منصّة الأستاذ تبيب حكيم للفيزياءwww.tebibphysique.com

السنة الثالثة ثانوي

تطور جملة ميكانيكية

اقرأ نص التمرين وحاول حله بنفسك، ثم اعرض الحل المفصل لتتحقق من إجابتك.

السلسلة الرابعة: تمارين من أحداث فلكية حول حركة الكواكب والأقمار الاصطناعية

أربعة تمارين انطلاقا من أحداث فلكية حقيقية: موكب الكواكب (أوت 2024)، الاقتران الثلاثي «الوجه المبتسم» (أفريل 2025)، القمر الاصطناعي البحريني «المنذر» وأقمار المشتري، مع التصحيح المفصل.

التمرين1

موكب الكواكب

متوسط

قبل نحو ساعة من شروق الشمس يوم 28 أوت 2024، حدث مشهد فلكي نادر يسمى «موكب الكواكب»، وهو اصطفاف عدة كواكب على جانب واحد من الشمس في السماء. يضم هذا الموكب عادة خمسة كواكب على الأقل، لكنه ضم هذه المرة ستة كواكب هي: عطارد والمريخ والمشتري وزحل وأورانوس ونبتون، إضافة إلى القمر على شكل هلال، الشكل (1). كانت معظم هذه الكواكب مرئية بالعين المجردة، واستُعمل المقراب (التلسكوب) لرصد أورانوس ونبتون.

الشكل (1): موكب الكواكب

الجزء الأول

يمثل الشكل (2) مسار حركة كوكب $(P)$ من كواكب المجموعة الشمسية حول الشمس.

الشكل (2)

ما طبيعة مسار الكوكب حول الشمس الموضح في الشكل (2)؟ عرّفه.

تعرّف على العناصر المرقمة من (1) إلى (10) في الشكل (2).

ما هو القانون الذي يمكن استخلاصه من هذا الشكل؟ اذكر نصه.

الجزء الثاني

لتبسيط الدراسة نعتبر مسارات الكواكب حول الشمس دائرية، مركزها $O$ مركز الشمس ونصف قطرها $r$

ما هو المرجع المناسب لدراسة حركة كواكب المجموعة الشمسية؟ عرّفه.

ارسم شكلا لمدار الكوكب $(P)$ حول الشمس، ثم مثّل عليه شعاع قوة الجذب $\vec{F}_{S/P}$ المطبقة من طرف الشمس على الكوكب، وشعاع السرعة المدارية $\vec{v}$

اكتب العبارة الشعاعية للقوة $\vec{F}_{S/P}$ بدلالة $G$ و $M_S$ و $m_P$ و $r$ و $\vec{n}$ ، حيث $\vec{n}$ شعاع الوحدة الناظمي الموجه من الكوكب نحو مركز الشمس.

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، حدّد طبيعة حركة الكوكب.

الجزء الثالث

يعطي الجدول التالي مميزات حركة بعض الكواكب:

الكوكب	زحل $(Sa)$	أورانوس $(Ur)$	نبتون $(Ne)$
الدور $T\ (\mathrm{an})$	29,5		164,9
نصف قطر المدار $r\ (\mathrm{UA})$	9,54	19,23

بيّن أن القانون الثالث لكبلر يُكتب بالعلاقة:

\dfrac{T_{Sa}^2}{r_{Sa}^3} = \dfrac{T_{Ur}^2}{r_{Ur}^3} = \dfrac{T_{Ne}^2}{r_{Ne}^3} = k

أكمل الجدول.

استنتج كتلة الشمس $M_S$

المعطيات: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{SI}$ ؛ $1\ \mathrm{an} = 365\ \mathrm{j}$ ؛ الوحدة الفلكية: $1\ \mathrm{UA} = 1{,}5 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$

عرض الحل

الجزء الأول

المسار إهليلجي (قطع ناقص). الإهليلج هو مجموعة نقاط المستوي $M$ التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين $F$ و $F'$ (المحرقين) ثابتا:

MF + MF' = 2a

حيث $2a$ طول المحور الكبير.

العناصر المرقمة:

الرقم	العنصر
(1)	المحور الصغير للإهليلج $(2b)$
(2)	الحضيض: أقرب نقطة من المسار إلى الشمس
(3)	الشمس
(4)	المحرق الثاني $F'$ للإهليلج
(5)	المحرق $F$ الذي تشغله الشمس (مركز الشمس)
(6)	الكوكب $(P)$
(7)	الأوج: أبعد نقطة من المسار عن الشمس
(8)	أصغر بعد بين الكوكب والشمس (مسافة الحضيض) $a - c$
(9)	أكبر بعد بين الكوكب والشمس (مسافة الأوج) $a + c$
(10)	المحور الكبير للإهليلج $(2a)$

القانون الأول لكبلر (قانون المدارات): يتحرك كل كوكب حول الشمس وفق مسار إهليلجي تشغل الشمس أحد محرقيه.

