منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثالثة ثانوي · تطور جملة ميكانيكية

حركة السقوط الشاقولي لجسم صلب في الهواء

240 دقيقةمتوسط

لماذا تبلغ قطرة المطر أو المظلي سرعة حدية ثابتة؟ ندرس في هذا الدرس القوى المؤثرة على جسم يسقط في الهواء (الثقل، دافعة أرخميدس، قوة الاحتكاك)، ثم نستخرج بالقانون الثاني لنيوتن المعادلة التفاضلية للسرعة، ونحدد بيانيا السرعة الحدية والزمن المميز والتسارع الابتدائي، وننتهي بنموذج السقوط الحر ومعادلاته الزمنية.

الهدف:

إحصاء وتمثيل القوى المؤثرة على جسم صلب يسقط في الهواء
التمييز بين النظام الانتقالي والنظام الدائم على البيان $v = f(t)$
إيجاد المعادلة التفاضلية للسرعة بتطبيق القانون الثاني لنيوتن
تعيين السرعة الحدية والزمن المميز والتسارع الابتدائي بيانيا وحسابيا
كتابة المعادلات الزمنية للسقوط الحر وحل مسائل القذف الشاقولي

1. الإشكالية

الإشكالية

يقفز مظلي من طائرة، فتزداد سرعته في البداية ثم تستقر عند قيمة ثابتة حتى قبل فتح مظلته. ما طبيعة حركة جسم يسقط في الهواء؟ وما القوى التي تؤثر عليه أثناء سقوطه؟

2. سقوط بالونات في الهواء

نشاط تجريبي

نصور سقوط جسم معلق بأربع بالونات، كتلته الإجمالية $m = 20\ g$ ، ثم نعالج الشريط ببرمجية Avistep فنحصل على:

$t\ (s)$	$0$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}6$	$0{,}8$	$1$	$1{,}2$	$1{,}4$	$1{,}6$	$1{,}8$	$2$
$v\ (m/s)$	$0$	$1$	$1{,}3$	$1{,}5$	$1{,}64$	$1{,}75$	$1{,}85$	$1{,}92$	$1{,}97$	$2$	$2$

تطور سرعة البالونات بدلالة الزمن: المماس عند المبدأ والسرعة الحدية

نميز نظامين:

النظام الانتقالي: تزداد السرعة بسرعة في البداية ثم أقل فأقل مع مرور الزمن: الحركة مستقيمة متسارعة بغير انتظام.
النظام الدائم: تبلغ السرعة قيمة حدية $v_l$ ثابتة، فتصبح الحركة مستقيمة منتظمة.

الجملة: الجسم مع البالونات. المرجع: سطحي أرضي نعتبره عطاليا.

3. القوى المؤثرة على جسم يسقط في الهواء

القوة	تعريفها	الحامل والجهة	الشدة
الثقل $\vec{P}$	قوة جذب الأرض للجسم	شاقولي نحو الأسفل	$P = m\,g$
دافعة أرخميدس $\vec{\Pi}$	قوة يطبقها المائع (سائل أو غاز) على الجسم المغمور فيه	شاقولي نحو الأعلى	$\Pi = \rho_f\,V\,g$
قوة الاحتكاك $\vec{f}$	تنشأ من مقاومة الهواء للحركة وتزداد بزيادة السرعة	شاقولي عكس جهة الحركة	$f = k\,v$ للسرعات الصغيرة، $f = k'\,v^2$ للسرعات الكبيرة

حيث $\rho_f$ الكتلة الحجمية للمائع بـ $kg/m^3$ ، و $V$ حجم الجسم بـ $m^3$ ، و $k$ و $k'$ ثابتا الاحتكاك.

القوى المؤثرة على الجسم في مراحل السقوط الثلاث

عند $t = 0$ : $v = 0$ فالاحتكاك معدوم، و $P > \Pi$ فينطلق الجسم.
في النظام الانتقالي: يزداد $f$ مع السرعة، ويبقى $P > f + \Pi$ .
في النظام الدائم: $P = f + \Pi$ ، فمجموع القوى معدوم والسرعة ثابتة $v = v_l$ .

4. المعادلة التفاضلية للسرعة

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن $\vec{P} + \vec{\Pi} + \vec{f} = m\,\vec{a}$ ، وبالإسقاط على محور شاقولي $(Oz)$ موجه نحو الأسفل:

m\,g - \rho_f\,V\,g - f = m\,\dfrac{dv}{dt}

من أجل السرعات الصغيرة ( $f = k\,v$ )، وبما أن $\rho_s = \dfrac{m}{V}$ الكتلة الحجمية للجسم:

\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k}{m}\,v = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)

وهي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، حلها:

v(t) = v_l\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \tau = \dfrac{m}{k}

من أجل السرعات الكبيرة ( $f = k'\,v^2$ ):

\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k'}{m}\,v^2 = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)

(حلها خارج البرنامج).

