منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثالثة ثانوي · تطور جملة ميكانيكية

حركة الكواكب والأقمار الاصطناعية

240 دقيقةمتوسط

كيف تدور الأرض حول الشمس ويدور القمر الاصطناعي حول الأرض دون أن يسقط؟ ندرس في هذا الدرس قوانين كبلر الثلاثة، وخصائص الحركة الدائرية المنتظمة، وقانون الجذب العام، ثم نطبق القانون الثاني لنيوتن على كوكب وعلى قمر اصطناعي لنستخرج التسارع والسرعة المدارية والدور، ونتعرف على القمر الجيومستقر.

الهدف:

كتابة قوانين كبلر الثلاثة وتفسيرها
تذكر خصائص الحركة الدائرية المنتظمة: السرعة والتسارع الناظمي والدور والسرعة الزاوية
كتابة قانون الجذب العام وتمثيل قوة الجذب
إيجاد عبارات التسارع والسرعة المدارية والدور لكوكب أو قمر اصطناعي بتطبيق القانون الثاني لنيوتن
استنتاج ثابت كبلر $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G M}$ وتعيين خصائص القمر الجيومستقر

1. القوانين الثلاثة لكبلر

توصل كبلر، بعد تحليل أرصاد زميله تايكو براهي لحركة كوكب المريخ، إلى أن مدارات الكواكب حول الشمس إهليلجية لا دائرية، وأن سرعتها ليست ثابتة، ووضع ثلاثة قوانين.

القانون الأول لكبلر: قانون المدارات

تتحرك الكواكب في مدارات إهليلجية (قطع ناقص) تشغل الشمس أحد محرقيها.

القانون الأول لكبلر: المدار إهليلجي والشمس في أحد محرقيه

الإهليلج منحن مغلق يكون فيه مجموع بعدي كل نقطة منه عن المحرقين $F_1$ و $F_2$ ثابتا. طول المحور الكبير $AA' = 2a$ وطول المحور الصغير $2b$ .

القانون الثاني لكبلر: قانون المساحات

المستقيم الذي يربط الشمس بالكوكب يمسح مساحات متساوية خلال مجالات زمنية متساوية.

القانون الثاني لكبلر: مساحات متساوية في أزمنة متساوية

نتيجة

تكون سرعة الكوكب أعظمية عند الحضيض (أقرب نقطة من الشمس)، وأصغرية عند الأوج (أبعد نقطة).

القانون الثالث لكبلر: قانون الأدوار

مربع دور الكوكب يتناسب طردا مع مكعب نصف المحور الكبير لمداره:

\dfrac{T^2}{a^3} = K

حيث $T$ بالثانية و $a$ بالمتر، و $K$ ثابت لا يتعلق بالكوكب بل بالجسم المركزي (الشمس). في حالة مدار دائري نصف قطره $r$ : $\dfrac{T^2}{r^3} = K$ .

2. الحركة الدائرية المنتظمة

تكون حركة جملة دائرية منتظمة إذا كان مسارها دائريا وقيمة سرعتها ثابتة، بينما يتغير اتجاه شعاع السرعة في كل لحظة.

المسار: دائري نصف قطره $r$ .
شعاع السرعة: مماسي للمسار، ثابت القيمة: $\vec{v} = v\,\vec{u}_T$ .
التسارع: $a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0$ ، فالتسارع ناظمي فقط، موجه نحو مركز المسار، وقيمته ثابتة:

a = a_N = \dfrac{v^2}{r}

القوة: حسب القانون الثاني لنيوتن، مجموع القوى $m\,\vec{a}$ يكون أيضا ناظميا مركزيا.
الدور: المدة اللازمة لإنجاز دورة كاملة، يقطع فيها المتحرك محيط الدائرة $2\pi r$ :

T = \dfrac{2\pi r}{v}

السرعة الزاوية: الزاوية الممسوحة بالراديان في وحدة الزمن: $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T}$ ، وتربطها بالسرعة الخطية العلاقة $v = \omega\,r$ .