الجزء الثاني

المرجع الهيليومركزي (المرجع الشمسي): مبدؤه مركز الشمس، ومحاوره الثلاثة موجهة نحو ثلاثة نجوم بعيدة نعتبرها ثابتة، ونعتبره عطاليا.

القوة موجهة من الكوكب نحو مركز الشمس، وشعاع السرعة مماسي للمسار في جهة الحركة:

القوة والسرعة على المدار

$\vec{F}_{S/P} = G\,\dfrac{m_P\,M_S}{r^2}\,\vec{n}$

الجملة: الكوكب، في المرجع الهيليومركزي. القوة الوحيدة هي $\vec{F}_{S/P}$ :

\vec{F}_{S/P} = m_P\,\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = G\,\dfrac{M_S}{r^2}\,\vec{n}

التسارع ناظمي (مركزي)، فمركبته المماسية معدومة: $a_t = \dfrac{dv}{dt} = 0$ ، إذن السرعة ثابتة. والمسار دائري، فحركة الكوكب دائرية منتظمة، ومن $a = \dfrac{v^2}{r}$ نجد:

v = \sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r}}

الجزء الثالث

الدور هو مدة دورة كاملة: $T = \dfrac{2\pi \,r}{v}$ ، ومنه $T^2 = \dfrac{4\pi ^2\,r^2}{v^2} = \dfrac{4\pi ^2\,r^2}{\dfrac{G\,M_S}{r}}$ أي:

\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi ^2}{G\,M_S}

هذه النسبة لا تتعلق إلا بكتلة الشمس، فهي نفسها لكل الكواكب:

\dfrac{T_{Sa}^2}{r_{Sa}^3} = \dfrac{T_{Ur}^2}{r_{Ur}^3} = \dfrac{T_{Ne}^2}{r_{Ne}^3} = k

من معطيات زحل:

k = \dfrac{T_{Sa}^2}{r_{Sa}^3} = \dfrac{(29{,}5)^2}{(9{,}54)^3} = \dfrac{870{,}25}{868{,}25} = 1{,}002\ \mathrm{an^2\cdot UA^{-3}}

T_{Ur} = \sqrt{k\,r_{Ur}^3} = \sqrt{1{,}002 \times (19{,}23)^3} = 84{,}4\ \mathrm{an}

r_{Ne}^3 = \dfrac{T_{Ne}^2}{k} = \dfrac{(164{,}9)^2}{1{,}002} = 2{,}71 \times 10^{4}\ \mathrm{UA^3}

ومنه $r_{Ne} = 30{,}0\ \mathrm{UA}$

الكوكب	زحل $(Sa)$	أورانوس $(Ur)$	نبتون $(Ne)$
الدور $T\ (\mathrm{an})$	29,5	84,4	164,9
نصف قطر المدار $r\ (\mathrm{UA})$	9,54	19,23	30,0

نحوّل $k$ إلى الجملة الدولية: $1\ \mathrm{an} = 365 \times 86400 = 3{,}1536 \times 10^{7}\ \mathrm{s}$ :

k = 1{,}002 \times \dfrac{(3{,}1536 \times 10^{7})^2}{(1{,}5 \times 10^{11})^3} = 2{,}95 \times 10^{-19}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-3}}

ومن $k = \dfrac{4\pi ^2}{G\,M_S}$ :

M_S = \dfrac{4\pi ^2}{G\,k} = \dfrac{4\pi ^2}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}95 \times 10^{-19}} = 2{,}0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}

التمرين2

الاقتران الثلاثي (الوجه المبتسم)

متوسط

في الساعات الأولى من فجر يوم الجمعة 25 أفريل 2025، شهدت السماء عرضا كونيا نادرا تمثّل في ظاهرة فلكية تُعرف باسم «الاقتران الثلاثي»، حيث اصطف الهلال مع كوكبي الزهرة وزحل في مشهد مدهش. خلق هذا الترتيب ظاهرة بصرية فريدة تشبه وجها مبتسما في السماء، الشكل (1): الهلال على شكل فم مبتسم، وكوكبا الزهرة وزحل في مكان العينين.

