إنشاء حساب
منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثالثة ثانوي · تطور جملة ميكانيكية

مقاربة تاريخية لميكانيك نيوتن وقوانين نيوتن الثلاثة

240 دقيقةمتوسط

الدرس الأول من وحدة تطور جملة ميكانيكية: لمحة عن تاريخ الميكانيك من أرسطو إلى نيوتن، ثم المفاهيم الأساسية (الجملة الميكانيكية، النقطة المادية، مركز العطالة، المرجع والمعلم والمراجع العطالية)، وأشعة الموضع والسرعة والتسارع، والتسارع المماسي والناظمي في معلم فريني، وأخيرا قوانين نيوتن الثلاثة مع إثبات القانون الثاني تجريبيا بطاولة النضد الهوائي.

الهدف:
  • تحليل نص تاريخي حول تطور الميكانيك من أرسطو إلى نيوتن
  • تعريف الجملة الميكانيكية والنقطة المادية ومركز العطالة والمرجع العطالي
  • حساب أشعة الموضع والسرعة والتسارع بالاشتقاق وحساب طويلاتها
  • تعيين السرعة والتسارع اللحظيين من تسجيل متعاقب لمواضع متحرك
  • تفكيك التسارع إلى مركبتين مماسية وناظمية في معلم فريني
  • نص قوانين نيوتن الثلاثة واستعمال القانون الثاني ∑F⃗ext=ma⃗G\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G

1. لمحة تاريخية

عرف الميكانيك تطورا كبيرا في المفاهيم والنظريات، وأبرز التحولات فيه الانتقال من النظام المركزي الأرضي لأرسطو وبطليموس إلى النظام المركزي الشمسي لكوبرنيك، ثم تفسير غاليلي ونيوتن للحركات.

العالمإسهامه
أرسطولكل من الميكانيك الفلكية والأرضية قوانين خاصة بها، والأرض مركز الكون، وقوانينه معتمدة على الحدس.
بطليموساقترح نظاما لحركة الأجرام تكون فيه الأرض مركز الكون وتدور حولها الكواكب.
كوبرنيكوضع فرضية النظام المركزي الشمسي ومسارا دائريا لحركة الكواكب بسرعة ثابتة.
كبلرعمل بالنظام المركزي الشمسي، ورسم الكواكب بمدارات إهليلجية لا دائرية، وبسرعة غير ثابتة.
غاليليدرس سقوط الأجسام والحركة على المستوي المائل، ووضع مبدأ العطالة بصورته الأولى.
نيوتنوحّد الميكانيك الفلكية والأرضية، ووضع قانون الجذب العام وقوانينه الثلاثة في الحركة.

2. مفاهيم أساسية في الميكانيك

  • الجملة الميكانيكية: جسم أو جزء من جسم أو مجموعة أجسام نختارها للدراسة. ما يبقى خارجها هو الوسط الخارجي، ومنه تأتي القوى الخارجية.
  • النقطة المادية: جسم أبعاده مهملة أمام المسافات التي يقطعها، نرفق به نقطة هندسية (مركز عطالته) تتمركز فيها كامل كتلته.
  • الجسم الصلب: المسافات بين نقاطه لا تتغير أثناء الحركة.
  • مركز العطالة GG: حسب مبدأ العطالة، توجد في الجسم المعزول أو شبه المعزول نقطة على الأقل ساكنة أو في حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمرجع عطالي، تسمى مركز العطالة.

المرجع والمعلم

  • المرجع: جسم صلب غير قابل للتشوه تنسب إليه الحركة والسكون، لأنهما مفهومان نسبيان.
  • المعلم: مرتبط دائما بمرجع، وهو نوعان: معلم الفضاء يحدد موضع النقطة المادية ((O,x)(O,x) أو (O,x,y)(O,x,y) أو (O,x,y,z)(O,x,y,z))، ومعلم الزمن يتميز بمبدأ الأزمنة t=0t = 0 الذي يوافق عادة بداية الحركة.

