إنشاء حساب
منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثالثة ثانوي · تطور جملة ميكانيكية

حركة قذيفة بسرعة ابتدائية غير شاقولية

150 دقيقةمتوسط

تخيل كرة قدم تُركل بسرعة ابتدائية v0v_0 تصنع زاوية α\alpha مع الأفق: ترسم مسارا منحنيا يتغير فيه شعاع السرعة باستمرار. ندرس في هذا الدرس حركة القذيفة في حقل الجاذبية الأرضية بإهمال مقاومة الهواء ودافعة أرخميدس: نطبق القانون الثاني لنيوتن، ونستخرج المعادلات الزمنية ومعادلة المسار، ونحسب إحداثيات الذروة والمدى، ثم نطبق مبدأ انحفاظ الطاقة.

الهدف:
  • تطبيق القانون الثاني لنيوتن على قذيفة وتحديد طبيعة حركتها على كل محور
  • كتابة المعادلات الزمنية للسرعة والموضع انطلاقا من الشروط الابتدائية
  • استخراج معادلة المسار y=f(x)y = f(x) والتعرف على القطع المكافئ
  • حساب إحداثيات الذروة والمدى وزمن بلوغهما
  • تطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (قذيفة + أرض)

1. تمهيد

حركة القذيفة هي حركة جسم مقذوف بسرعة ابتدائية v⃗0\vec{v}_0 تصنع زاوية α\alpha مع الأفق. يتحرك الجسم على مسار منحن، لأن الجاذبية تؤثر على الأجسام المتحركة في مجالها بتسارع شاقولي نحو الأسفل. لتبسيط الدراسة نهمل مقاومة الهواء ودافعة أرخميدس أمام الثقل.

مسار قذيفة: الذروة F والمدى P

2. دراسة الحركة

  • الجملة المدروسة: القذيفة (الكرة).
  • المرجع: سطحي أرضي مزود بمعلم مستو (O,x,y)(O, x, y) نعتبره عطاليا.
  • القوى: الثقل P⃗\vec{P} فقط.

الشروط الابتدائية عند t=0t = 0:

OG0→{x0=0y0=0v⃗0{v0x=v0cos⁡αv0y=v0sin⁡α\overrightarrow{OG_0} \begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 = 0 \end{cases} \qquad \vec{v}_0 \begin{cases} v_{0x} = v_0\cos\alpha \\ v_{0y} = v_0\sin\alpha \end{cases}

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:

P⃗=m a⃗⇒m g⃗=m a⃗⇒a⃗=g⃗\vec{P} = m\,\vec{a} \quad \Rightarrow \quad m\,\vec{g} = m\,\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{a} = \vec{g}

وبالإسقاط على المحورين: ax=0a_x = 0 و ay=−ga_y = -g.

  • على المحور (Ox)(Ox): ax=0a_x = 0، حركة مستقيمة منتظمة.
  • على المحور (Oy)(Oy): ay=−ga_y = -g ثابت، حركة مستقيمة متغيرة بانتظام.

3. المعادلات الزمنية

المحورالتسارعالسرعةالموضع
(Ox)(Ox)ax=0a_x = 0vx(t)=v0cos⁡αv_x(t) = v_0\cos\alphax(t)=v0cos⁡α⋅tx(t) = v_0\cos\alpha \cdot t
(Oy)(Oy)ay=−ga_y = -gvy(t)=−g t+v0sin⁡αv_y(t) = -g\,t + v_0\sin\alphay(t)=−12 g t2+v0sin⁡α⋅ty(t) = -\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha \cdot t

وسرعة القذيفة في موضع MM: vM=vx2+vy2v_M = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.

تنبيه

تختلف الشروط الابتدائية حسب وضعية القذف (من ارتفاع y0≠0y_0 \neq 0، أو قذف أفقي α=0\alpha = 0...)، فيجب دائما كتابتها قبل التكامل.

4. معادلة المسار

نحذف الزمن بين المعادلتين الزمنيتين: من x=v0cos⁡α⋅tx = v_0\cos\alpha \cdot t نجد t=xv0cos⁡αt = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}، وبالتعويض في y(t)y(t):

y=−g2 v02cos⁡2α x2+tan⁡α⋅xy = -\dfrac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha \cdot x

وهي من الشكل y=A x2+B xy = A\,x^2 + B\,x: المسار قطع مكافئ.

