احتكاك الهواء $\vec{f}$ شاقولية وثابتة، وأنّ تغيّر طاقتها الحركية أصبح $\Delta E_{c} = 1{,}5\ \mathrm{J}$ (ونفس المسافة $AB$ ).

مثّل الحصيلة الطاقوية للكرية في هذه الحالة.

استنتج شدّة قوة الاحتكاك $\vec{f}$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$AB\ (m)$	$f\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: في السقوط الحرّ القوة الوحيدة هي الثقل : العمل المستقبَل هو عمل الثقل، ويساوي تغيّر الطاقة الحركية.

$W_{AB}$ هو العمل الذي تستقبله الكرية من الوسط الخارجي بين $A$ و $B$ ، وتنجزه قوة الثقل $\vec{P}$ .

عمل محرّك : السهم داخل إلى الجملة، والكرية تنزل.

W_{AB} = E_{c2} - E_{c1} = 4 - 2 = 2\ \mathrm{J}

الوسط الخارجي هو الأرض (التي تجذب الكرية).

W_{AB}(\vec{P}) = m\cdot g\cdot AB \Rightarrow AB = \dfrac{W_{AB}}{m\cdot g} = \dfrac{2}{0{,}1 \times 10} = 2\ \mathrm{m}

v_{A} = \sqrt{2E_{c1}/m} = \sqrt{2 \times 2 / 0{,}1} \approx 6{,}3\ \mathrm{m/s} ; v_{B} = \sqrt{2 \times 4 / 0{,}1} \approx 8{,}9\ \mathrm{m/s}

الحصيلة الطاقوية :

E_{c1} + W_{AB}(\vec{P}) - f\cdot AB = E_{c2} \Rightarrow f = \dfrac{W_{AB}(\vec{P}) - \Delta E_{c}}{AB} = \dfrac{2 - 1{,}5}{2} = 0{,}25\ \mathrm{N}

التمرين 7

سهل

يقذف أحمد سهما شاقوليا نحو الأعلى بواسطة مسدّس لعبة. نعتبر مقاومة الهواء مهملة، والسهم جسما نقطيا كتلته $m = 50\ \mathrm{g}$ ، وسرعته الابتدائية شاقولية نحو الأعلى قيمتها $v_{0} = 5\ \mathrm{m/s}$ . يُقذف السهم من الارتفاع $h_{0} = 1{,}75\ \mathrm{m}$ عن سطح الأرض.

شكل التمرين 7

احسب الطاقة الحركية للسهم لحظة قذفه.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (سهم) بين موضع القذف $A$ وأعلى موضع $B$ يبلغه.

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على هذه الجملة، أوجد أقصى ارتفاع يبلغه السهم بالنسبة لسطح الأرض.

يعود السهم فيسقط على الأرض. احسب سرعته لحظة ملامسته الأرض.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$E_{cA}\ (J)$	$h\ (m)$	$H\ (m)$	$v\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجملة (سهم) تتبادل الطاقة مع الأرض بعمل الثقل فقط. عند الصعود يكون عمل الثقل مقاوما، وعند أعلى نقطة تنعدم السرعة.

E_{cA} = \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}05 \times 5^{2} = 0{,}625\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية :

E_{cA} - m\cdot g\cdot h = E_{cB} = 0 \Rightarrow h = \dfrac{E_{cA}}{m\cdot g} = \dfrac{0{,}625}{0{,}05 \times 10} = 1{,}25\ \mathrm{m}

أقصى ارتفاع بالنسبة لسطح الأرض : $H = h_{0} + h = 1{,}75 + 1{,}25 = 3{,}0\ \mathrm{m}$ .

بين $B$ (سرعة معدومة) والأرض، ينزل السهم $H = 3\ \mathrm{m}$ وعمل الثقل محرّك :

0 + m\cdot g\cdot H = \tfrac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow v = \sqrt{2 g H} = \sqrt{2 \times 10 \times 3} \approx 7{,}7\ \mathrm{m/s}

انتبه، خطأ شائع: الارتفاع $h$ المحسوب من معادلة الانحفاظ يُقاس من موضع القذف، لا من سطح الأرض. ولاحظ أنّ الكتلة لا تؤثّر على $h$ : $h = v_{0}^{2} / 2g$ .

التمرين 8

سهل

تصعد شاحنة كتلتها $M = 2\ \mathrm{t}$ طريقا مستقيما مائلا ميله $10 \%$ (أي ترتفع $10\ \mathrm{m}$ كلّما قطعت $100\ \mathrm{m}$ على الطريق : $\sin \alpha = 0{,}1$ )، بسرعة ثابتة $v = 54\ \mathrm{km/h}$ .

شكل التمرين 8

مثّل القوى المؤثّرة على الشاحنة (نعتبر قوى الاحتكاك مهملة، وقوة المحرّك $\vec{F}$ موازية للطريق).

حدّد طبيعة عمل كلّ قوة (محرّك، مقاوم، معدوم).

باستعمال مبدأ انحفاظ الطاقة، احسب شدّة القوة $\vec{F}$ التي يبذلها محرّك الشاحنة.

احسب الاستطاعة التي يقدّمها المحرّك.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$F\ (N)$	$P\ (kW)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: سرعة ثابتة ⇒ الطاقة الحركية ثابتة ⇒ مجموع الأعمال معدوم. هذا هو مفتاح الحساب.

القوى : الثقل $\vec{P}$ (شاقولي نحو الأسفل)، ردّ الفعل $\vec{R}$ (عمودي على الطريق)، قوة المحرّك $\vec{F}$ (موازية للطريق نحو الأعلى).

$\vec{F}$ : عمل محرّك ؛ $\vec{P}$ : عمل مقاوم (الشاحنة تصعد) ؛ $\vec{R}$ : عمل معدوم.

على مسافة $d$ : $F\cdot d - M\cdot g\cdot d\cdot \sin \alpha = \Delta E_{c} = 0$

F = M \cdot g \cdot \sin \alpha = 2000 \times 10 \times 0{,}1 = 2000\ \mathrm{N}

$v = 54 / 3{,}6 = 15\ \mathrm{m/s}$ :

P = F \cdot v = 2000 \times 15 = 3{,}0\times 10^{4}\ \mathrm{W} = 30 kW

انتبه، خطأ شائع: $M = 2\ \mathrm{t} = 2000\ \mathrm{kg}$ ، و $v$ يجب أن تكون بـ $\mathrm{m/s}$ . والميل $10 \%$ هنا يعني $\sin \alpha = 0{,}1$ كما يحدّده النصّ.

التمرين 9

متوسط

يُسحب متزحلق على الثلج كتلته $m = 80\ \mathrm{kg}$ بسرعة ثابتة $v = 10\ \mathrm{km/h}$ بواسطة آلة سحب، حيث يصنع الحبل الذي يجرّه زاوية $\beta = 50^{\circ}$ مع خطّ الميل الأعظم للمسلك، ويصنع هذا الأخير زاوية $\alpha = 30^{\circ}$ مع الأفق. تكافئ مختلف الاحتكاكات قوة وحيدة $\vec{f}$ معاكسة لجهة الحركة شدّتها ثابتة $f = 50\ \mathrm{N}$ .

شكل التمرين 9

أحصِ القوى المطبّقة على المتزحلق.

عندما يرتفع المتزحلق ارتفاعا $h = 2\ \mathrm{m}$ :

ما المسافة التي يقطعها على المسلك ؟

احسب عمل الثقل $\vec{P}$ وعمل قوة الاحتكاك. ما طبيعة كلّ منهما ؟

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، استنتج عمل قوة الحبل $\vec{T}$ وطبيعته.

استنتج شدّة القوة $\vec{T}$ التي يطبّقها الحبل، ثمّ استطاعتها.

نعطي : $g = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$L\ (m)$	$W_{AB}(\vec{T})\ (J)$	$T\ (N)$	$P\ (10^{3}\ W)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: السرعة ثابتة : $\Sigma W = 0$ . احسب أوّلا الأعمال المعروفة (الثقل، الاحتكاك)، ثمّ استنتج عمل قوة الحبل، ومنه شدّتها.

القوى : الثقل $\vec{P}$ ، ردّ الفعل الناظمي $\vec{R}$ ، قوة الحبل $\vec{T}$ ، قوة الاحتكاك $\vec{f}$ .

L = h / \sin \alpha = 2 / 0{,}5 = 4\ \mathrm{m}

عمل الثقل مقاوم (صعود) :

W_{AB}(\vec{P}) = - m\cdot g\cdot h = - 80 \times 9{,}8 \times 2 = - 1568\ \mathrm{J}

عمل الاحتكاك مقاوم :

W_{AB}(\vec{f}) = - f\cdot L = - 50 \times 4 = - 200\ \mathrm{J}

$W_{AB}(\vec{R}) = 0$ ، و $\Sigma W = 0$ : عمل قوة الحبل محرّك :

W_{AB}(\vec{T}) = - W_{AB}(\vec{P}) - W_{AB}(\vec{f}) = 1568 + 200 = 1768\ \mathrm{J}

W_{AB}(\vec{T}) = T \cdot L \cdot \cos \beta \Rightarrow T = \dfrac{1768}{4 \times \\cos 50^{\circ}} = \dfrac{1768}{2{,}571} \approx 688\ \mathrm{N}

بـ $v = 10 / 3{,}6 \approx 2{,}78\ \mathrm{m/s}$ :

P = T \cdot v \cdot \cos \beta = 688 \times 2{,}78 \times 0{,}643 \approx 1{,}23\times 10^{3}\ \mathrm{W}

التمرين 10

متوسط

يُجرّ متزحلق كتلته $m = 85\ \mathrm{kg}$ على مستوٍ مائل $AB$ طوله $100\ \mathrm{m}$ ، زاوية ميله عن الأفق $\alpha = 30^{\circ}$ ، تحت تأثير قوة $\vec{F}$ ثابتة الشدّة والاتجاه $(F = 900\ \mathrm{N})$ ، يصنع حاملها مع خطّ الميل الأعظم زاوية $\beta = 45^{\circ}$ . يخضع المتزحلق أثناء حركته لقوة احتكاك $\vec{f}$ معاكسة لجهة الحركة شدّتها ثابتة $f = 150\ \mathrm{N}$ .