المرجع العطالي (الغاليلي)

نقول عن مرجع إنه عطالي إذا تحقق فيه مبدأ العطالة. وكل مرجع في حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمرجع عطالي هو أيضا مرجع عطالي. وأهم المراجع التي نعتبرها عطالية في دراستنا ثلاثة:

المرجعتعريفهيُختار لدراسة
الهيليومركزي (المركزي الشمسي)مبدؤه مركز الشمس، ومحاوره الثلاثة متجهة نحو ثلاثة نجوم ثابتة تقريباحركة الكواكب وبعض المذنبات
الجيومركزي (المركزي الأرضي)مبدؤه مركز الأرض، ومحاوره موازية لمحاور المرجع الهيليومركزيحركة القمر والأقمار الاصطناعية والمركبات الفضائية
السطحي الأرضيمرتبط بسطح الأرض، ويعتبر عطاليا خلال مدة قصيرة أمام دور الأرض حول محورها (24 h24\ h)الحركات التي تتم على سطح الأرض أو بجواره

3. دراسة الحركة في المعلم (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

شعاع الموضع: يحدد موضع المتحرك MM في المعلم عند لحظة tt:

OM→=r⃗=x i⃗+y j⃗+z k⃗r=x2+y2+z2\overrightarrow{OM} = \vec{r} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k} \qquad r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

شعاع السرعة اللحظية: مشتق شعاع الموضع بالنسبة للزمن، وهو مماسي للمسار وفي جهة الحركة:

v⃗=dr⃗dt=dxdt i⃗+dydt j⃗+dzdt k⃗v=vx2+vy2+vz2\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{dx}{dt}\,\vec{i} + \dfrac{dy}{dt}\,\vec{j} + \dfrac{dz}{dt}\,\vec{k} \qquad v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

شعاع التسارع اللحظي: مشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن:

a⃗=dv⃗dt=d2r⃗dt2=d2xdt2 i⃗+d2ydt2 j⃗+d2zdt2 k⃗a=ax2+ay2+az2\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \dfrac{d^2x}{dt^2}\,\vec{i} + \dfrac{d^2y}{dt^2}\,\vec{j} + \dfrac{d^2z}{dt^2}\,\vec{k} \qquad a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

في التصوير المتعاقب (مواضع مسجلة خلال مجالات زمنية متساوية τ\tau) نحسب السرعة والتسارع في الموضع MiM_i بالعلاقتين:

vi=Mi−1Mi+12τai=vi+1−vi−12τv_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} \qquad a_i = \dfrac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\tau}
طبيعة حركة مستقيمة

إذا كان a⃗⋅v⃗>0\vec{a} \cdot \vec{v} > 0 فالحركة متسارعة، وإذا كان a⃗⋅v⃗<0\vec{a} \cdot \vec{v} < 0 فهي متباطئة، وإذا كان a⃗=0⃗\vec{a} = \vec{0} فهي منتظمة.

4. التسارع المماسي والتسارع الناظمي (معلم فريني)

لدراسة حركة منحنية، ولا سيما الدائرية، نستعمل معلم فريني (G,u⃗T,u⃗N)(G, \vec{u}_T, \vec{u}_N): معلم مرتبط بالمتحرك، يتكون من محورين متعامدين في موضعه، أحدهما مماسي للمسار في جهة الحركة، والآخر عمودي عليه (ناظمي) وموجه نحو مركز انحناء المسار.

معلم فريني: يتفكك التسارع إلى مركبة مماسية ومركبة ناظمية

a⃗=aT u⃗T+aN u⃗NaT=dvdtaN=v2r\vec{a} = a_T\,\vec{u}_T + a_N\,\vec{u}_N \qquad a_T = \dfrac{dv}{dt} \qquad a_N = \dfrac{v^2}{r}

حيث rr نصف قطر انحناء المسار. في حركة مستقيمة aN=0a_N = 0، وفي حركة دائرية منتظمة aT=0a_T = 0 فيكون التسارع ناظميا تماما.