الشكل (1): الوجه المبتسم

مكّنت دراسة حركة كوكب الزهرة، أحد كواكب المجموعة الشمسية، حول الشمس من تمثيل الشكل (2) (تفلطح المسار مبالغ فيه للتوضيح).

الشكل (2)

ما هو المرجع المناسب لدراسة حركة كوكب الزهرة؟ عرّفه.

يستغرق الكوكب المدة الزمنية $\Delta t$ نفسها لقطع القوسين $AB$ و $CD$ ، فتمسح القطعة المستقيمة التي تصله بالشمس المساحتين $\mathcal{A}_1$ و $\mathcal{A}_2$

اذكر نص القانون المستخلص من هذه الدراسة.

بيّن أن حركة كوكب الزهرة على هذا المسار غير منتظمة.

لتبسيط الدراسة نعتبر المسار دائريا نصف قطره $r$ ، تقع الشمس في مركزه. ارسم شكلا لمدار كوكب الزهرة حول الشمس، ثم مثّل عليه القوة المطبقة من الشمس على الكوكب.

يعطي الجدول التالي خصائص بعض الكواكب التي تدور حول الشمس:

الكوكب	الأرض	الزهرة	زحل
الدور $T\ (10^{6}\ \mathrm{s})$	31,536	19,414
مربع الدور $T^2\ (10^{14}\ \mathrm{s^2})$
نصف قطر المدار $r\ (10^{11}\ \mathrm{m})$	1,5		14,31
مكعب نصف القطر $r^3\ (10^{33}\ \mathrm{m^3})$

بيّن أن القانون الثالث لكبلر يُكتب بالعلاقة $T^2 = k \times r^3$ ، حيث $k$ ثابت يُطلب إيجاد عبارته.

أكمل الجدول.

مثّل بيانيا مربع دور الكوكب بدلالة مكعب نصف قطر مداره: $T^2 = f(r^3)$

استنتج العبارة الرياضية التي يترجمها البيان.

بالاعتماد على العبارتين النظرية والبيانية، استنتج كتلة الشمس.

المعطيات: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{SI}$

عرض الحل

المرجع الهيليومركزي: مبدؤه مركز الشمس، ومحاوره الثلاثة موجهة نحو ثلاثة نجوم بعيدة نعتبرها ثابتة.

القانون الثاني لكبلر (قانون المساحات): القطعة المستقيمة التي تصل مركز الشمس بمركز الكوكب تمسح مساحات متساوية خلال مدد زمنية متساوية، أي $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2$

المساحتان متساويتان، لكن القوس $CD$ أقرب إلى الشمس من القوس $AB$ ، فهو أطول منه: $CD > AB$ . والمدة $\Delta t$ نفسها، إذن:

v_{CD} = \dfrac{CD}{\Delta t} > v_{AB} = \dfrac{AB}{\Delta t}

تتغير سرعة الكوكب على مساره (تكبر كلما اقترب من الشمس)، فحركته غير منتظمة.

ملاحظة: مسار الزهرة الحقيقي قريب جدا من الدائرة (تفلطحه نحو $0{,}007$ )، لذلك تكاد سرعته تبقى ثابتة، وهذا ما يبرر اعتبار المسار دائريا في السؤال 3.

القوة موجهة من الكوكب $V$ نحو مركز الشمس، وشعاع السرعة مماسي للمسار:

القوة والسرعة على المدار

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على الكوكب في المرجع الهيليومركزي: $G\,\dfrac{m\,M_S}{r^2} = m\,\dfrac{v^2}{r}$ ومنه $v^2 = \dfrac{G\,M_S}{r}$ . ومع $v = \dfrac{2\pi \,r}{T}$ :

T^2 = \dfrac{4\pi ^2}{G\,M_S} \times r^3

إذن $T^2 = k \times r^3$ مع:

k = \dfrac{4\pi ^2}{G\,M_S}

من معطيات الأرض:

k = \dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{(31{,}536 \times 10^{6})^2}{(1{,}5 \times 10^{11})^3} = \dfrac{9{,}945 \times 10^{14}}{3{,}375 \times 10^{33}} = 2{,}947 \times 10^{-19}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-3}}

للزهرة: $r^3 = \dfrac{T^2}{k} = \dfrac{3{,}769 \times 10^{14}}{2{,}947 \times 10^{-19}} = 1{,}279 \times 10^{33}\ \mathrm{m^3}$ ومنه $r = 1{,}085 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$ . لزحل: $T^2 = k\,r^3 = 2{,}947 \times 10^{-19} \times 2{,}930 \times 10^{36} = 8{,}635 \times 10^{17}\ \mathrm{s^2}$ ومنه $T = 9{,}292 \times 10^{8}\ \mathrm{s}$ (نحو 29,5 سنة).