شكل التمرين 10

مثّل القوى المؤثّرة على المتزحلق.

احسب عمل كلّ قوة عند انتقاله من $A$ إلى $B$ .

احسب العمل الكلّي. هل تزداد سرعة المتزحلق أم تتناقص ؟

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (متزحلق) بين $A$ و $B$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{AB}(\vec{F})\ (10^{4}\ J)$	$\Sigma W\ (10^{3}\ J)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: أربع قوى، أربعة أعمال. انتبه إلى أنّ زاوية $\vec{F}$ مع الانتقال هي $\beta$ ، وأنّ عمل الثقل يُحسب بالارتفاع $h = AB\cdot \sin \alpha$ .

القوى : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{F}$ ، $\vec{f}$ .

محرّك :

W_{AB}(\vec{F}) = F\cdot AB\cdot \cos \beta = 900 \times 100 \times 0{,}707 \approx 6{,}36\times 10^{4}\ \mathrm{J}

مقاوم :

W_{AB}(\vec{P}) = - m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha = - 85 \times 10 \times 100 \times 0{,}5 = - 4{,}25\times 10^{4}\ \mathrm{J}

مقاوم :

W_{AB}(\vec{f}) = - f\cdot AB = - 150 \times 100 = - 1{,}5\times 10^{4}\ \mathrm{J}

$W_{AB}(\vec{R}) = 0$ (معدوم)

\Sigma W \approx 6{,}36\times 10^{4} - 4{,}25\times 10^{4} - 1{,}5\times 10^{4} \approx 6{,}1\times 10^{3}\ \mathrm{J}

$\Sigma W > 0$ : الطاقة الحركية للمتزحلق تزداد، إذن سرعته تتزايد.

الحصيلة الطاقوية :

التمرين 11

متوسط

يستعمل الأطفال في حدائق التسلية لعبة التزحلق الموضّحة في الشكل، وتتكوّن من المستويات المتتالية : المستوي الأفقي $AB$ ، المستوي المائل $BC$ طوله $l = 4\ \mathrm{m}$ يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 45^{\circ}$ ، ثمّ المستوي الأفقي $CD$ .

شكل التمرين 11

يجلس طفل كتلته $m = 30\ \mathrm{kg}$ عند النقطة $B$ ، فيدفعه صديقه ليبدأ النزول على المستوي المائل $BC$ بسرعة $v_{B} = 4\ \mathrm{m/s}$ ، ثمّ ينزل بسرعة ثابتة.

ماذا تستنتج عن مجموع أعمال القوى المطبّقة على الطفل بين $B$ و $C$ ؟ علّل.

مثّل القوى المطبّقة على مركز عطالة الطفل.

احسب عمل ثقل الطفل $\vec{P}$ أثناء النزول من $B$ إلى $C$ .

استنتج عمل قوة الاحتكاك $\vec{f}$ ، ثمّ احسب شدّتها.

يواصل الطفل حركته على المستوي الأفقي $CD$ ، فيتوقّف في النقطة $E$ تحت تأثير قوة احتكاك لها نفس الشدّة السابقة.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (طفل) بين $C$ و $E$ .

اكتب معادلة انحفاظ الطاقة الموافقة.

استنتج المسافة $d = CE$ التي يقطعها الطفل قبل توقّفه التام.

نعطي : $g = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{BC}(\vec{P})\ (J)$	$f\ (N)$	$CE\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: «بسرعة ثابتة» ⇒ $\Sigma W = 0$ . وفي الجزء الأخير، الطفل يتوقّف : كلّ طاقته الحركية في $C$ تُفقد بالاحتكاك.

السرعة ثابتة ⇒ الطاقة الحركية ثابتة ⇒ $\Sigma W = \Delta E_{c} = 0$ : عمل الثقل المحرّك يعوّضه تماما عمل الاحتكاك المقاوم.

القوى : الثقل $\vec{P}$ ، ردّ الفعل الناظمي $\vec{R}$ ، قوة الاحتكاك $\vec{f}$ (موازية للمستوي نحو الأعلى).

W_{BC}(\vec{P}) = m\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha = 30 \times 9{,}8 \times 4 \times 0{,}707 \approx 832\ \mathrm{J}

W_{BC}(\vec{f}) = - W_{BC}(\vec{P}) \approx - 832\ \mathrm{J} \Rightarrow f = 832 / 4 \approx 208\ \mathrm{N}

السرعة ثابتة على $BC$ ، إذن $v_{C} = v_{B} = 4\ \mathrm{m/s}$ .

الحصيلة الطاقوية :

$E_{cC} - f \cdot CE = E_{cE} = 0$

CE = \dfrac{\tfrac{1}{2} m v_{C}^{2}}{f} = \dfrac{\tfrac{1}{2} \times 30 \times 4^{2}}{208} = \dfrac{240}{208} \approx 1{,}15\ \mathrm{m}

التمرين 12

متوسط

جسم $(S)$ نقطي كتلته $m = 600\ \mathrm{g}$ يتحرّك على المسار $ABC$ حيث :

$AB$ مستوٍ أفقي طوله $AB = 3\ \mathrm{m}$ ؛
$BC$ مستوٍ مائل يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ .

يخضع الجسم على كامل المسار لقوة احتكاك $\vec{f}$ شدّتها ثابتة.

شكل التمرين 12

نقذف الجسم من $A$ بسرعة $v_{A} = 6\ \mathrm{m/s}$ فيبلغ $B$ بسرعة $v_{B} = 4\ \mathrm{m/s}$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $B$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أوجد شدّة قوة الاحتكاك $\vec{f}$ .

يواصل الجسم حركته على المستوي المائل تحت تأثير ثقله ونفس قوة الاحتكاك، حتى يتوقّف في الموضع $C$ .

ما طبيعة حركة الجسم على المستوي المائل ؟

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $B$ و $C$ .

أوجد المسافة $BC$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$BC\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: على الجزء الأفقي : الاحتكاك وحده يعمل. على الجزء المائل (صعود) : الثقل والاحتكاك كلاهما مقاوم.

الحصيلة الطاقوية :

E_{cA} - f\cdot AB = E_{cB} \Rightarrow f = \dfrac{\tfrac{1}{2} m (v_{A}^{2} - v_{B}^{2})}{AB} = \dfrac{\tfrac{1}{2} \times 0{,}6 \times (36 - 16)}{3} = 2\ \mathrm{N}

حركة متباطئة : عمل الثقل وعمل الاحتكاك كلاهما مقاوم، فالطاقة الحركية تتناقص.

الحصيلة الطاقوية :

$E_{cB} - m\cdot g\cdot BC\cdot \sin \alpha - f\cdot BC = 0$

BC = \dfrac{\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}}{m\cdot g\cdot \\sin \alpha + f} = \dfrac{\tfrac{1}{2} \times 0{,}6 \times 16}{0{,}6 \times 10 \times 0{,}5 + 2} = \dfrac{4{,}8}{5} = 0{,}96\ \mathrm{m}

التمرين 13

متوسط

يُسحب جسم كتلته $m = 400\ \mathrm{g}$ من النقطة $A$ بدون سرعة ابتدائية على مستوٍ مائل طوله $AB = 2\ \mathrm{m}$ ، يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، بواسطة قوة ثابتة $F = 10\ \mathrm{N}$ يصنع حاملها مع المسار زاوية $\beta = 20^{\circ}$ . يخضع الجسم بين $A$ و $B$ لقوة احتكاك $\vec{f}$ معاكسة لجهة الحركة شدّتها $f = 4\ \mathrm{N}$ .

شكل التمرين 13

مثّل القوى المطبّقة على الجسم عندما يتحرّك على $AB$ .

احسب عمل كلّ قوة بين $A$ و $B$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم)، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

استنتج سرعة الجسم عندما يصل إلى النقطة $B$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{AB}(\vec{F})\ (J)$	$E_{cB}\ (J)$	$v_B\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجسم يصعد : عمل الثقل مقاوم $(- m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha )$ . قوة الجرّ تصنع الزاوية $\beta$ مع المسار.

القوى : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{F}$ ، $\vec{f}$ .

محرّك :

W_{AB}(\vec{F}) = F\cdot AB\cdot \cos \beta = 10 \times 2 \times 0{,}940 \approx 18{,}8\ \mathrm{J}

مقاوم (صعود) :

W_{AB}(\vec{P}) = - m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha = - 0{,}4 \times 10 \times 2 \times 0{,}5 = - 4\ \mathrm{J}

$W_{AB}(\vec{R}) = 0$ ؛ عمل الاحتكاك :

W_{AB}(\vec{f}) = - f\cdot AB = - 4 \times 2 = - 8\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية :

E_{cA} + W_{AB}(\vec{F}) + W_{AB}(\vec{P}) + W_{AB}(\vec{f}) = E_{cB}

E_{cB} = 0 + 18{,}8 - 4 - 8 = 6{,}8\ \mathrm{J} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 \times 6{,}8 / 0{,}4} \approx 5{,}8\ \mathrm{m/s}

التمرين 14

متوسط

ندفع جسما كتلته $m = 500\ \mathrm{g}$ من النقطة $A$ أسفل مستوٍ مائل طوله $AB = 2\ \mathrm{m}$ ، يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، بسرعة ابتدائية $v_{0} = 5\ \mathrm{m/s}$ نحو الأعلى.

شكل التمرين 14

مثّل القوى المؤثّرة على الجسم أثناء صعوده (نهمل الاحتكاك).

اكتب عبارة عمل الثقل بين $A$ و $B$ بدلالة $m$ و $g$ و $AB$ و $\alpha$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

بيّن أنّ عبارة السرعة في $B$ هي : $v_{B} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha }$ ، ثمّ احسب قيمتها.

تجريبيا وُجد $v_{B} = 1{,}5\ \mathrm{m/s}$ .

ما سبب الاختلاف بين القيمة المحسوبة والقيمة التجريبية ؟

احسب شدّة القوة المسبّبة لهذا الاختلاف (نعتبرها ثابتة وموازية للمسار).

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_B\ (m/s)$	$f\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: أوجد أوّلا العبارة الحرفية للسرعة، ثمّ قارن بالقيمة التجريبية : الفرق في الطاقة الحركية هو عمل القوة التي أهملناها.