5. القوانين الثلاثة لنيوتن

القانون الأول (مبدأ العطالة)

في معلم عطالي، تحافظ كل جملة ميكانيكية معزولة أو شبه معزولة على سكونها أو على حركتها المستقيمة المنتظمة ما لم تؤثر عليها قوة خارجية تغير حالتها الحركية:

∑F⃗ext=0⃗  ⟺  v⃗G=cte→\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v}_G = \overrightarrow{cte}
القانون الثاني (المبدأ الأساسي للتحريك)

في معلم عطالي، المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على جملة مادية يساوي في كل لحظة جداء كتلتها في شعاع تسارع مركز عطالتها:

∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G
القانون الثالث (مبدأ الفعلين المتبادلين)

إذا أثر جسم AA على جسم BB بقوة F⃗A/B\vec{F}_{A/B} فإن BB يؤثر في نفس اللحظة على AA بقوة F⃗B/A\vec{F}_{B/A}، لهما نفس الحامل ونفس الشدة وجهتان متعاكستان:

F⃗A/B=−F⃗B/A\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}

خطوات تطبيق القانون الثاني لنيوتن

1)

نحدد الجملة المدروسة.

2)

نختار المرجع ونعتبره عطاليا.

3)

نحصي القوى الخارجية ونمثلها.

4)

نكتب القانون الثاني شعاعيا، ثم نسقطه على محاور مناسبة.

5)

نستخرج عبارة التسارع، ثم نستنتج طبيعة الحركة ومعادلاتها الزمنية.

6. إثبات القانون الثاني لنيوتن تجريبيا

الإشكالية

كيف نتحقق تجريبيا من القانون الثاني لنيوتن؟

نشاط تجريبي

طاولة النضد الهوائي طاولة مزودة بمضخة هوائية، يطفو عليها الجسم فوق طبقة رقيقة من الهواء فيصبح الاحتكاك مهملا.

يتحرك عليها جسم صلب (S)(S) كتلته m=700 gm = 700\ g تحت تأثير قوة شد خيط ثابتة F=0,40 NF = 0{,}40\ N حاملها منطبق على منحى الحركة.

نسجل مواضع مركز عطالته خلال مجالات زمنية متساوية ومتعاقبة τ=200 ms\tau = 200\ ms.

الشكل 1: طاولة النضد الهوائي

الشكل 1: (1) الجسم الصلب (2) طاولة النضد الهوائي (3) بكرة (4) كتلة معلقة (5) مضخة هوائية

التسجيل المتعاقب للمواضع1 cm → 0,057 m
جهة الحركةM0M1M2M3M4M5M6M7M8
كل مربع كبير يمثل 1 cm على الورق. مرّر الفأرة أو المس نقطة لقراءة موضعها.
الأسئلة
1)

أكمل الجدول بقياس المسافات على التسجيل (سلم الرسم 1 cm↔0,057 m1\ cm \leftrightarrow 0{,}057\ m)، ثم بحساب السرعات والتسارعات اللحظية بالعلاقتين vi=Mi−1Mi+12τv_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} و ai=vi+1−vi−12τa_i = \dfrac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\tau}:

الموضعM1M_1M2M_2M3M_3M4M_4M5M_5
Mi−1Mi+1 (cm)M_{i-1}M_{i+1}\ (cm)1,21{,}2
v (m/s)v\ (m/s)0,1710{,}1710,2850{,}2850,5130{,}513
a (m/s2)a\ (m/s^2)/0,570{,}57/
عرض الحل