3. قانون الجذب العام

قانون الجذب العام

جسمان نقطيان (أو كرويان متجانسان) كتلتاهما $m_A$ و $m_B$ ، والمسافة بين مركزيهما $r$ ، يتجاذبان بقوتين متعاكستين لهما نفس الحامل ونفس الشدة:

F_{A/B} = F_{B/A} = G\,\dfrac{m_A\,m_B}{r^2}

حيث $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$ ثابت الجذب العام. الشدة تتناسب طردا مع جداء الكتلتين وعكسا مع مربع المسافة.

4. حركة كوكب حول الشمس

نعتبر كوكبا $P$ كتلته $m$ في مدار دائري نصف قطره $r$ حول الشمس $S$ التي كتلتها $M_S$ .

المرجع: هيليومركزي نعتبره عطاليا.
الجملة: الكوكب.
القوة: قوة الجذب العام $\vec{F}_{S/P} = G\,\dfrac{m\,M_S}{r^2}\,\vec{n}$ حيث $\vec{n}$ شعاع وحدة موجه نحو مركز الشمس.

التسارع: بتطبيق القانون الثاني لنيوتن $\vec{F}_{S/P} = m\,\vec{a}$ ، وبالإسقاط على المحور الناظمي:

G\,\dfrac{m\,M_S}{r^2} = m\,a_N \quad \Rightarrow \quad a = a_N = \dfrac{G\,M_S}{r^2}

التسارع ناظمي وقيمته ثابتة، إذن $a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0$ : الحركة دائرية منتظمة.

السرعة المدارية: $a_N = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G\,M_S}{r^2}$ ، ومنه:

v = \sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r}}

الدور: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = 2\pi\,\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_S}}$ ، ومنه القانون الثالث لكبلر:

\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_S} = K

وحدة $K$ هي $s^2 \cdot m^{-3}$ .

استنتاجات

كتلة الكوكب لا تؤثر على سرعته المدارية ولا على دوره، وثابت كبلر يتعلق فقط بكتلة الجسم المركزي.

5. حركة قمر اصطناعي حول الأرض

قمر اصطناعي في مدار دائري حول الأرض

قمر اصطناعي $(S)$ كتلته $m$ يدور حول الأرض $(T)$ التي كتلتها $M_T$ ونصف قطرها $R_T$ ، على ارتفاع $h$ من سطحها، فيكون نصف قطر مداره $r = R_T + h$ .

المرجع: جيومركزي نعتبره عطاليا.
القوة: قوة الجذب العام $F_{T/S} = G\,\dfrac{m\,M_T}{(R_T + h)^2}$ .

بنفس الطريقة نجد:

a = \dfrac{G\,M_T}{(R_T + h)^2} \qquad v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T + h}} \qquad T = 2\pi\,\sqrt{\dfrac{(R_T + h)^3}{G\,M_T}}

ملاحظة

عند سطح الأرض $g_0 = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2}$ ، ومنه $G\,M_T = g_0\,R_T^2$ وهي علاقة مفيدة عندما لا تعطى كتلة الأرض.

6. القمر الجيومستقر

هو قمر اصطناعي يظهر ساكنا بالنسبة لملاحظ على سطح الأرض. يتميز بما يلي:

مداره دائري يقع في مستوي خط الاستواء.
يدور في نفس جهة دوران الأرض حول محورها (من الغرب إلى الشرق).
دوره يساوي دور الأرض حول محورها: $T = 24\ h$ .
ارتفاعه عن سطح الأرض حوالي $h \approx 36\,000\ km$ .

تستعمل الأقمار الجيومستقرة في الاتصالات والبث التلفزيوني والأرصاد الجوية، مثل القمر الجزائري ألكومسات 1.

الأسئلة

نعطي: $g_0 = 9{,}8\ m/s^2$ و $R_T = 6380\ km$ و $T = 24\ h$ .

بتطبيق القانون الثالث لكبلر مع $G\,M_T = g_0\,R_T^2$ ، احسب نصف قطر مدار القمر الجيومستقر.

$r =$ $km$

عرض الحل

r^3 = \dfrac{g_0\,R_T^2\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}8 \times (6{,}38 \times 10^{6})^2 \times (86400)^2}{4\pi^2} \approx 7{,}54 \times 10^{22}\ m^3

ومنه $r \approx 4{,}225 \times 10^{7}\ m = 42\,250\ km$ .

استنتج ارتفاعه $h$ عن سطح الأرض.