بإهمال الاحتكاك : $\vec{P}$ و $\vec{R}$ فقط.

الجسم يصعد ارتفاعا $h = AB\cdot \sin \alpha$ :

W_{AB}(\vec{P}) = - m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha

الحصيلة الطاقوية : $E_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB}$

$\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha$ ، وبالقسمة على $\tfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$ :

v_{B} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha } = \sqrt{25 - 2 \times 10 \times 2 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\ \mathrm{m/s}

القيمة التجريبية أصغر : الجسم فقد طاقة إضافية بسبب قوى الاحتكاك (مع المستوي والهواء) التي أهملناها.

$E_{cA} - m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha - f\cdot AB = E_{cB}$ :

f = \dfrac{\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - m\cdot g\cdot AB\cdot \\sin \alpha - \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}}{AB} = \dfrac{6{,}25 - 5 - 0{,}5625}{2} \approx 0{,}34\ \mathrm{N}

التمرين 15

متوسط

ينزلق جسم $(S)$ كتلته $M = 95\ \mathrm{kg}$ من النقطة $A$ دون سرعة ابتدائية على مستوٍ مائل طوله $AB = 150\ \mathrm{m}$ ، يصنع زاوية $\alpha = 10^{\circ}$ مع الأفق، نعتبره في البداية أملس. نعتبر الجملة (جسم).

شكل التمرين 15

مثّل القوى المؤثّرة على الجسم بين $A$ و $B$ .

احسب عمل ثقل الجسم بين $A$ و $B$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

استنتج سرعة الجسم في النقطة $B$ .

في الحقيقة كانت سرعة الجسم في $B$ تساوي نصف القيمة السابقة بسبب الاحتكاكات.

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة في هذه الحالة، واكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

احسب شدّة قوة الاحتكاك التي نعتبرها ثابتة خلال الحركة.

يواصل الجسم حركته على المستوي الأفقي $BC$ تحت تأثير نفس قوة الاحتكاك. أوجد المسافة $BC$ حيث $C$ النقطة التي تنعدم فيها سرعته.

نعطي : $g = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{AB}(\vec{P})\ (10^{4}\ J)$	$v_B\ (m/s)$	$f\ (N)$	$BC\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: المستوي أملس في البداية : الثقل وحده يعمل. لاحظ أنّ «نصف السرعة» يعني «ربع الطاقة الحركية».

القوى : $\vec{P}$ و $\vec{R}$ .

$h = AB \cdot \sin 10^{\circ} = 150 \times 0{,}174 \approx 26\ \mathrm{m}$ :

W_{AB}(\vec{P}) = M\cdot g\cdot h = 95 \times 9{,}8 \times 150 \times 0{,}174 \approx 2{,}43\times 10^{4}\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية : $E_{cA} + W_{AB}(\vec{P}) = E_{cB}$ مع $E_{cA} = 0$ .

v_{B} = \sqrt{2\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha } = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 150 \times 0{,}174} \approx 22{,}6\ \mathrm{m/s}

الحصيلة الطاقوية : $0 + W_{AB}(\vec{P}) - f\cdot AB = E_{cB}'$ حيث $v_{B}' = 22{,}6 / 2 \approx 11{,}3\ \mathrm{m/s}$ .

E_{cB}' = \tfrac{1}{2} \times 95 \times 11{,}3^{2} \approx 6{,}06\times 10^{3}\ \mathrm{J}

f = \dfrac{W_{AB}(\vec{P}) - E_{cB}'}{AB} = \dfrac{24 250 - 6 060}{150} \approx 121\ \mathrm{N}

على المستوي الأفقي يعمل الاحتكاك وحده : $E_{cB}' - f\cdot BC = 0$

BC = \dfrac{E_{cB}'}{f} = \dfrac{6 060}{121} \approx 50\ \mathrm{m}

انتبه، خطأ شائع: إذا قُسمت السرعة على 2 فإنّ الطاقة الحركية تُقسم على 4 (لأنّها تتعلّق بـ $v^{2}$ ) : $E_{cB}' = \tfrac{1}{4} \times 2{,}43\times 10^{4} \approx 6{,}06\times 10^{3}\ \mathrm{J}$ .

التمرين 16

متوسط

يتحرّك جسم نقطي كتلته $m = 400\ \mathrm{g}$ من النقطة $A$ بدون سرعة ابتدائية على مستوٍ مائل طوله $AB = 5\ \mathrm{m}$ يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، فيصل إلى $B$ بالسرعة $v_{B} = 2\ \mathrm{m/s}$ . يخضع الجسم بين $A$ و $B$ لقوة احتكاك $\vec{f}$ ثابتة معاكسة لجهة الحركة.

شكل التمرين 16

مثّل القوى المطبّقة على الجسم بين $A$ و $B$ .

اكتب عبارة عمل الثقل بدلالة $m$ و $g$ و $AB$ و $\alpha$ ، واحسب قيمته.

بالاستعانة بالحصيلة الطاقوية، اكتب معادلة انحفاظ الطاقة بين $A$ و $B$ ، واستنتج شدّة قوة الاحتكاك $f$ .

يغادر الجسم النقطة $B$ فيسقط على الأرض في النقطة $D$ بسرعة $v_{D} = 3{,}5\ \mathrm{m/s}$ (نهمل تأثير الهواء).

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $B$ و $D$ ، واكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

استنتج الارتفاع $h = BC$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$W_{AB}(\vec{P})\ (J)$	$f\ (N)$	$h\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: مرحلتان : على المستوي (ثقل + احتكاك)، ثمّ في الهواء (ثقل فقط). اكتب معادلة انحفاظ لكلّ مرحلة على حدة.

القوى بين $A$ و $B$ : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{f}$ .

W_{AB}(\vec{P}) = m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha = 0{,}4 \times 10 \times 5 \times 0{,}5 = 10\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية :

0 + W_{AB}(\vec{P}) - f\cdot AB = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} \Rightarrow f = \dfrac{10 - \tfrac{1}{2} \times 0{,}4 \times 2^{2}}{5} = \dfrac{10 - 0{,}8}{5} \approx 1{,}84\ \mathrm{N}

الحصيلة الطاقوية : $E_{cB} + m\cdot g\cdot h = E_{cD}$

h = \dfrac{\tfrac{1}{2} m (v_{D}^{2} - v_{B}^{2})}{m\cdot g} = \dfrac{3{,}5^{2} - 2^{2}}{2 \times 10} = \dfrac{8{,}25}{20} \approx 0{,}41\ \mathrm{m}

التمرين 17

صعب

نوّاس بسيط مكوّن من كرية صغيرة كتلتها $m$ مثبّتة في طرف خيط مهمل الكتلة وعديم الامتطاط طوله $L = 80\ \mathrm{cm}$ ، طرفه الآخر مثبّت في النقطة $O$ . نزيح النوّاس عن وضع توازنه بزاوية $\theta = 50^{\circ}$ ، ثمّ ندفع الكرية من الموضع $A$ بسرعة ابتدائية $v_{A} = 0{,}5\ \mathrm{m/s}$ . نهمل جميع الاحتكاكات.

شكل التمرين 17

أوجد عبارة الارتفاع $h$ بدلالة $L$ و $\theta$ ، ثمّ عبارة عمل الثقل بين $A$ و $B$ .

لماذا لا ينجز توتّر الخيط $\vec{T}$ أيّ عمل ؟

باستعمال مبدأ انحفاظ الطاقة، احسب سرعة الكرية في الموضع $B$ (موضع التوازن الشاقولي).

تواصل الكرية حركتها لتصعد في الجهة المقابلة. ما الزاوية $\theta _{m}$ التي يصنعها الخيط مع الشاقول عندما تنعدم سرعتها ؟

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$h\ (m)$	$v_B\ (m/s)$	$\theta_m\ (^{\circ})$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: في النوّاس : الخيط يبقى عموديا على المسار الدائري، فلا يعمل. الثقل وحده يعمل، والارتفاع $h = L(1 - \cos \theta )$ .

$h = L - L\cdot \cos \theta = L(1 - \cos \theta )$ ، والكرية تنزل من $A$ إلى $B$ :

W_{AB}(\vec{P}) = m\cdot g\cdot L(1 - \cos \theta )

عدديا : $h = 0{,}8 \times (1 - 0{,}643) \approx 0{,}286\ \mathrm{m}$ .

توتّر الخيط $\vec{T}$ يكون في كلّ لحظة عموديا على شعاع السرعة (المسار دائري والخيط على نصف القطر)، فعمله معدوم.

$\tfrac{1}{2} m v_{A}^{2} + m\cdot g\cdot L(1 - \cos \theta ) = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}$

v_{B} = \sqrt{v_{A}^{2} + 2\cdot g\cdot L(1 - \cos \theta )} = \sqrt{0{,}25 + 2 \times 10 \times 0{,}286} \approx 2{,}44\ \mathrm{m/s}

بين $B$ وموضع التوقّف : $\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} - m\cdot g\cdot L(1 - \cos \theta _{m}) = 0$

\cos \theta _{m} = 1 - \dfrac{v_{B}^{2}}{2\cdot g\cdot L} = 1 - \dfrac{5{,}96}{16} \approx 0{,}627 \Rightarrow \theta _{m} \approx 51^{\circ}

وهي أكبر من $50^{\circ}$ لأنّ الكرية دُفعت بسرعة ابتدائية في $A$ .

التمرين 18

صعب

تنزلق كرة صغيرة كتلتها $m = 100\ \mathrm{g}$ بدون احتكاك على السطح الداخلي لوعاء نصف كروي مركزه $O$ ونصف قطره $R = 10\ \mathrm{cm}$ . تُحدَّد مواضع الكرة بالزاوية التي يصنعها نصف القطر مع الشاقول $OC$ .

شكل التمرين 18

أوجد عبارة عمل ثقلها $\vec{P}$ عندما تنتقل الكرة من الموضع $A$ المحدّد بالزاوية $\alpha$ إلى الموضع $B$ المحدّد بالزاوية $\beta$ .

استنتج عبارة عمل الثقل عندما تنتقل الكرة من $A$ إلى الموضع $C$ الواقع على الشاقول المارّ بـ $O$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للكرة بين $A$ و $C$ .