5. الذروة والمدى

الذروة FF

أعلى نقطة يبلغها مركز عطالة القذيفة. عندها تنعدم المركبة الشاقولية للسرعة vy(tF)=0v_y(t_F) = 0:

tF=v0sin⁡αgt_F = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}

وبالتعويض في المعادلتين الزمنيتين:

xF=v02sin⁡2α2 gyF=v02sin⁡2α2 gx_F = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{2\,g} \qquad y_F = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2\,g}

وسرعة القذيفة عند الذروة أفقية: vF=v0cos⁡αv_F = v_0\cos\alpha.

المدى PP

المسافة الأفقية بين نقطة القذف OO ونقطة السقوط PP على نفس المستوي الأفقي (yP=0y_P = 0). من معادلة المسار:

−g2 v02cos⁡2α xP2+tan⁡α⋅xP=0-\dfrac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x_P^2 + \tan\alpha \cdot x_P = 0

لهذه المعادلة حلان: x=0x = 0 (نقطة القذف) و:

xP=v02sin⁡2αgtP=2 v0sin⁡αgx_P = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} \qquad t_P = \dfrac{2\,v_0\sin\alpha}{g}
ملاحظات (القذف والسقوط على نفس المستوي)
  • يكون المدى أعظميا عندما sin⁡2α=1\sin 2\alpha = 1 أي α=45∘\alpha = 45^{\circ}.
  • xP=2 xFx_P = 2\,x_F و tP=2 tFt_P = 2\,t_F: المسار متناظر بالنسبة للمستقيم الشاقولي المار بالذروة.
  • زاويتان متتامتان (مثل 30∘30^{\circ} و 60∘60^{\circ}) تعطيان نفس المدى.
  • كلما كانت v0v_0 أكبر، كانت الذروة أعلى والمدى أكبر.
الأسئلة

تقذف كرة من سطح الأرض بسرعة v0=20 m/sv_0 = 20\ m/s تصنع زاوية α=30∘\alpha = 30^{\circ} مع الأفق (g=10 m/s2g = 10\ m/s^2، نهمل تأثير الهواء).

1)

احسب لحظة بلوغ الذروة tFt_F وارتفاعها yFy_F.

المقدارtF (s)t_F\ (s)yF (m)y_F\ (m)
القيمة
عرض الحل
tF=v0sin⁡αg=20×0,510=1 syF=v02sin⁡2α2 g=400×0,2520=5 mt_F = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g} = \dfrac{20 \times 0{,}5}{10} = 1\ s \qquad y_F = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2\,g} = \dfrac{400 \times 0{,}25}{20} = 5\ m
2)

احسب المدى xPx_P.

xP=x_P = mm

عرض الحل
xP=v02sin⁡2αg=400×sin⁡60∘10≈34,6 mx_P = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} = \dfrac{400 \times \sin 60^{\circ}}{10} \approx 34{,}6\ m

6. الدراسة الطاقوية: الجملة (قذيفة + أرض)

الطاقة الحركية Ec=12 m v2E_c = \dfrac{1}{2}\,m\,v^2، والطاقة الكامنة الثقالية Epp=m g hE_{pp} = m\,g\,h (المرجع عند مستوي القذف). بإهمال الاحتكاك، الطاقة الكلية للجملة محفوظة:

ET=Ec+Epp=12 m v02=cteE_T = E_c + E_{pp} = \dfrac{1}{2}\,m\,v_0^2 = cte
  • عند القذف: EcE_c أعظمية و Epp=0E_{pp} = 0.
  • عند الذروة: Epp=m g yFE_{pp} = m\,g\,y_F أعظمية، و Ec=12 m v02cos⁡2αE_c = \dfrac{1}{2}\,m\,v_0^2\cos^2\alpha أصغرية (لا تنعدم).
  • في موضع كيفي MM على ارتفاع hMh_M: 12 m v02=12 m vM2+m g hM\dfrac{1}{2}\,m\,v_0^2 = \dfrac{1}{2}\,m\,v_M^2 + m\,g\,h_M، ومنه:
vM=v02−2 g hMv_M = \sqrt{v_0^2 - 2\,g\,h_M}

ومنه أيضا ارتفاع الذروة: 12 m v02=12 m v02cos⁡2α+m g yF\dfrac{1}{2}\,m\,v_0^2 = \dfrac{1}{2}\,m\,v_0^2\cos^2\alpha + m\,g\,y_F، فنجد yF=v02sin⁡2α2 gy_F = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2\,g}.