في الموضع M3M_3

المسافة على الرسم M2M4=2,8 cmM_2M_4 = 2{,}8\ cm:

v3=M2M42τ=2,8×0,0572×0,2=0,399 m/sv_3 = \dfrac{M_2M_4}{2\tau} = \dfrac{2{,}8 \times 0{,}057}{2 \times 0{,}2} = 0{,}399\ m/s

في الموضع M5M_5

المسافة على الرسم M4M6=4,4 cmM_4M_6 = 4{,}4\ cm:

v5=4,4×0,0572×0,2=0,627 m/sv_5 = \dfrac{4{,}4 \times 0{,}057}{2 \times 0{,}2} = 0{,}627\ m/s

في الموضع M2M_2

a2=v3−v12τ=0,399−0,1710,4=0,57 m/s2a_2 = \dfrac{v_3 - v_1}{2\tau} = \dfrac{0{,}399 - 0{,}171}{0{,}4} = 0{,}57\ m/s^2

في الموضع M4M_4

a4=v5−v32τ=0,627−0,3990,4=0,57 m/s2a_4 = \dfrac{v_5 - v_3}{2\tau} = \dfrac{0{,}627 - 0{,}399}{0{,}4} = 0{,}57\ m/s^2
2)

استنتج طبيعة حركة مركز عطالة الجسم.

عرض الحل

المسار مستقيم والتسارع ثابت، وشعاعا السرعة والتسارع في نفس الجهة (v⃗⋅a⃗>0\vec{v} \cdot \vec{a} > 0): الحركة مستقيمة متسارعة بانتظام.

3)

مثّل القوى المؤثرة على الجسم، ثم استنتج عبارة مجموعها ∑F⃗ext\sum \vec{F}_{ext}.

عرض الحل

الثقل P⃗\vec{P} ورد فعل الطاولة R⃗\vec{R} وقوة شد الخيط F⃗\vec{F}. الثقل ورد الفعل متعاكسان ولهما نفس الشدة، إذن ∑F⃗ext=P⃗+R⃗+F⃗=F⃗\sum \vec{F}_{ext} = \vec{P} + \vec{R} + \vec{F} = \vec{F}.

4)

بيّن بالتحليل البعدي أن النسبة Fa\dfrac{F}{a} تقدر بالكيلوغرام، ثم احسبها وقارنها بكتلة الجسم.

النسبة: Fa=\dfrac{F}{a} = kgkg

عرض الحل

[Fa]=M⋅L⋅T−2L⋅T−2=M\left[\dfrac{F}{a}\right] = \dfrac{M \cdot L \cdot T^{-2}}{L \cdot T^{-2}} = M، و:

Fa=0,400,57≈0,70 kg=m\dfrac{F}{a} = \dfrac{0{,}40}{0{,}57} \approx 0{,}70\ kg = m
الاستنتاج

F=m aF = m\,a، وبما أن لشعاع المحصلة ولشعاع التسارع نفس الحامل ونفس الجهة:

∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G

وهو نص القانون الثاني لنيوتن: في معلم عطالي، المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على جملة مادية يساوي جداء كتلتها في شعاع تسارع مركز عطالتها.

تعاريف مهمة

الجملة الميكانيكية

جسم أو جزء من جسم أو مجموعة أجسام نختارها للدراسة، ويحددها الوسط الخارجي الذي يؤثر عليها بقوى خارجية.

النقطة المادية

جسم أبعاده مهملة أمام المسافات التي يقطعها، نرفق به نقطة هندسية (مركز عطالته) تتمركز فيها كامل كتلته.

مركز العطالة

نقطة من الجسم المعزول أو شبه المعزول تكون ساكنة أو في حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمرجع عطالي، ونرمز لها بـ GG.

المرجع

جسم صلب غير قابل للتشوه تنسب إليه الحركة والسكون، ونرفق به معلما للفضاء ومعلما للزمن.

المرجع العطالي (الغاليلي)

مرجع يتحقق فيه مبدأ العطالة. كل مرجع في حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمرجع عطالي هو أيضا عطالي.