تُترك الكرة في $A$ بدون سرعة ابتدائية، مع $\alpha = 60^{\circ}$ . اكتب معادلة انحفاظ الطاقة، ثمّ استنتج سرعة الكرة عند مرورها بـ $C$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_C\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: ارتفاع نقطة من الوعاء محدّدة بالزاوية $φ$ مع الشاقول، فوق النقطة السفلى $C$ ، هو $R(1 - \cos φ)$ .

$z_{A} = R(1 - \cos \alpha )$ و $z_{B} = R(1 - \cos \beta )$ :

W_{AB}(\vec{P}) = m\cdot g\cdot (z_{A} - z_{B}) = m\cdot g\cdot R\cdot (\cos \beta - \cos \alpha )

$C$ توافق $\beta = 0$ :

W_{AC}(\vec{P}) = m\cdot g\cdot R\cdot (1 - \cos \alpha )

الحصيلة الطاقوية :

$0 + m\cdot g\cdot R(1 - \cos \alpha ) = \tfrac{1}{2} m v_{C}^{2}$

v_{C} = \sqrt{2\cdot g\cdot R\cdot (1 - \cos \alpha )} = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}1 \times 0{,}5} = 1\ \mathrm{m/s}

التمرين 19

صعب

تجرّ شاحنة سيارة معطّلة كتلتها $m = 900\ \mathrm{kg}$ بواسطة حبل يصنع زاوية $30^{\circ}$ مع الطريق، ويطبّق عليها قوة $\vec{T}$ شدّتها $T = 800\ \mathrm{N}$ . وتشارك مجموعة من الرجال في دفع السيارة بقوة $\vec{F}$ موازية للطريق شدّتها $F = 310\ \mathrm{N}$ . تكافئ قوى الاحتكاك المطبّقة على السيارة قوة $\vec{f}$ موازية للطريق شدّتها $f = 270\ \mathrm{N}$ .

شكل التمرين 19

على الطريق الأفقي : تنطلق السيارة من السكون في $A$ .

مثّل القوى المطبّقة على السيارة.

احسب مجموع أعمال القوى المطبّقة على السيارة بين $A$ و $B$ حيث $AB = 40\ \mathrm{m}$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للسيارة، واكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

احسب سرعة السيارة في $B$ .

على الطريق المائل : تشرع السيارة في صعود مستوٍ مائل بزاوية $10^{\circ}$ عن الأفق ( $B$ بدايته). يبقى الحبل يصنع زاوية $30^{\circ}$ مع الطريق، وتبقى قوة الرجال موازية للطريق، ولقوى الاحتكاك نفس الشدّة.

احسب مجموع أعمال القوى المطبّقة على السيارة عندما تقطع على المستوي المائل المسافة $BC = 20\ \mathrm{m}$ .

استنتج سرعتها في $C$ . هل تتسارع السيارة أم تتباطأ على هذا الجزء ؟

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$\Sigma W_{AB}\ (10^{4}\ J)$	$v_B\ (m/s)$	$v_C\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: نظّم الحساب في جدول : قوة، زاوية، عمل. وفي الجزء المائل أضف عمل الثقل (مقاوم لأنّ السيارة تصعد).

القوى : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{T}$ (الحبل)، $\vec{F}$ (الرجال)، $\vec{f}$ (الاحتكاك).

القوة	العمل على AB بالجول	طبيعته
$\vec{T}$	$800 \times 40 \times \cos 30^{\circ} \approx 27 713$	محرّك
$\vec{F}$	$310 \times 40 = 12 400$	محرّك
$\vec{f}$	$- 270 \times 40 = - 10 800$	مقاوم
$\vec{P}$ و $\vec{R}$	$0$	معدوم

\Sigma W_{AB} \approx 27 713 + 12 400 - 10 800 \approx 2{,}93\times 10^{4}\ \mathrm{J}

الحصيلة الطاقوية : $0 + \Sigma W_{AB} = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}$

v_{B} = \sqrt{2 \times 29 313 / 900} \approx 8{,}1\ \mathrm{m/s}

القوة	العمل على BC بالجول	طبيعته
$\vec{T}$	$800 \times 20 \times \cos 30^{\circ} \approx 13 856$	محرّك
$\vec{F}$	$310 \times 20 = 6 200$	محرّك
$\vec{f}$	$- 270 \times 20 = - 5 400$	مقاوم
$\vec{P}$	$- 900 \times 10 \times 20 \times \sin 10^{\circ} \approx - 31 256$	مقاوم
$\vec{R}$	$0$	معدوم

\Sigma W_{BC} \approx - 1{,}66\times 10^{4}\ \mathrm{J}

v_{C} = \sqrt{v_{B}^{2} + 2\cdot \Sigma W_{BC} / m} = \sqrt{65{,}1 - 36{,}9} \approx 5{,}3\ \mathrm{m/s}

$\Sigma W_{BC} < 0$ : السيارة تتباطأ على المستوي المائل.

التمرين 20

صعب

من النقطة $O$ يقذف طفل كرة كتلتها $m$ شاقوليا نحو الأعلى بسرعة $v_{0}$ ، فتصل إلى النقطة $B$ أين تنعدم سرعتها. نهمل تأثير الهواء، ونعتبر الجملة (كرة). يمثّل البيان تغيّرات الطاقة الحركية للكرة بدلالة ارتفاعها $h$ فوق $O$ .

شكل التمرين 20

ما أشكال الطاقة المخزّنة في الجملة (كرة) في $O$ وفي $B$ ؟

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة بين $O$ و $B$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة بين $O$ وموضع كيفي ارتفاعه $h$ ، بيّن أنّ : $E_{c} = E_{c0} - m\cdot g\cdot h$ .

اعتمادا على البيان، استنتج : الارتفاع $OB$ ، الكتلة $m$ ، والسرعة $v_{0}$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$m\ (kg)$	$v_0\ (m/s)$	$OB\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: اكتب العلاقة النظرية $E_{c} = f(h)$ أوّلا، ثمّ قارنها بمعادلة البيان $E_{c} = a\cdot h + b$ : الترتيب عند المبدأ والميل يعطيان المجاهيل.

الجملة (كرة) وحدها لا تخزّن إلاّ الطاقة الحركية : في $O$ لها $E_{c0}$ ، وفي $B$ طاقتها الحركية معدومة.

الحصيلة الطاقوية :

بين $O$ وموضع ارتفاعه $h$ يكون عمل الثقل مقاوما :

E_{c} = E_{c0} - m\cdot g\cdot h

البيان خطّ مستقيم : $E_{c} = - 4 h + 3{,}2$ (الترتيب عند المبدأ $3{,}2\ \mathrm{J}$ ، وينعدم $E_{c}$ عند $h = 0{,}8\ \mathrm{m}$ ).

$OB = 0{,}8\ \mathrm{m}$ (حيث $E_{c} = 0$ ).
بالمطابقة : $m\cdot g = 4\ \mathrm{N}$ ⇒

m = 4 / 10 = 0{,}4\ \mathrm{kg}

$E_{c0} = 3{,}2\ \mathrm{J}$ ⇒

v_{0} = \sqrt{2 \times 3{,}2 / 0{,}4} = 4\ \mathrm{m/s}

تحقّق : $v_{0}^{2} / 2g = 16 / 20 = 0{,}8\ \mathrm{m}$ ✔

التمرين 21

صعب

من الموضع $A$ أسفل مستوٍ مائل يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، ندفع جسما نقطيا $(S)$ كتلته $m$ بسرعة ابتدائية $v_{0}$ ، فيصعد على المستوي بدون احتكاك حتى تنعدم سرعته في الموضع $B$ بعد قطعه مسافة $d$ . يمثّل البيان تغيّرات الطاقة الحركية للجسم بدلالة المسافة $x$ التي يقطعها من $A$ إلى موضع كيفي $M$ .

شكل التمرين 21

مثّل القوى الخارجية المؤثّرة على الجسم، ثمّ الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ و $M$ .

اكتب العلاقة النظرية بين $E_{c}$ و $x$ .

اكتب معادلة البيان، ثمّ استنتج بالمطابقة : الكتلة $m$ ، السرعة $v_{0}$ ، والمسافة $d$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$m\ (kg)$	$v_0\ (m/s)$	$d\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: نفس طريقة التمرين السابق، لكنّ الارتفاع هنا $h = x \cdot \sin \alpha$ .

القوى : $\vec{P}$ و $\vec{R}$ (لا احتكاك). الحصيلة الطاقوية

E_{c} = E_{cA} - m\cdot g\cdot x\cdot \sin \alpha

من البيان : $E_{c} = - 0{,}5 x + 0{,}4$ . بالمطابقة :

$m\cdot g\cdot \sin \alpha = 0{,}5\ \mathrm{N}$ ⇒

m = 0{,}5 / (10 \times 0{,}5) = 0{,}1\ \mathrm{kg}

$E_{cA} = 0{,}4\ \mathrm{J}$ ⇒

v_{0} = \sqrt{2 \times 0{,}4 / 0{,}1} = \sqrt{8} \approx 2{,}8\ \mathrm{m/s}

$d$ : قيمة $x$ التي ينعدم عندها $E_{c}$ :

d = 0{,}4 / 0{,}5 = 0{,}8\ \mathrm{m}

التمرين 22

صعب

لتعيين شدّة قوة الاحتكاك $\vec{f}$ التي تعيق حركة جسم صلب $(S)$ كتلته $m = 400\ \mathrm{g}$ على سطح طاولة أفقية، نعطي للجسم سرعة ابتدائية معلومة $v_{0}$ ، فيقطع مسافة $d$ قبل أن يتوقّف. نكرّر التجربة عدّة مرّات ونرسم البيان $v_{0}^{2} = f(d)$ .

شكل التمرين 22

مثّل القوى الخارجية المؤثّرة على الجسم أثناء حركته.

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أوجد العلاقة التي تعطي $v_{0}^{2}$ بدلالة $f$ و $d$ و $m$ .

استنتج شدّة قوة الاحتكاك مستعينا بالبيان.

تحقق من نتائجك

المقدار	$f\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: عبّر عن الكمية المرسومة على محور التراتيب ( $v_{0}^{2}$ ) بدلالة الكمية المرسومة على محور الفواصل ( $d$ ) : ستجد علاقة خطّية ميلها يحوي $f$ .