$h =$ $km$

عرض الحل

$h = r - R_T = 42\,250 - 6380 \approx 35\,870\ km$ ، وهو ما يوافق $h \approx 36\,000\ km$ .

احسب سرعته المدارية.

$v =$ $km/s$

عرض الحل

v = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi \times 4{,}225 \times 10^{7}}{86400} \approx 3{,}07 \times 10^{3}\ m/s

تعاريف مهمة

قانون كبلر الأول: قانون المدارات

تتحرك الكواكب في مدارات إهليلجية تشغل الشمس أحد محرقيها.

قانون كبلر الثاني: قانون المساحات

المستقيم الرابط بين الشمس والكوكب يمسح مساحات متساوية خلال مجالات زمنية متساوية، فالسرعة أعظمية عند الحضيض وأصغرية عند الأوج.

قانون كبلر الثالث: قانون الأدوار

مربع الدور يتناسب طردا مع مكعب نصف المحور الكبير: $\dfrac{T^2}{a^3} = K$ .

الحركة الدائرية المنتظمة

حركة مسارها دائري وقيمة سرعتها ثابتة، وتسارعها ناظمي مركزي $a_N = \dfrac{v^2}{r}$ .

الدور

المدة اللازمة لإنجاز دورة كاملة: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ بالثانية.

قانون الجذب العام

جسمان يتجاذبان بقوتين شدتهما $F = G\,\dfrac{m_A\,m_B}{r^2}$ مع $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ SI$ .

القمر الجيومستقر

قمر اصطناعي ساكن بالنسبة لسطح الأرض: مداره في مستوي خط الاستواء، يدور في جهة دوران الأرض، دوره $24\ h$ .

القوانين

قانون : قانون الجذب العام

F = G\,\dfrac{m_A\,m_B}{r^2}

القوة جاذبة، على حامل المستقيم الواصل بين المركزين.

قانون : القانون الثالث لكبلر

\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M} = K

$M$ كتلة الجسم المركزي، و $K$ بـ $s^2 \cdot m^{-3}$ .

العلاقات الأساسية

التسارع الناظمي

a_N = \dfrac{v^2}{r}

في الحركة الدائرية المنتظمة.

الدور

T = \dfrac{2\pi r}{v}

بالثانية.

السرعة الزاوية

\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{v}{r}

بـ $rad/s$ .

تسارع قمر اصطناعي

a = \dfrac{G\,M_T}{(R_T + h)^2}

ناظمي نحو مركز الأرض.

السرعة المدارية

v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T + h}}

لا تتعلق بكتلة القمر.

دور القمر الاصطناعي

T = 2\pi\,\sqrt{\dfrac{(R_T + h)^3}{G\,M_T}}

بالثانية.

الجاذبية عند سطح الأرض

g_0 = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2}

ومنه $G\,M_T = g_0\,R_T^2$ .

تذكّر

قوانين كبلر: المدار إهليلجي والشمس في أحد محرقيه، والمساحات الممسوحة متساوية في أزمنة متساوية (سرعة أعظمية عند الحضيض)، و $\dfrac{T^2}{a^3} = K$ . في الحركة الدائرية المنتظمة $a_T = 0$ و $a = a_N = \dfrac{v^2}{r}$ و $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ . قانون الجذب العام $F = G\,\dfrac{m_A\,m_B}{r^2}$ . بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على قمر في مدار دائري نصف قطره $r = R_T + h$ : $a = \dfrac{G\,M_T}{r^2}$ و $v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$ و $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}$ . القمر الجيومستقر: مدار في مستوي خط الاستواء، نفس جهة دوران الأرض، $T = 24\ h$ ، $h \approx 36\,000\ km$ .

انتبه

أخطاء تتكرر: أخذ الارتفاع $h$ بدل نصف قطر المدار $r = R_T + h$ ؛ ترك المسافات بالكيلومتر؛ نسيان تحويل الدور إلى الثانية؛ الاعتقاد أن السرعة المدارية تتعلق بكتلة القمر؛ تمثيل قوة الجذب مماسية للمسار بدل أن تكون نحو مركز الأرض؛ الخلط بين الحضيض (أقرب نقطة، سرعة أعظمية) والأوج.

سجل الدخول لتتبع تقدمك التالي: التطبيقات