منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثالثة ثانوي · تطور جملة ميكانيكية

الحركة على المستوي الأفقي والمستوي المائل

240 دقيقةمتوسط

جسم يُجر على طريق أفقي، وسيارة تنزل منحدرا، وعربة تصعد مستويا مائلا: في كل حالة نطبق القانون الثاني لنيوتن لنستخرج عبارة التسارع، ثم نستنتج طبيعة الحركة ومعادلاتها الزمنية، ونستعمل مبدأ انحفاظ الطاقة لحساب قوة الاحتكاك. ونختم بالجمل المعقدة (جسمان مربوطان بخيط يمر على بكرة). يضم الدرس خمسة تمارين محلولة بالتفصيل.

الهدف:

إحصاء وتمثيل القوى المؤثرة على جسم يتحرك على مستو أفقي أو مائل
إسقاط القانون الثاني لنيوتن على محورين مناسبين واستخراج عبارة التسارع
استنتاج طبيعة الحركة والمعادلات الزمنية للسرعة والموضع
استغلال بيان $v = f(t)$ لحساب التسارع والمسافة واستنتاج قوة الاحتكاك
تطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة لجملة على مسار أفقي أو مائل
دراسة حركة جملة جسمين مربوطين بخيط عديم الامتطاط

1. منهجية الدراسة

نحدد الجملة المدروسة (الجسم).

نختار مرجعا سطحيا أرضيا نعتبره عطاليا.

نحصي القوى الخارجية: الثقل $\vec{P}$ ورد الفعل $\vec{R}$ دائما، وقوة الجر $\vec{F}$ وقوة الاحتكاك $\vec{f}$ حسب معطيات التمرين.

نطبق القانون الثاني لنيوتن $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}$ .

نسقط على محور الحركة $(x'x)$ لإيجاد التسارع، وعلى المحور العمودي $(y'y)$ لإيجاد رد الفعل.

2. الحركة على مستو أفقي

جسم $(S)$ يُجر على مستو أفقي خشن بقوة $\vec{F}$ يصنع حاملها زاوية $\beta$ مع الأفق، ويخضع لقوة احتكاك $\vec{f}$ معاكسة للحركة.

القوى المؤثرة على جسم يتحرك على مستو أفقي

\vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m\,\vec{a}

على $(x'x)$ : $F\cos\beta - f = m\,a$ ، ومنه $a = \dfrac{F\cos\beta - f}{m}$ .
على $(y'y)$ : $R + F\sin\beta - m\,g = 0$ ، ومنه $R = m\,g - F\sin\beta$ .

التسارع ثابت: الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام، ومعادلاتها الزمنية (انطلاقا من السكون من المبدأ):

v(t) = a\,t \qquad x(t) = \dfrac{1}{2}\,a\,t^2

الحالة	عبارة التسارع
سطح أملس ( $f = 0$ )	$a = \dfrac{F\cos\beta}{m}$
قوة موازية للمسار ( $\beta = 0$ )	$a = \dfrac{F - f}{m}$
بدون قوة جر (سطح خشن)	$a = -\dfrac{f}{m}$ (حركة متباطئة)

3. الحركة على مستو مائل

مستو مائل بزاوية $\alpha$ عن الأفق. نختار المحور $(x'x)$ موازيا للمستوي في جهة الحركة، و $(y'y)$ عموديا عليه. مركبتا الثقل: $P_x = m\,g\sin\alpha$ على خط الميل الأعظم، و $P_y = m\,g\cos\alpha$ عموديا على المستوي.

القوى المؤثرة على جسم ينزل على مستو مائل خشن

	نزول الجسم (من $A$ إلى $B$ )	صعود الجسم بقوة جر $\vec{F}$ موازية للمستوي
الإسقاط على $(x'x)$	$m\,g\sin\alpha - f = m\,a$	$F - m\,g\sin\alpha - f = m\,a$
التسارع	$a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}$	$a = \dfrac{F - f}{m} - g\sin\alpha$
سطح أملس	$a = g\sin\alpha$	$a = \dfrac{F}{m} - g\sin\alpha$

وفي الحالتين، الإسقاط على $(y'y)$ يعطي $R = m\,g\cos\alpha$ (إذا كانت $\vec{F}$ موازية للمستوي).