القوى : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{f}$ .

$\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - f \cdot d = 0$ ⇒

v_{0}^{2} = \dfrac{2f}{m} \cdot d

ميل البيان : $k = 32 / 8 = 4\ \mathrm{m/s^{2}}$ . بالمطابقة : $2f / m = 4$

f = 4 \times 0{,}4 / 2 = 0{,}8\ \mathrm{N}

التمرين 23

صعب

سيارة $(S)$ كتلتها $m$ تنتقل وفق مسار مستقيم أفقي من موضع $A$ إلى موضع كيفي $M$ ، بدون احتكاك وبدون سرعة ابتدائية، تحت تأثير قوة $\vec{F}$ ثابتة موازية لمسارها وفي جهة حركتها. يمثّل البيانان تغيّرات عمل القوة المحرّكة $\vec{F}$ أثناء الانتقال $AM$ : الأوّل بدلالة المسافة المقطوعة $d = AM$ ، والثاني بدلالة مربّع السرعة $v^{2}$ في الموضع $M$ .

شكل التمرين 23

اكتب عبارة عمل القوة $\vec{F}$ بدلالة المسافة $d$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أوجد عبارة عمل القوة $\vec{F}$ بدلالة $v^{2}$ .

استنتج من البيانين : شدّة القوة $\vec{F}$ ، وكتلة السيارة $m$ .

تحقق من نتائجك

المقدار	$F\ (N)$	$m\ (kg)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: بيانان، وعلاقتان نظريتان : $W = F\cdot d$ (ميل البيان الأوّل = $F$ ) و $W = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ (ميل البيان الثاني = $\tfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$ ). انتبه إلى وحدة محور التراتيب $(10^{3}\ \mathrm{J})$ .

$\vec{F}$ موازية للانتقال وفي جهته :

W_{AM}(\vec{F}) = F \cdot d

الثقل وردّ الفعل عملهما معدوم، و $E_{cA} = 0$ :

W_{AM}(\vec{F}) = \tfrac{1}{2} m v^{2}

البيان الأوّل : عند $d = 16\ \mathrm{m}$ ، $W = 1{,}6\times 10^{3}\ \mathrm{J}$ ⇒

F = 1600 / 16 = 100\ \mathrm{N}

البيان الثاني : عند $v^{2} = 8\ \mathrm{m}^{2}/s^{2}$ ، $W = 1{,}6\times 10^{3}\ \mathrm{J}$ ⇒ $\tfrac{1}{2}\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{kg}$ ⇒

m = 400\ \mathrm{kg}

التمرين 24

صعب

يتحرّك جسم كتلته $m$ على مسار دائري أملس نصف قطره $R = 80\ \mathrm{cm}$ : ينطلق من الموضع $A$ (الواقع على المستوي الأفقي المارّ بالمركز $O$ ) بدون سرعة ابتدائية، ليمرّ بالموضع $M$ المحدّد بالزاوية $\theta$ . درسنا تغيّرات الطاقة الحركية $E_{c}$ للجملة (جسم) بدلالة $\sin \theta$ ، فتحصّلنا على البيان المقابل.

شكل التمرين 24

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين الموضعين $A$ و $M$ .

بيّن أنّ $h = R \cdot \sin \theta$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة واستنتج عبارة $E_{c}$ في $M$ بدلالة $m$ و $g$ و $R$ و $\sin \theta$ .

اكتب المعادلة الرياضية للبيان، واستنتج كتلة الجسم $m$ .

أوجد من البيان الطاقة الحركية للجسم في الموضع $B$ (أسفل المسار)، واستنتج سرعته $v_{B}$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$m\ (kg)$	$v_B\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: عيّن $h$ هندسيا (المثلث القائم $O$ ، $M$ ومسقط $M$ على الأفقي)، ثمّ قارن العبارة النظرية بمعادلة البيان.

الحصيلة الطاقوية :

في المثلث القائم : $\sin \theta = h / R$ ⇒ $h = R\cdot \sin \theta$ . الجسم ينزل والمسار أملس :

0 + m\cdot g\cdot R\cdot \sin \theta = E_{cM} \Rightarrow E_{c} = m\cdot g\cdot R \cdot \sin \theta

البيان خطّ مستقيم يمرّ بالمبدأ ميله $a = 1 / 0{,}5 = 2\ \mathrm{J}$ : $E_{c} = 2 \sin \theta$ . بالمطابقة :

m\cdot g\cdot R = 2 \Rightarrow m = 2 / (10 \times 0{,}8) = 0{,}25\ \mathrm{kg}

في $B$ : $\theta = 90^{\circ}$ و $\sin \theta = 1$ ⇒ $E_{cB} = 2\ \mathrm{J}$ :

v_{B} = \sqrt{2 \times 2 / 0{,}25} = 4\ \mathrm{m/s}

انتبه، خطأ شائع: $\sin \theta$ لا يتجاوز 1 : البيان يتوقّف عند الموضع $B$ $(\theta = 90^{\circ})$ .

التمرين 25

صعب

ندفع جسما كتلته $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ من النقطة $A$ بسرعة ابتدائية $v_{0}$ على مستوٍ $AB$ مائل عن الأفق بزاوية $\alpha$ ، فيصعد حتى يتوقّف في النقطة $B$ . نهمل الاحتكاك وتأثير الهواء. يمثّل البيان تغيّرات مربّع السرعة $v^{2}$ للجسم أثناء صعوده بدلالة المسافة المقطوعة $d$ .

شكل التمرين 25

اكتب عبارة عمل الثقل بدلالة $d$ و $m$ و $g$ و $\alpha$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم) بين $A$ وموضع آخر أثناء الصعود، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

بيّن أنّ : $v^{2} = v_{0}^{2} - 2\cdot g\cdot d\cdot \sin \alpha$ .

اعتمادا على البيان :

استنتج قيمة السرعة الابتدائية $v_{0}$ .

احسب ميل البيان، واكتب معادلته.

بالمطابقة، استنتج $\sin \alpha$ ثمّ الزاوية $\alpha$ .

حدّد قيمة المسافة $AB$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_0\ (m/s)$	$\alpha\ (^{\circ})$	$AB\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: اقسم معادلة انحفاظ الطاقة على $\tfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$ لتحصل على علاقة بين $v^{2}$ و $d$ ، ثمّ طابقها مع البيان.

W_{AB}(\vec{P}) = - m\cdot g\cdot d\cdot \sin \alpha

الحصيلة الطاقوية : $\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - m\cdot g\cdot d\cdot \sin \alpha = \tfrac{1}{2} m v^{2}$

بالقسمة على $\tfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$ :

v^{2} = v_{0}^{2} - 2\cdot g\cdot d\cdot \sin \alpha

عند $d = 0$ : $v_{0}^{2} = 25$ ⇒

v_{0} = 5\ \mathrm{m/s}

الميل : $k = (5 - 25) / (2 - 0) = - 10\ \mathrm{m/s^{2}}$ ؛ معادلة البيان : $v^{2} = - 10 d + 25$ .

$2\cdot g\cdot \sin \alpha = 10$ ⇒

\sin \alpha = 0{,}5 \Rightarrow \alpha = 30^{\circ}

يتوقّف الجسم عندما $v^{2} = 0$ :

AB = 25 / 10 = 2{,}5\ \mathrm{m}

(نقطة تقاطع البيان مع محور الفواصل).

التمرين 26

صعب

نقذف في اللحظة $t = 0$ جسما صلبا $(S)$ نعتبره نقطيا كتلته $m = 400\ \mathrm{g}$ ، على مستوٍ أفقي، بسرعة ابتدائية $v_{0}$ من النقطة $A$ نحو النقطة $B$ حيث $AB = 1{,}4\ \mathrm{m}$ . يخضع الجسم أثناء حركته لقوى احتكاك تكافئ قوة $\vec{f}$ معاكسة لجهة الحركة وثابتة الشدّة.

شكل التمرين 26

تغيّرات مربّع السرعة v² بدلالة المسافة x المقطوعة على AB

مثّل القوى الخارجية المطبّقة على الجسم أثناء حركته من $A$ نحو $B$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (جسم)، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

بيّن أنّ : $v^{2} = v_{0}^{2} - \dfrac{2f}{m}\cdot x$ حيث $x$ المسافة المقطوعة على $AB$ .

اعتمادا على البيان : استنتج قيمة السرعة الابتدائية $v_{0}$ وشدّة قوة الاحتكاك $f$ ، ثمّ أوجد $v_{B}$ بيانيا وحسابيا.

يغادر الجسم المستوي الأفقي في $B$ ليسقط في الموضع $E$ على مستوٍ أفقي أخفض بمقدار $BD = 0{,}5\ \mathrm{m}$ . احسب سرعة الجسم في $E$ (نهمل تأثير الهواء).

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_0\ (m/s)$	$f\ (N)$	$v_B\ (m/s)$	$v_E\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: على $AB$ الاحتكاك وحده يعمل ؛ بعد $B$ الثقل وحده. استغلّ البيان للجزء الأوّل، ثمّ معادلة انحفاظ جديدة للسقوط.

القوى : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{f}$ .

الحصيلة الطاقوية : $\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - f\cdot x = \tfrac{1}{2} m v^{2}$

بالقسمة على $\tfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$ :

v^{2} = v_{0}^{2} - (2f/m)\cdot x

$v_{0}^{2} = 10$ ⇒

v_{0} \approx 3{,}16\ \mathrm{m/s}

الميل : $(4 - 10) / 1 = - 6\ \mathrm{m/s^{2}}$ ⇒ $2f / m = 6$ ⇒

f = 6 \times 0{,}4 / 2 = 1{,}2\ \mathrm{N}

بيانيا عند $x = 1{,}4\ \mathrm{m}$ : $v_{B}^{2} = 1{,}6$ ؛ وحسابيا : $10 - 6 \times 1{,}4 = 1{,}6$ ⇒

v_{B} \approx 1{,}26\ \mathrm{m/s}

بين $B$ و $E$ : $\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} + m\cdot g\cdot BD = \tfrac{1}{2} m v_{E}^{2}$

v_{E} = \sqrt{v_{B}^{2} + 2\cdot g\cdot BD} = \sqrt{1{,}6 + 10} \approx 3{,}4\ \mathrm{m/s}

التمرين 27

صعب

ينطلق جسم صلب $(S)$ نقطي كتلته $m = 0{,}1\ \mathrm{kg}$ من النقطة $A$ على المسار المستقيم الأفقي $AB$ ، فيصل إلى $B$ بالسرعة $v_{B} = 4\ \mathrm{m/s}$ . ابتداءً من $B$ يصبح المسار دائريا في مستوٍ شاقولي، مركزه $O$ ونصف قطره $r = 1\ \mathrm{m}$ ، حتى النقطة $C$ حيث $\alpha = 60^{\circ}$ . بعد $C$ يغادر الجسم المسار فيتابع حركته في الهواء حتى أعلى نقطة $N$ ، ثمّ يعود ليسقط في النقطة $D$ . النقاط $A$ و $B$ و $D$ على نفس المستوي الأفقي. نهمل الاحتكاكات.