شعاع السرعة اللحظية

مشتق شعاع الموضع بالنسبة للزمن: v⃗=dOM→dt\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}، مماسي للمسار وفي جهة الحركة، وحدته m/sm/s.

شعاع التسارع اللحظي

مشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن: a⃗=dv⃗dt\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}، وحدته m/s2m/s^2.

معلم فريني

معلم مرتبط بالمتحرك، محوره الأول مماسي للمسار في جهة الحركة (u⃗T\vec{u}_T) والثاني ناظمي نحو مركز الانحناء (u⃗N\vec{u}_N).

القوانين

قانون : القانون الأول لنيوتن (مبدأ العطالة)
∑F⃗ext=0⃗  ⟺  v⃗G=cte→\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v}_G = \overrightarrow{cte}

في معلم عطالي: سكون أو حركة مستقيمة منتظمة.

قانون : القانون الثاني لنيوتن
∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G

في معلم عطالي، والكتلة بـ kgkg والتسارع بـ m/s2m/s^2.

قانون : القانون الثالث لنيوتن
F⃗A/B=−F⃗B/A\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}

القوتان لهما نفس الحامل ونفس الشدة وجهتان متعاكستان.

العلاقات الأساسية

شعاع الموضع
OM→=x i⃗+y j⃗+z k⃗\overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}

وطويلته x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

شعاع السرعة
v⃗=dOM→dt\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

مركباته dxdt\dfrac{dx}{dt} و dydt\dfrac{dy}{dt} و dzdt\dfrac{dz}{dt}.

شعاع التسارع
a⃗=dv⃗dt=d2OM→dt2\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}

بـ m/s2m/s^2.

السرعة في التصوير المتعاقب
vi=Mi−1Mi+12τv_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}

مع سلم الرسم.

التسارع في التصوير المتعاقب
ai=vi+1−vi−12τa_i = \dfrac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\tau}

بـ m/s2m/s^2.

التسارع المماسي
aT=dvdta_T = \dfrac{dv}{dt}

ينعدم في الحركة المنتظمة.

التسارع الناظمي
aN=v2ra_N = \dfrac{v^2}{r}

ينعدم في الحركة المستقيمة.

القانون الثاني لنيوتن
∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G

في معلم عطالي.

تذكّر

المرجع العطالي هو الذي يتحقق فيه مبدأ العطالة، ونستعمل المرجع الهيليومركزي للكواكب، والجيومركزي للأقمار، والسطحي الأرضي للحركات القريبة من الأرض. شعاع السرعة مشتق شعاع الموضع v⃗=dOM→dt\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}، وشعاع التسارع مشتق شعاع السرعة a⃗=dv⃗dt\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}. في معلم فريني aT=dvdta_T = \dfrac{dv}{dt} و aN=v2ra_N = \dfrac{v^2}{r}. القانون الأول: ∑F⃗ext=0⃗\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} يعني سكونا أو حركة مستقيمة منتظمة. القانون الثاني: ∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G. القانون الثالث: F⃗A/B=−F⃗B/A\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}. الحركة المستقيمة متسارعة إذا كان a⃗⋅v⃗>0\vec{a} \cdot \vec{v} > 0 ومتباطئة إذا كان a⃗⋅v⃗<0\vec{a} \cdot \vec{v} < 0.

انتبه

أخطاء تتكرر: نسيان تحويل الكتلة من gg إلى kgkg؛ الخلط بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية؛ أخذ MiMi+1M_iM_{i+1} بدل Mi−1Mi+1M_{i-1}M_{i+1} في التصوير المتعاقب؛ نسيان سلم الرسم؛ تطبيق القانون الثاني دون ذكر الجملة والمرجع؛ نسيان أن القوتين في القانون الثالث تؤثران على جسمين مختلفين فلا تتلاشيان.

سجل الدخول لتتبع تقدمكالتالي: التطبيقات