الكوكب	الأرض	الزهرة	زحل
الدور $T\ (10^{6}\ \mathrm{s})$	31,536	19,414	929,2
مربع الدور $T^2\ (10^{14}\ \mathrm{s^2})$	9,945	3,769	8635
نصف قطر المدار $r\ (10^{11}\ \mathrm{m})$	1,5	1,085	14,31
مكعب نصف القطر $r^3\ (10^{33}\ \mathrm{m^3})$	3,375	1,279	2930

السلم: $1\ \mathrm{cm} \to 500 \times 10^{33}\ \mathrm{m^3}$ أفقيا و $1\ \mathrm{cm} \to 1000 \times 10^{14}\ \mathrm{s^2}$ شاقوليا. بهذا السلم تكاد نقطتا الأرض والزهرة تنطبقان على المبدأ.

البيان T² = f(r³)

البيان مستقيم يمر من المبدأ، معادلته $T^2 = a\,r^3$ حيث $a$ ميله:

a = \dfrac{8635 \times 10^{14}}{2930 \times 10^{33}} = 2{,}95 \times 10^{-19}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-3}}

إذن: $T^2 = 2{,}95 \times 10^{-19}\,r^3$

بالمطابقة: $a = k = \dfrac{4\pi ^2}{G\,M_S}$ ومنه:

M_S = \dfrac{4\pi ^2}{G\,a} = \dfrac{4\pi ^2}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}95 \times 10^{-19}} = 2{,}0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}

التمرين3

القمر الاصطناعي «المنذر»

متوسط

شهد يوم السبت 15 مارس 2025 إطلاق «المنذر»، أول قمر اصطناعي بحريني صُمّم وطُوّر بالكامل داخل مملكة البحرين. تمت عملية الإطلاق من قاعدة فاندنبرغ غربي ولاية كاليفورنيا الأمريكية على متن صاروخ فالكون 9، ضمن مهمة ترانسبورتر-13. ويُعدّ «المنذر» أول قمر اصطناعي من نوعه يوظف تقنيات الذكاء الاصطناعي لتحليل الصور الفضائية على متن قمر اصطناعي بهذا الحجم الصغير.

يدور القمر الاصطناعي «المنذر» حول الأرض حركة دائرية منتظمة، مركزها $O$ مركز الأرض ونصف قطرها $r = R_T + h$ ، حيث $h$ ارتفاعه عن سطح الأرض، ولا يخضع إلا لقوة جذب الأرض.

مثّل على مخطط واضح القوة المطبقة من طرف الأرض على القمر الاصطناعي.

ندرس حركة القمر الاصطناعي في المرجع الجيومركزي ونعتبره عطاليا. عرّف هذا المرجع، وما الشرط الذي يجب أن تحققه مدة الدراسة حتى يكون ذلك مقبولا؟

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، جد عبارة مربع سرعة القمر الاصطناعي $v^2$ بدلالة $G$ و $M_T$ و $R_T$ و $h$

بيّن أنه يمكن كتابة العبارة النظرية على الشكل:

\dfrac{1}{v^2} = A\,h + B

حيث $A$ و $B$ ثابتان يُطلب تحديد عبارتيهما.

بواسطة برمجية خاصة تم رسم البيان $\dfrac{1}{v^2} = f(h)$ الممثل في الشكل (1).

الشكل (1)

اكتب العبارة البيانية للبيان.

بالمطابقة بين العبارتين النظرية والبيانية، جد كتلة الأرض $M_T$

استنتج نصف قطر الأرض $R_T$

نقترح ثلاثة مسارات افتراضية لقمر اصطناعي حول الأرض، ممثلة في الشكل (2):

الشكل (2)

بيّن أن أحد هذه المسارات يتعارض مع أحد قوانين كبلر، واذكر نص هذا القانون.

حدّد المسار الوحيد الذي يناسب قمرا اصطناعيا مستقرا بالنسبة للأرض (جيومستقرا)، مع التعليل.

المعطيات: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{SI}$

عرض الحل

قوة الجذب موجهة من القمر الاصطناعي $S$ نحو مركز الأرض، وشدتها $F = G\,\dfrac{m\,M_T}{(R_T + h)^2}$ :

قوة جذب الأرض

المرجع الجيومركزي: مبدؤه مركز الأرض، ومحاوره الثلاثة موجهة نحو ثلاثة نجوم بعيدة نعتبرها ثابتة. الشرط: أن تكون مدة الدراسة صغيرة جدا أمام دور حركة الأرض حول الشمس (365 يوما)، فتكون حركة مركز الأرض خلالها مستقيمة منتظمة تقريبا.