شكل التمرين 27

أوجد عبارة الارتفاع $h_{C}$ للنقطة $C$ عن المستوي $AB$ بدلالة $r$ و $\alpha$ .

اكتب عبارة الطاقة الحركية للجسم في $C$ ، ثمّ احسب قيمتها واستنتج سرعته $v_{C}$ .

احسب الطاقة الحركية للجسم في $D$ ، ثمّ سرعته. ماذا تلاحظ ؟

نقبل أنّ سرعة الجسم في $N$ أفقية وقيمتها $v_{N} = v_{C} \cdot \cos \alpha$ . بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة بين $B$ و $N$ ، أوجد ارتفاع النقطة $N$ عن المستوي $AB$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_C\ (m/s)$	$v_D\ (m/s)$	$h_N\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: ثلاث مراحل (القوس، الطيران، السقوط) لكن قوة واحدة تعمل : الثقل. يكفي إذن أن تعرف فرق الارتفاع بين الموضعين.

h_{C} = r - r\cdot \cos \alpha = r(1 - \cos \alpha ) = 1 \times (1 - 0{,}5) = 0{,}5\ \mathrm{m}

$E_{cB} - m\cdot g\cdot r(1 - \cos \alpha ) = E_{cC}$ :

E_{cC} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}1 \times 4^{2} - 0{,}1 \times 10 \times 0{,}5 = 0{,}8 - 0{,}5 = 0{,}3\ \mathrm{J}

v_{C} = \sqrt{2 \times 0{,}3 / 0{,}1} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\ \mathrm{m/s}

$B$ و $D$ على نفس الارتفاع ⇒ $W_{BD}(\vec{P}) = 0$ :

E_{cD} = E_{cB} = 0{,}8\ \mathrm{J} \Rightarrow v_{D} = 4\ \mathrm{m/s}

نلاحظ أنّ الجسم يعود إلى $D$ بنفس سرعة مروره بـ $B$ (لا احتكاك).

$v_{N} = 2{,}45 \times \cos 60^{\circ} \approx 1{,}22\ \mathrm{m/s}$ و $E_{cN} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}1 \times 1{,}5 = 0{,}075\ \mathrm{J}$ :

E_{cB} - m\cdot g\cdot h_{N} = E_{cN} \Rightarrow h_{N} = \dfrac{0{,}8 - 0{,}075}{0{,}1 \times 10} \approx 0{,}73\ \mathrm{m}

انتبه، خطأ شائع: في أعلى نقطة $N$ السرعة ليست معدومة : تبقى لها مركّبة أفقية. لا تكتب $E_{cN} = 0$ .

التمرين 28

صعب

لعبة أطفال : عربة كتلتها $m = 400\ \mathrm{g}$ تسير على طريق مكوّن من :

مسار أفقي مستقيم $AB = 1{,}4\ \mathrm{m}$ ، تخضع فيه العربة لقوة احتكاك ثابتة الشدّة $f = 1{,}71\ \mathrm{N}$ ؛
مسار على شكل ربع دائرة $BC$ أملس، مركزه $O$ ونصف قطره $R = 50\ \mathrm{cm}$ .

ندفع العربة من $A$ بسرعة ابتدائية $v_{0} = 4\ \mathrm{m/s}$ لتصل إلى $B$ بسرعة $v_{B}$ .

شكل التمرين 28

مثّل القوى المؤثّرة على العربة أثناء سيرها من $A$ نحو $B$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (عربة) بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

بيّن أنّ $v_{B}^{2} = v_{0}^{2} - \dfrac{2f\cdot AB}{m}$ ، ثمّ احسب قيمتها.

تواصل العربة حركتها على ربع الدائرة لتتوقّف عند النقطة $M$ التي يصنع نصف قطرها $OM$ زاوية $\theta$ مع الأفقي $OC$ .

بيّن أنّ ارتفاع $M$ عن $B$ يُعطى بالعبارة : $h = R(1 - \sin \theta )$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة بين $B$ و $M$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

احسب قيمة الارتفاع $h$ ، ثمّ استنتج قيمة الزاوية $\theta$ .

ما قيمة السرعة $v_{B}$ اللازمة لكي تصل العربة بالكاد إلى النقطة $C$ ؟ استنتج السرعة الابتدائية $v_{0}$ اللازمة عندئذ.

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$h\ (m)$	$\theta\ (^{\circ})$	$v_0\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: الجزء $AB$ : الاحتكاك وحده يعمل. الجزء $BC$ : الثقل وحده يعمل. عيّن $h$ من المثلث القائم $O$ ، $M$ ومسقطه.

القوى على $AB$ : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{f}$ .

الحصيلة الطاقوية : $\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - f\cdot AB = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}$

v_{B}^{2} = v_{0}^{2} - \dfrac{2f\cdot AB}{m} = 16 - \dfrac{2 \times 1{,}71 \times 1{,}4}{0{,}4} \approx 4{,}0 \Rightarrow v_{B} \approx 2{,}0\ \mathrm{m/s}

$M$ تحت المستوي الأفقي $OC$ بمقدار $R\cdot \sin \theta$ ، و $B$ تحته بمقدار $R$ :

h = R - R\cdot \sin \theta = R(1 - \sin \theta )

الحصيلة الطاقوية : $\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} - m\cdot g\cdot h = 0$

h = \dfrac{v_{B}^{2}}{2g} = \dfrac{4{,}03}{20} \approx 0{,}20\ \mathrm{m}

\sin \theta = 1 - h / R = 1 - 0{,}20 / 0{,}5 \approx 0{,}60 \Rightarrow \theta \approx 37^{\circ}

لتصل العربة بالكاد إلى $C$ : $h = R$ و $v_{C} = 0$ :

v_{B} = \sqrt{2\cdot g\cdot R} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\ \mathrm{m/s}

v_{0} = \sqrt{v_{B}^{2} + 2f\cdot AB/m} = \sqrt{10 + 11{,}97} \approx 4{,}7\ \mathrm{m/s}

التمرين 29

صعب

ندفع عربة كتلتها $m$ من النقطة $A$ بسرعة ابتدائية $v_{A}$ على طريق على شكل ربع دائرة $AC$ مركزه $O$ ونصف قطره $R$ ، حيث $A$ على المستوي الأفقي المارّ بـ $O$ و $C$ أسفل المسار. تمرّ العربة بنقطة $B$ يصنع نصف قطرها $OB$ زاوية $\alpha$ مع الشاقول $OC$ ، ثمّ تواصل حركتها على الطريق الأفقي لتتوقّف في $D$ . نهمل الاحتكاكات من $A$ إلى $C$ .

شكل التمرين 29

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (عربة) بين $A$ و $B$ ، ثمّ اكتب معادلة انحفاظ الطاقة.

أوجد عبارة الارتفاع $h$ بين $A$ و $B$ بدلالة $R$ و $\alpha$ .

اكتب عبارة $v_{B}^{2}$ بدلالة $R$ و $\alpha$ و $v_{A}$ و $g$ .

درسنا تغيّرات مربّع السرعة $v_{B}^{2}$ بدلالة $\cos \alpha$ فتحصّلنا على البيان. باستغلاله استنتج :

السرعة الابتدائية $v_{A}$ ؛

نصف القطر $R$ ؛

السرعة في $C$ ، ثمّ كتلة العربة إذا كانت طاقتها الحركية في $C$ تساوي $E_{cC} = 0{,}95\ \mathrm{J}$ .

تواصل العربة حركتها على الطريق الأفقي لتتوقّف في $D$ تحت تأثير قوة احتكاك ثابتة $f = 0{,}5\ \mathrm{N}$ . أوجد المسافة $CD$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$v_A\ (m/s)$	$R\ (m)$	$m\ (kg)$	$CD\ (m)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: اكتب $v_{B}^{2}$ بدلالة $\cos \alpha$ : علاقة خطّية $v_{B}^{2} = a\cdot \cos \alpha + b$ . الترتيب عند المبدأ يعطي $v_{A}^{2}$ والميل يعطي $R$ .

الحصيلة الطاقوية : $\tfrac{1}{2} m v_{A}^{2} + m\cdot g\cdot h = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}$

$A$ على المستوي الأفقي المارّ بـ $O$ ، و $B$ تحته بمقدار $R\cdot \cos \alpha$ :

h = R\cdot \cos \alpha

v_{B}^{2} = v_{A}^{2} + 2\cdot g\cdot R\cdot \cos \alpha

الترتيب عند المبدأ : $v_{A}^{2} = 9$ ⇒

v_{A} = 3\ \mathrm{m/s}

الميل : $(19 - 9) / 1 = 10\ \mathrm{m}^{2}/s^{2}$ ⇒ $2\cdot g\cdot R = 10$ ⇒

R = 0{,}5\ \mathrm{m}

في $C$ : $\alpha = 0$ و $\cos \alpha = 1$ ⇒ $v_{C}^{2} = 19$ ⇒

v_{C} \approx 4{,}36\ \mathrm{m/s}

m = \dfrac{2 E_{cC}}{v_{C}^{2}} = \dfrac{2 \times 0{,}95}{19} = 0{,}1\ \mathrm{kg}

$E_{cC} - f\cdot CD = 0$ ⇒

CD = 0{,}95 / 0{,}5 = 1{,}9\ \mathrm{m}

التمرين 30

صعب

عربة كتلتها $m = 50\ \mathrm{kg}$ تنطلق من السكون في النقطة $A$ وتصعد مستويا مائلا ميله $10 \%$ $(\sin \alpha = 0{,}1)$ ، تحت تأثير قوة $\vec{F}$ ثابتة تصنع زاوية $\theta = 45^{\circ}$ مع خطّ الميل الأعظم. عند وصولها إلى $B$ تُلغى هذه القوة، فتواصل العربة صعودها حتى تتوقّف في $C$ . تخضع العربة على كامل المسار $AC$ لقوة احتكاك $\vec{f}$ ثابتة موازية لخطّ الميل الأعظم ومعاكسة لجهة الحركة.