جسم مقذوف نحو الأعلى على مستو مائل دون قوة جر: الثقل والاحتكاك كلاهما نحو أسفل المستوي، فـ $a = -\left(g\sin\alpha + \dfrac{f}{m}\right)$ والحركة متباطئة بانتظام حتى يتوقف الجسم.

4. سيارة لعبة على مستو مائل ثم أفقي

نشاط تجريبي

سيارة لعبة كتلتها $m = 100\ g$ تنطلق من السكون على طريق $AB$ مائل بزاوية $\alpha = 30^{\circ}$ ، وتخضع لقوة احتكاك ثابتة موازية للمسار ومعاكسة للحركة $f = 0{,}1\ N$ ( $g = 10\ m/s^2$ ).

ثم نجربها على مستو أفقي $BC$ : مرة يدفعها محرك كهربائي بقوة أفقية $\vec{F}$ بإهمال الاحتكاك، ومرة تصل إلى $B$ دون محرك وتتوقف بفعل الاحتكاك.

الأسئلة

النزول على المستوي المائل $AB$ : احسب تسارع السيارة، ثم استنتج طبيعة حركتها.

$a =$ $m/s^2$

عرض الحل

a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m} = 10 \times 0{,}5 - \dfrac{0{,}1}{0{,}1} = 4\ m/s^2

المسار مستقيم و $a$ ثابت: الحركة مستقيمة متسارعة بانتظام، و $v(t) = 4\,t$ و $x(t) = 2\,t^2$ .

المستوي الأفقي بإهمال الاحتكاك: تنطلق السيارة من السكون وتبلغ $v = 2\ m/s$ بعد $4\ s$ . احسب تسارعها والمسافة المقطوعة وشدة القوة $F$ .

المقدار	$a\ (m/s^2)$	$x\ (m)$	$F\ (N)$
القيمة

عرض الحل

a = \dfrac{v - v_0}{t} = \dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5\ m/s^2 \qquad x = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 4^2 = 4\ m \qquad F = m\,a = 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}05\ N

المستوي الأفقي بوجود الاحتكاك: تصل السيارة إلى $B$ بسرعة $v_B = 12\ m/s$ دون محرك، وتتوقف عند $C$ بعد $BC = 4\ m$ . احسب شدة قوة الاحتكاك.

$f =$ $N$

عرض الحل

بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة على الجملة (السيارة) بين $B$ و $C$ :

E_{cB} - f \cdot BC = E_{cC} = 0 \quad \Rightarrow \quad f = \dfrac{m\,v_B^2}{2\,BC} = \dfrac{0{,}1 \times 12^2}{2 \times 4} = 1{,}8\ N

5. حركة الجمل المعقدة

جسمان $(S_1)$ و $(S_2)$ كتلتاهما $m_1$ و $m_2$ ، مربوطان بخيط عديم الامتطاط ومهمل الكتلة يمر على بكرة مهملة الكتلة؛ $(S_1)$ على مستو (أفقي أو مائل بزاوية $\alpha$ ) ويخضع لقوة احتكاك $f$ ، و $(S_2)$ معلق شاقوليا.

نطبق القانون الثاني لنيوتن على كل جسم، ونسقط على محور حركته:

(S_1): \ T_1 - m_1\,g\sin\alpha - f = m_1\,a \qquad (S_2): \ m_2\,g - T_2 = m_2\,a

الخيط مهمل الكتلة وعديم الامتطاط فـ $T_1 = T_2$ ، وللجسمين نفس التسارع. بجمع المعادلتين:

a = \dfrac{g\,(m_2 - m_1\sin\alpha) - f}{m_1 + m_2}

وعلى مستو أفقي ( $\alpha = 0$ ): $a = \dfrac{m_2\,g - f}{m_1 + m_2}$ .