تعاريف مهمة

القذيفة

جسم مقذوف بسرعة ابتدائية غير شاقولية، خاضع لثقله فقط بإهمال تأثير الهواء.

معادلة المسار

العلاقة y=f(x)y = f(x) بين إحداثيتي المتحرك، نحصل عليها بحذف الزمن بين المعادلتين الزمنيتين.

الذروة

أعلى نقطة يبلغها مركز عطالة القذيفة، تنعدم عندها المركبة الشاقولية للسرعة.

المدى

المسافة الأفقية بين نقطة القذف ونقطة السقوط على نفس المستوي الأفقي.

القطع المكافئ

منحنى معادلته من الشكل y=A x2+B x+Cy = A\,x^2 + B\,x + C، وهو شكل مسار القذيفة.

القوانين

قانون : تسارع القذيفة
a⃗=g⃗\vec{a} = \vec{g}

بإهمال تأثير الهواء: ax=0a_x = 0 و ay=−ga_y = -g.

قانون : معادلة المسار
y=−g2 v02cos⁡2α x2+tan⁡α⋅xy = -\dfrac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha \cdot x

قطع مكافئ، مع قذف من المبدأ.

قانون : انحفاظ الطاقة
12 m v02=12 m vM2+m g hM\dfrac{1}{2}\,m\,v_0^2 = \dfrac{1}{2}\,m\,v_M^2 + m\,g\,h_M

للجملة (قذيفة + أرض) بدون احتكاك.

العلاقات الأساسية

السرعة الأفقية
vx=v0cos⁡αv_x = v_0\cos\alpha

ثابتة.

السرعة الشاقولية
vy=−g t+v0sin⁡αv_y = -g\,t + v_0\sin\alpha

تنعدم عند الذروة.

الفاصلة
x(t)=v0cos⁡α⋅tx(t) = v_0\cos\alpha \cdot t

بالمتر.

الترتيبة
y(t)=−12 g t2+v0sin⁡α⋅ty(t) = -\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha \cdot t

بالمتر.

زمن بلوغ الذروة
tF=v0sin⁡αgt_F = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}

بالثانية.

ارتفاع الذروة
yF=v02sin⁡2α2 gy_F = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2\,g}

بالمتر.

المدى
xP=v02sin⁡2αgx_P = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}

أعظمي عند α=45∘\alpha = 45^{\circ}.

السرعة في موضع كيفي
vM=v02−2 g hMv_M = \sqrt{v_0^2 - 2\,g\,h_M}

من انحفاظ الطاقة.

تذكّر

بإهمال تأثير الهواء، تخضع القذيفة لثقلها فقط: a⃗=g⃗\vec{a} = \vec{g}. على (Ox)(Ox): ax=0a_x = 0، حركة منتظمة، x=v0cos⁡α⋅tx = v_0\cos\alpha \cdot t. على (Oy)(Oy): ay=−ga_y = -g، حركة متغيرة بانتظام، y=−12 g t2+v0sin⁡α⋅ty = -\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha \cdot t. المسار قطع مكافئ y=−g2 v02cos⁡2α x2+tan⁡α⋅xy = -\dfrac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha \cdot x. الذروة: tF=v0sin⁡αgt_F = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g} و yF=v02sin⁡2α2gy_F = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}. المدى: xP=v02sin⁡2αgx_P = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}، أعظمي عند 45∘45^{\circ}. الطاقة الكلية للجملة (قذيفة + أرض) محفوظة: vM=v02−2 g hMv_M = \sqrt{v_0^2 - 2\,g\,h_M}.

انتبه

أخطاء تتكرر: نسيان كتابة الشروط الابتدائية قبل التكامل؛ وضع sin⁡\sin في المركبة الأفقية و cos⁡\cos في الشاقولية؛ القول إن السرعة تنعدم عند الذروة (المركبة الشاقولية فقط تنعدم)؛ استعمال علاقة المدى عندما لا يكون السقوط على مستوي القذف؛ الحاسبة على الراديان بدل الدرجات.

سجل الدخول لتتبع تقدمكالتالي: التطبيقات