شكل التمرين 30

مخطّط السرعة v = g(t)

اعتمادا على مخطّط السرعة، حدّد أطوار الحركة وطبيعة كلّ طور.

بيّن أنّ $AB = 75\ \mathrm{m}$ و $BC = 37{,}5\ \mathrm{m}$ (المسافة المقطوعة تساوي مساحة الحيّز تحت المخطّط).

مثّل القوى المطبّقة على العربة خلال المسار $AB$ ثمّ خلال $BC$ .

مثّل الحصيلة الطاقوية للجملة (عربة) بين $B$ و $C$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة، أوجد شدّة قوة الاحتكاك $f$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (عربة) بين $A$ و $B$ ، أوجد شدّة قوة الجرّ $F$ .

نعطي : $g = 10\ \mathrm{N/kg}$

تحقق من نتائجك

المقدار	$BC\ (m)$	$f\ (N)$	$F\ (N)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: اقرأ من المخطّط السرعة الأعظمية والمدد، واحسب المسافات بالمساحات. ثمّ ابدأ بالمرحلة $BC$ (مجهول واحد : $f$ )، وبعدها $AB$ (مجهول واحد : $F$ ).

من $0$ إلى $15\ \mathrm{s}$ : السرعة تتزايد بانتظام من $0$ إلى $10\ \mathrm{m/s}$ : حركة مستقيمة متسارعة بانتظام (المسار $AB$ ). من $15\ \mathrm{s}$ إلى $22{,}5\ \mathrm{s}$ : السرعة تتناقص بانتظام حتى تنعدم : حركة متباطئة بانتظام (المسار $BC$ ).

AB = \tfrac{1}{2} \times 15 \times 10 = 75\ \mathrm{m} ; BC = \tfrac{1}{2} \times 7{,}5 \times 10 = 37{,}5\ \mathrm{m}

على $AB$ : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{F}$ ، $\vec{f}$ . على $BC$ : $\vec{P}$ ، $\vec{R}$ ، $\vec{f}$ .

الحصيلة الطاقوية :

$E_{cB} - m\cdot g\cdot BC\cdot \sin \alpha - f\cdot BC = 0$ مع $E_{cB} = \tfrac{1}{2} \times 50 \times 10^{2} = 2500\ \mathrm{J}$ :

f = \dfrac{2500 - 50 \times 10 \times 37{,}5 \times 0{,}1}{37{,}5} = \dfrac{2500 - 1875}{37{,}5} \approx 16{,}7\ \mathrm{N}

$0 + F\cdot AB\cdot \cos 45^{\circ} - m\cdot g\cdot AB\cdot \sin \alpha - f\cdot AB = E_{cB}$ :

F = \dfrac{2500 + 50 \times 10 \times 75 \times 0{,}1 + 16{,}7 \times 75}{75 \times 0{,}707} = \dfrac{2500 + 3750 + 1250}{53{,}0} \approx 141\ \mathrm{N}

التمرين 31

صعب

لدراسة حركة جسم صلب $(S)$ كتلته $m = 100\ \mathrm{g}$ على سطح دائري أملس $BC$ مركزه $O$ ونصف قطره $r = 1\ \mathrm{m}$ ، نقذفه من النقطة $A$ بسرعة ابتدائية أفقية $v_{A}$ ليتحرّك على سطح أفقي $AB = d = 1\ \mathrm{m}$ تكون فيه شدّة قوة الاحتكاك ثابتة $f = 0{,}8\ \mathrm{N}$ وجهتها عكس جهة الحركة. يمرّ الجسم بالنقطة $B$ (قمّة السطح الدائري) بسرعة $v_{B}$ ، ويواصل حركته على السطح الدائري ثمّ يغادره عند النقطة $N$ المحدّدة بالزاوية $\theta$ .

شكل التمرين 31

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة بين $A$ و $B$ ، بيّن أنّ سرعة القذف تعطى بالعلاقة : $v_{A}^{2} = v_{B}^{2} + \dfrac{2d\cdot f}{m}$ .

بيّن أنّ انخفاض النقطة $N$ عن النقطة $B$ هو $h = r(1 - \cos \theta )$ .

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة بين $B$ و $N$ ، جد عبارة $v_{N}^{2}$ بدلالة $v_{B}$ و $g$ و $r$ و $\theta$ .

نقبل أنّ الجسم يغادر السطح عندما تصبح سرعته محقّقة للعلاقة $v_{N}^{2} = g\cdot r\cdot \cos \theta$ .

بيّن أنّ : $\cos \theta = \dfrac{2}{3} + \dfrac{v_{B}^{2}}{3g\cdot r}$ .

يمثّل البيان تغيّرات $\cos \theta$ بدلالة $v_{B}^{2}$ . اعتمادا عليه، جد قيمة $g$ في مكان التجربة.

ما قيمة الزاوية $\theta$ إذا مرّ الجسم بـ $B$ بسرعة شبه معدومة ؟ وما سرعة القذف $v_{A}$ اللازمة عندئذ ؟

تحقق من نتائجك

المقدار	$g\ (N/kg)$	$\theta\ (^{\circ})$	$v_A\ (m/s)$
القيمة

عرض الحل

توجيه منهجي: تمرين تعمّق : طبّق مبدأ الانحفاظ مرّتين، ثمّ استعمل الشرط المعطى لمغادرة السطح. الهدف الأخير هو علاقة خطّية بين $\cos \theta$ و $v_{B}^{2}$ .

على $AB$ الأفقي، الاحتكاك وحده يعمل : $\tfrac{1}{2} m v_{A}^{2} - f\cdot d = \tfrac{1}{2} m v_{B}^{2}$

v_{A}^{2} = v_{B}^{2} + \dfrac{2d\cdot f}{m}

$B$ على ارتفاع $r$ فوق $O$ ، و $N$ على ارتفاع $r\cdot \cos \theta$ :

h = r - r\cdot \cos \theta = r(1 - \cos \theta )

السطح أملس، والجسم ينزل : $\tfrac{1}{2} m v_{B}^{2} + m\cdot g\cdot r(1 - \cos \theta ) = \tfrac{1}{2} m v_{N}^{2}$

v_{N}^{2} = v_{B}^{2} + 2\cdot g\cdot r(1 - \cos \theta )

$g\cdot r\cdot \cos \theta = v_{B}^{2} + 2g\cdot r - 2g\cdot r\cdot \cos \theta$ ⇒ $3g\cdot r\cdot \cos \theta = v_{B}^{2} + 2g\cdot r$ :

\cos \theta = \dfrac{2}{3} + \dfrac{v_{B}^{2}}{3g\cdot r}

الترتيب عند المبدأ $\approx 0{,}67 = 2/3$ ✔. الميل : $(0{,}917 - 0{,}667) / 7{,}35 \approx 0{,}034\ \mathrm{s}^{2}/m^{2}$ . بالمطابقة $1 / (3g\cdot r) = 0{,}034$ :

g = 1 / (3 \times 1 \times 0{,}034) \approx 9{,}8\ \mathrm{N/kg}

إذا كانت $v_{B} \approx 0$ : $\cos \theta = 2/3$ ⇒

\theta \approx 48^{\circ}

وسرعة القذف اللازمة عندئذ :

v_{A} = \sqrt{0 + 2 \times 1 \times 0{,}8 / 0{,}1} = 4\ \mathrm{m/s}

نماذج اختبارات مصححة

نموذج للفرض الأول (ساعة واحدة) ونموذج لاختبار الفصل (ساعتان)، في شكل مواضيع كاملة مع التصحيح المفصل وسلم التنقيط. أنجز الموضوع في الوقت المحدد قبل الاطلاع على التصحيح.

تحميل التمارين دون حلول (Word)

التمرين1

نموذج الفرض الأول (ساعة واحدة) - العمل، الاستطاعة، الطاقة الحركية

متوسط

التمرين الأول (7 نقاط)

يجرّ طفل مزلجة كتلتها $m = 30\ kg$ على طريق أفقي مغطى بالثلج، بواسطة حبل يصنع مع الطريق زاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، بقوة شدتها $F = 80\ N$ على مسافة $AB = 50\ m$ . تخضع المزلجة لقوة احتكاك ثابتة شدتها $f = 40\ N$ . تنطلق المزلجة من السكون في $A$ . نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

مثّل القوى المؤثرة على المزلجة.

احسب عمل كل قوة بين $A$ و $B$ .

استنتج المجموع الجبري للأعمال.

احسب سرعة المزلجة في $B$ .

استغرقت الحركة $20\ s$ : احسب الاستطاعة المتوسطة لقوة الحبل.

التمرين الثاني (7 نقاط)

ينزلق جسم كتلته $m = 4\ kg$ من السكون من النقطة $A$ على مستوٍ مائل يصنع مع الأفق الزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، طوله $AB = 6\ m$ ، ويخضع لقوة احتكاك ثابتة $f = 5\ N$ . يتابع الجسم حركته على مستوٍ أفقي $BC$ حيث يخضع لنفس قوة الاحتكاك.

احسب عمل الثقل بين $A$ و $B$ وعمل الاحتكاك.

أنجز الحصيلة الطاقوية للجسم بين $A$ و $B$ ، واحسب سرعته في $B$ .

احسب المسافة $d$ التي يقطعها على المستوي الأفقي قبل أن يتوقف.

التمرين الثالث (6 نقاط)

تسير سيارة كتلتها $m = 1000\ kg$ على طريق أفقي مستقيم بسرعة ثابتة $v = 54\ km/h$ . تؤثر على السيارة قوة مقاومة (احتكاك وهواء) ثابتة شدتها $f = 600\ N$ .