5. المقادير المميزة للسقوط

السرعة الحدية $v_l$ : في النظام الدائم $\dfrac{dv}{dt} = 0$ :

v_l = \dfrac{m\,g}{k}\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right) \quad (f = k\,v) \qquad v_l = \sqrt{\dfrac{m\,g}{k'}\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)} \quad (f = k'\,v^2)

الزمن المميز $\tau$ : فاصلة نقطة تقاطع المماس للبيان عند $t = 0$ مع المستقيم المقارب الأفقي $v = v_l$ . عند $t = \tau$ تبلغ السرعة $63\ \%$ من $v_l$ ، ويعتبر النظام الدائم قد بلغ عند $t \approx 5\tau$ . ومن أجل $f = k\,v$ : $\tau = \dfrac{m}{k}$ .

التسارع الابتدائي $a_0$ : عند $t = 0$ يكون $v = 0$ فـ $f = 0$ :

a_0 = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right) = \left(\dfrac{dv}{dt}\right)_{t=0} = \dfrac{v_l}{\tau}

وهو ميل المماس عند المبدأ.

الأسئلة

تطبيق على البالونات ( $m = 20\ g$ و $g = 9{,}8\ m/s^2$ ):

اقرأ على البيان السرعة الحدية $v_l$ والزمن المميز $\tau$ .

المقدار	$v_l\ (m/s)$	$\tau\ (s)$
القيمة

عرض الحل

$v_l = 2\ m/s$ (المستقيم المقارب الأفقي)، و $\tau = 0{,}32\ s$ (فاصلة تقاطع المماس عند المبدأ مع المستقيم $v = v_l$ ).

احسب التسارع الابتدائي $a_0$ وثابت الاحتكاك $k$ .

المقدار	$a_0\ (m/s^2)$	$k\ (kg/s)$
القيمة

عرض الحل

a_0 = \dfrac{v_l}{\tau} = \dfrac{2}{0{,}32} = 6{,}25\ m/s^2 \qquad k = \dfrac{m}{\tau} = \dfrac{20 \times 10^{-3}}{0{,}32} = 0{,}0625\ kg/s

بما أن $a_0 = g - \dfrac{\Pi}{m}$ ، احسب شدة دافعة أرخميدس.

$\Pi =$ $N$

عرض الحل

\Pi = m\,(g - a_0) = 0{,}02 \times (9{,}8 - 6{,}25) \approx 0{,}071\ N

وحدة ثابت الاحتكاك: $[k] = \dfrac{[f]}{[v]} = \dfrac{M \cdot L \cdot T^{-2}}{L \cdot T^{-1}} = M \cdot T^{-1}$ أي $kg/s$ ، و $[k'] = \dfrac{[f]}{[v]^2} = M \cdot L^{-1}$ أي $kg/m$ .

6. نموذج السقوط الحر

الإشكالية

ماذا يحدث عند إهمال قوة الاحتكاك ودافعة أرخميدس؟

تعريف

نقول عن جسم إنه في سقوط حر إذا كان خاضعا لثقله فقط. يتحقق ذلك في الفراغ، أو بالتقريب في الهواء للأجسام الكثيفة والانسيابية على ارتفاعات صغيرة.

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن $\vec{P} = m\,\vec{a}$ ، وبالإسقاط على $(Oz)$ الموجه نحو الأسفل:

m\,g = m\,a \quad \Rightarrow \quad a = g

التسارع ثابت: الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام (متسارعة).

المعادلات الزمنية (بالتكامل):

معادلة التسارع	المعادلة الزمنية للسرعة	المعادلة الزمنية للموضع
$a = \dfrac{dv}{dt} = g$	$v(t) = g\,t + v_0$	$z(t) = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\,t + z_0$

إذا ترك الجسم من المبدأ دون سرعة ابتدائية ( $v_0 = 0$ و $z_0 = 0$ ): $v = g\,t$ و $z = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2$ .