تعاريف مهمة

خط الميل الأعظم

المستقيم الموازي للمستوي المائل والعمودي على خطوطه الأفقية، وعليه يتحرك الجسم.

مركبتا الثقل على المستوي المائل

$P_x = m\,g\sin\alpha$ موازية للمستوي نحو الأسفل، و $P_y = m\,g\cos\alpha$ عمودية عليه.

قوة الاحتكاك

قوة موازية للمسار معاكسة لشعاع السرعة، تتغير جهتها إذا انعكست جهة الحركة.

الحركة المستقيمة المتغيرة بانتظام

حركة مسارها مستقيم وتسارعها ثابت، بيان سرعتها $v = f(t)$ مستقيم ميله التسارع.

الجملة المعقدة

جملة من عدة أجسام مربوطة بخيوط، نطبق القانون الثاني لنيوتن على كل جسم منها.

القوانين

قانون : جسم على مستو أفقي

a = \dfrac{F\cos\beta - f}{m}

$\beta$ زاوية قوة الجر مع الأفق.

قانون : نزول جسم على مستو مائل

a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}

بدون قوة جر.

قانون : جسم مقذوف نحو أعلى مستو مائل

a = -\left(g\sin\alpha + \dfrac{f}{m}\right)

المحور في جهة الصعود.

قانون : جملة جسمين وبكرة

a = \dfrac{g\,(m_2 - m_1\sin\alpha) - f}{m_1 + m_2}

$S_2$ معلق و $S_1$ على المستوي.

العلاقات الأساسية

التسارع من البيان

a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

ميل بيان $v = f(t)$ .

معادلة السرعة

v(t) = a\,t + v_0

حركة متغيرة بانتظام.

معادلة الموضع

x(t) = \dfrac{1}{2}\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0

حركة متغيرة بانتظام.

العلاقة المستقلة عن الزمن

v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0)

تفيد إذا لم يعط الزمن.

رد الفعل على المستوي المائل

R = m\,g\cos\alpha

إذا كانت كل القوى الأخرى موازية للمستوي.

قوة الاحتكاك من انحفاظ الطاقة

f = \dfrac{E_{cA} - E_{cB} \pm m\,g\,h}{AB}

إشارة $+$ عند النزول و $-$ عند الصعود.

تذكّر

نطبق القانون الثاني لنيوتن $\vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m\,\vec{a}$ ونسقط على محور الحركة. مستو أفقي: $a = \dfrac{F\cos\beta - f}{m}$ و $R = m\,g - F\sin\beta$ . نزول على مستو مائل: $a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}$ ، وصعود دون قوة جر: $a = -\left(g\sin\alpha + \dfrac{f}{m}\right)$ ، و $R = m\,g\cos\alpha$ . التسارع ثابت فالحركة مستقيمة متغيرة بانتظام: $v = a\,t + v_0$ و $x = \dfrac{1}{2}\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0$ . التسارع هو ميل بيان $v = f(t)$ ، والمسافة هي المساحة تحته. جسمان وبكرة: $a = \dfrac{g\,(m_2 - m_1\sin\alpha) - f}{m_1 + m_2}$ .

انتبه

أخطاء تتكرر: إسقاط الثقل كاملا على المستوي المائل بدل $m\,g\sin\alpha$ ؛ الخلط بين $\sin\alpha$ و $\cos\alpha$ ؛ نسيان أن قوة الاحتكاك تغير جهتها بين الصعود والنزول؛ أخذ $R = m\,g$ عندما تكون لقوة الجر مركبة عمودية؛ الخلط بين الإزاحة والمسافة المقطوعة عند رجوع الجسم؛ نسيان أن ميل $25\ \%$ يعطي $\tan\alpha = 0{,}25$ (ويقرب بـ $\sin\alpha$ للزوايا الصغيرة).

سجل الدخول لتتبع تقدمك التالي: التطبيقات