احسب شدة قوة الجر $F$ التي يطبقها المحرك، واستطاعته.

احسب عمل المحرك خلال $10\ min$ .

احسب الطاقة الحركية للسيارة.

يكبح السائق فتتوقف السيارة بعد أن تقطع مسافة $d$ تحت تأثير قوة فرملة ثابتة شدتها $F_b = 4500\ N$ (نهمل المقاومة). احسب $d$ .

عرض الحل

التمرين الأول

القوى: الثقل $\vec{P}$ شاقولي نحو الأسفل، ردّ الفعل الناظمي $\vec{R}$ شاقولي نحو الأعلى، قوة الحبل $\vec{F}$ (زاوية $30^{\circ}$ مع الطريق)، قوة الاحتكاك $\vec{f}$ عكس الحركة. (1 نقطة)

$\vec{P}$ و $\vec{R}$ عموديان على الانتقال: $W(\vec{P}) = W(\vec{R}) = 0$ .

W(\vec{F}) = F \cdot AB \cdot \cos 30^{\circ} = 80 \times 50 \times 0{,}866 \approx 3{,}46 \times 10^{3}\ J \qquad W(\vec{f}) = -f \cdot AB = -40 \times 50 = -2000\ J

(2.5 نقطة)

$\sum W = 0 + 0 + 3464 - 2000 \approx 1{,}46 \times 10^{3}\ J$ (1 نقطة)

$E_{cA} + \sum W = E_{cB} \quad \Rightarrow \quad 0 + 1464 = \dfrac{1}{2} \times 30 \times v_B^2 \quad \Rightarrow \quad v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 1464}{30}} \approx 9{,}9\ m/s$ (1.5 نقطة)

$P = \dfrac{W(\vec{F})}{\Delta t} = \dfrac{3464}{20} \approx 1{,}7 \times 10^{2}\ W$ (1 نقطة)

التمرين الثاني

$W(\vec{P}) = m g \cdot AB \cdot \sin\alpha = 4 \times 10 \times 6 \times 0{,}5 = 120\ J \qquad W(\vec{f}) = -f \cdot AB = -5 \times 6 = -30\ J$ (2 نقطتان: الثقل محرك لأن الجسم ينزل، والاحتكاك مقاوم)

ردّ الفعل الناظمي عمله معدوم. الحصيلة: سهم $W(\vec{P})$ داخل من اليسار، وسهم $|W(\vec{f})|$ خارج نحو اليمين، وسهم $E_c$ صاعد.

0 + 120 - 30 = \dfrac{1}{2} \times 4 \times v_B^2 \quad \Rightarrow \quad v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 90}{4}} = \sqrt{45} \approx 6{,}7\ m/s

(3 نقاط)

على $BC$ يعمل الاحتكاك فقط، والجسم يتوقف:

E_{cB} - f \cdot d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = \dfrac{E_{cB}}{f} = \dfrac{90}{5} = 18\ m

(2 نقطتان)

التمرين الثالث

السرعة ثابتة: $\sum W = 0$ ومنه $F = f = 600\ N$ . السرعة $v = \dfrac{54}{3{,}6} = 15\ m/s$ :

P = F \cdot v = 600 \times 15 = 9000\ W

(2 نقطتان)

$W = P \cdot \Delta t = 9000 \times 600 = 5{,}4 \times 10^{6}\ J$ (1 نقطة)

$E_c = \dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2} \times 1000 \times 15^2 = 1{,}125 \times 10^{5}\ J$ (1 نقطة)

$E_c - F_b \cdot d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = \dfrac{E_c}{F_b} = \dfrac{112500}{4500} = 25\ m$ (2 نقطتان)

ملاحظات للتصحيح: تقبل النتائج المقربة، ويخصم نصف النقطة عند غياب الوحدة أو نسيان تحويل $km/h$ إلى $m/s$ .

التمرين2

نموذج اختبار الفصل (ساعتان) - قذف شاقولي، شاحنة على منحدر، مسار مركب

صعب

التمرين الأول (6 نقاط)

نقذف كرة كتلتها $m = 0{,}2\ kg$ شاقوليا نحو الأعلى من سطح الأرض بسرعة $v_0 = 12\ m/s$ . نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

نهمل مقاومة الهواء. احسب أقصى ارتفاع تبلغه الكرة بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة.

تخضع الكرة في الحقيقة لقوة مقاومة هواء ثابتة شدتها $f = 0{,}4\ N$ (عكس الحركة). أنجز الحصيلة الطاقوية للصعود، واحسب الارتفاع الأقصى $h'$ .

احسب سرعة الكرة عندما تعود إلى سطح الأرض.

التمرين الثاني (7 نقاط)

تصعد شاحنة كتلتها $m = 2000\ kg$ طريقا مستقيما مائلا طوله $L = 400\ m$ ميله $10\ \%$ (أي $\sin\alpha = 0{,}1$ ) بسرعة ثابتة $v = 36\ km/h$ . تخضع لقوة احتكاك ثابتة $f = 500\ N$ . نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

مثّل القوى المؤثرة على الشاحنة.

اذكر قيمة العمل الكلي. استنتج شدة قوة الجر $F$ (موازية للطريق).

احسب عمل كل قوة على كامل الطريق، ثم استطاعة المحرك.

في نقطة من الصعود يتوقف المحرك. احسب المسافة $d$ التي تقطعها الشاحنة بعد ذلك قبل أن تتوقف لحظيا.

التمرين الثالث (7 نقاط)

مسار $ABC$ : الجزء $AB$ مستوٍ مائل أملس طوله $AB = 5\ m$ يميل عن الأفق بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، والجزء $BC$ مستوٍ أفقي خشن قوة الاحتكاك عليه ثابتة $f = 10\ N$ . يُترك جسم كتلته $m = 2\ kg$ دون سرعة ابتدائية في $A$ . نأخذ $g = 10\ N/kg$ .

احسب عمل الثقل بين $A$ و $B$ ، ثم سرعة الجسم في $B$ .

أنجز الحصيلة الطاقوية بين $B$ و نقطة $D$ من $BC$ حيث $BD = 2\ m$ ، واحسب سرعة الجسم في $D$ .

احسب المسافة $BE$ التي يقطعها الجسم على $BC$ قبل أن يتوقف.

عرض الحل

التمرين الأول

الجملة: الكرة. بدون احتكاك لا يعمل إلا الثقل (مقاوما أثناء الصعود)، وعند أعلى نقطة السرعة معدومة:

\dfrac{1}{2} m v_0^2 - m g h = 0 \quad \Rightarrow \quad h = \dfrac{v_0^2}{2 g} = \dfrac{144}{20} = 7{,}2\ m

(2 نقطتان)

الحصيلة: عمودان $E_c$ نازل من $\tfrac{1}{2} m v_0^2$ إلى $0$ ، وسهمان خارجان نحو اليمين: $|W(\vec{P})|$ و $|W(\vec{f})|$ .

\dfrac{1}{2} m v_0^2 - m g h' - f h' = 0 \quad \Rightarrow \quad h' = \dfrac{\tfrac{1}{2} m v_0^2}{m g + f} = \dfrac{14{,}4}{2 + 0{,}4} = 6{,}0\ m

(2.5 نقطة)

عند النزول يكون الثقل محركا والمقاومة مقاومة:

m g h' - f h' = \dfrac{1}{2} m v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{2 (m g - f) h'}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}6 \times 6}{0{,}2}} = \sqrt{96} \approx 9{,}8\ m/s

(1.5 نقطة) وهي أقل من $12\ m/s$ بسبب الاحتكاك.

التمرين الثاني

القوى: الثقل $\vec{P}$ شاقولي، ردّ الفعل الناظمي $\vec{R}$ عمودي على الطريق، قوة الجر $\vec{F}$ موازية للطريق نحو الأعلى، قوة الاحتكاك $\vec{f}$ نحو الأسفل. (1 نقطة)

السرعة ثابتة: $\Delta E_c = 0$ أي $\sum W = 0$ . ومنه:

F \cdot L - m g L \sin\alpha - f L = 0 \quad \Rightarrow \quad F = m g \sin\alpha + f = 2000 \times 10 \times 0{,}1 + 500 = 2500\ N

(2 نقطتان)

الارتفاع $h = L \sin\alpha = 40\ m$ :

W(\vec{F}) = 2500 \times 400 = 10^{6}\ J \qquad W(\vec{P}) = -m g h = -2000 \times 10 \times 40 = -8 \times 10^{5}\ J \qquad W(\vec{f}) = -500 \times 400 = -2 \times 10^{5}\ J

المجموع معدوم ✓. السرعة $v = 10\ m/s$ :

P = F \cdot v = 2500 \times 10 = 2{,}5 \times 10^{4}\ W

(2.5 نقطة)

بعد توقف المحرك لا يعمل إلا الثقل والاحتكاك، وتتوقف الشاحنة:

\dfrac{1}{2} m v^2 - (m g \sin\alpha + f)\, d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = \dfrac{10^{5}}{2000 + 500} = 40\ m

(1.5 نقطة)

التمرين الثالث

ردّ الفعل الناظمي عمله معدوم والمستوي أملس:

W(\vec{P}) = m g \cdot AB \cdot \sin\alpha = 2 \times 10 \times 5 \times 0{,}5 = 50\ J \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2} \times 2 \times v_B^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad v_B = \sqrt{50} \approx 7{,}1\ m/s

(2.5 نقطة)

على $BC$ يعمل الاحتكاك وحده (الثقل وردّ الفعل عموديان على الانتقال):

E_{cB} - f \cdot BD = E_{cD} \quad \Rightarrow \quad 50 - 10 \times 2 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times v_D^2 \quad \Rightarrow \quad v_D = \sqrt{30} \approx 5{,}5\ m/s

(2.5 نقطة)

$E_{cB} - f \cdot BE = 0 \quad \Rightarrow \quad BE = \dfrac{50}{10} = 5\ m$ (2 نقطتان)

ملاحظات للتصحيح: تقبل النتائج المقربة، ويخصم نصف النقطة عند غياب الوحدة. في الحصيلة الطاقوية يُمنح الكامل للأسهم الصحيحة الاتجاه.