العلاقة المستقلة عن الزمن بين موضعين $A$ و $B$ :

v_B^2 - v_A^2 = 2\,a\,(z_B - z_A)

القذف الشاقولي نحو الأعلى: إذا وجهنا المحور نحو الأعلى، فإن $a = -g$ ، والحركة متباطئة بانتظام عند الصعود ( $\vec{a} \cdot \vec{v} < 0$ ). الارتفاع الأعظمي $h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2\,g}$ يبلغ عند $t = \dfrac{v_0}{g}$ .

تعاريف مهمة

دافعة أرخميدس

قوة شاقولية نحو الأعلى يطبقها المائع على الجسم المغمور فيه، شدتها $\Pi = \rho_f\,V\,g$ .

قوة الاحتكاك مع الهواء

قوة معاكسة لجهة الحركة تزداد مع السرعة: $f = k\,v$ للسرعات الصغيرة و $f = k'\,v^2$ للسرعات الكبيرة.

النظام الانتقالي

المرحلة التي تتزايد فيها السرعة نحو قيمتها الحدية، والحركة متسارعة بغير انتظام.

النظام الدائم

المرحلة التي تبلغ فيها السرعة قيمتها الحدية $v_l$ ، ومجموع القوى معدوم والحركة مستقيمة منتظمة.

الزمن المميز

\tau

فاصلة تقاطع المماس عند المبدأ مع المستقيم $v = v_l$ ، وهو $\tau = \dfrac{m}{k}$ في حالة $f = k\,v$ .

السقوط الحر

حركة جسم خاضع لثقله فقط، تسارعها $a = g$ .

القوانين

قانون : المعادلة التفاضلية للسرعة (

f = k\,v

)

\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k}{m}\,v = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)

المحور شاقولي نحو الأسفل.

قانون : حل المعادلة التفاضلية

v(t) = v_l\left(1 - e^{-t/\tau}\right)

مع $\tau = \dfrac{m}{k}$ .

قانون : السقوط الحر

a = g

حركة مستقيمة متغيرة بانتظام.

العلاقات الأساسية

دافعة أرخميدس

\Pi = \rho_f\,V\,g

شاقولية نحو الأعلى.

السرعة الحدية (

f = k\,v

)

v_l = \dfrac{m\,g}{k}\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)

بـ $m/s$ .

السرعة الحدية (

f = k'\,v^2

)

v_l = \sqrt{\dfrac{m\,g}{k'}\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)}

بـ $m/s$ .

الزمن المميز

\tau = \dfrac{m}{k}

بالثانية.

التسارع الابتدائي

a_0 = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right) = \dfrac{v_l}{\tau}

ميل المماس عند المبدأ.

السرعة في السقوط الحر

v(t) = g\,t + v_0

المحور نحو الأسفل.

الموضع في السقوط الحر

z(t) = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\,t + z_0

بالمتر.

العلاقة المستقلة عن الزمن

v_B^2 - v_A^2 = 2\,a\,(z_B - z_A)

لحركة متغيرة بانتظام.

الارتفاع الأعظمي (قذف نحو الأعلى)

h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2\,g}

بدون احتكاك.

تذكّر

يخضع جسم يسقط في الهواء لثقله $P = m\,g$ ولدافعة أرخميدس $\Pi = \rho_f\,V\,g$ ولقوة احتكاك $f = k\,v$ أو $f = k'\,v^2$ . المعادلة التفاضلية (محور نحو الأسفل، $f = k\,v$ ): $\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k}{m}\,v = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right)$ ، وحلها $v = v_l\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ مع $\tau = \dfrac{m}{k}$ . في النظام الدائم $P = \Pi + f$ و $v = v_l$ . التسارع الابتدائي $a_0 = g\left(1 - \dfrac{\rho_f}{\rho_s}\right) = \dfrac{v_l}{\tau}$ . السقوط الحر: $a = g$ ، $v = g\,t + v_0$ ، $z = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\,t + z_0$ ، و $v_B^2 - v_A^2 = 2\,a\,(z_B - z_A)$ .

انتبه

أخطاء تتكرر: نسيان دافعة أرخميدس أو تمثيلها نحو الأسفل؛ تمثيل قوة الاحتكاك عند $t = 0$ رغم أن السرعة معدومة؛ الخلط بين الكتلة الحجمية للمائع $\rho_f$ وللجسم $\rho_s$ ؛ قراءة $\tau$ عند $v = v_l / 2$ بدل نقطة تقاطع المماس مع المقارب ( $63\ \%$ من $v_l$ )؛ نسيان الإشارة السالبة للتسارع عند القذف نحو الأعلى مع محور موجه نحو الأعلى.

سجل الدخول لتتبع تقدمك التالي: التطبيقات