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على المحور الناظمي: $G\,\dfrac{m\,M_T}{(R_T + h)^2} = m\,\dfrac{v^2}{R_T + h}$ ومنه:

v^2 = \dfrac{G\,M_T}{R_T + h}

بالقلب:

\dfrac{1}{v^2} = \dfrac{R_T + h}{G\,M_T} = \dfrac{1}{G\,M_T}\,h + \dfrac{R_T}{G\,M_T}

وهي من الشكل $\dfrac{1}{v^2} = A\,h + B$ مع: $A = \dfrac{1}{G\,M_T}$ و $B = \dfrac{R_T}{G\,M_T}$

البيان مستقيم لا يمر من المبدأ، معادلته $\dfrac{1}{v^2} = a\,h + b$ . نقرأ ترتيب نقطة تقاطع امتداده مع محور التراتيب، والنقطة $(2000\ \mathrm{km}\ ;\ 21 \times 10^{-9})$ :

قراءة البيان

b = 16 \times 10^{-9}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-2}} = 1{,}6 \times 10^{-8}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-2}}

a = \dfrac{(21 - 16) \times 10^{-9}}{2000 \times 10^{3}} = 2{,}5 \times 10^{-15}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-3}}

إذن: $\dfrac{1}{v^2} = 2{,}5 \times 10^{-15}\,h + 1{,}6 \times 10^{-8}$ (بوحدات الجملة الدولية).

بالمطابقة: $A = \dfrac{1}{G\,M_T} = a$ ومنه:

M_T = \dfrac{1}{G\,a} = \dfrac{1}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}5 \times 10^{-15}} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}

$B = \dfrac{R_T}{G\,M_T} = A\,R_T = b$ ومنه:

R_T = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1{,}6 \times 10^{-8}}{2{,}5 \times 10^{-15}} = 6{,}4 \times 10^{6}\ \mathrm{m} = 6400\ \mathrm{km}

المسار (2) يتعارض مع القانون الأول لكبلر المطبق على الأقمار الاصطناعية: «يتحرك القمر الاصطناعي حول الأرض وفق مسار إهليلجي يشغل مركز الأرض أحد محرقيه» (ومركزه في حالة المسار الدائري). مستوي المسار (2) لا يمر بمركز الأرض، وقوة الجذب الموجهة نحو مركز الأرض لا يمكن أن تبقي القمر على هذا المسار.

المسار (3): مستويه هو مستوي خط الاستواء (عمودي على محور دوران الأرض ويمر بمركزها). القمر الجيومستقر يدور في هذا المستوي، في جهة دوران الأرض وبنفس دورها $(T \approx 24\ \mathrm{h})$ ، فيبقى دائما فوق النقطة نفسها من خط الاستواء. أما المسار (1) فمائل على مستوي خط الاستواء، فالقمر عليه يتنقل بين نصفي الكرة الشمالي والجنوبي.

ملاحظة: «المنذر» ليس قمرا جيومستقرا: يدور على مدار منخفض، على ارتفاع بضع مئات من الكيلومترات، بدور قريب من ساعة ونصف، بينما يقع المدار الجيومستقر على ارتفاع نحو $36000\ \mathrm{km}$

التمرين4

أقمار كوكب المشتري

صعب

المُشتري هو أضخم كواكب المجموعة الشمسية، سُمّي بالمشتري لأنه «يستشري» في سيره، أي يلج ويمضي فيه بلا فتور ولا انكسار. كان معروفا لدى الفلكيين القدامى وارتبط بأساطير العديد من الشعوب، وأطلق عليه الرومان اسم جوبيتر.

يوصف كوكب المشتري بـ«منقذ المجموعة الشمسية»، إذ يُعتقد أن جاذبيته الكبيرة تخفّض من خطر بعض الكويكبات والأجرام السماوية التي قد تصطدم بالأرض.

اكتشف غاليليو سنة 1610 أكبر أربعة أقمار للمشتري، وهي: آيو وأوروبا وغانيميد وكاليستو، باستخدام المقراب (التلسكوب)، الشكل (1).

الشكل (1): كوكب المشتري

ما هو المرجع المناسب لدراسة حركة الأقمار حول المشتري؟ عرّفه.

تخضع هذه الأقمار فقط لقوة جذب المشتري $(J)$ . مثّل هذه القوة على رسم مناسب، ثم اكتب عبارة شدتها بدلالة $G$ و $M_J$ و $m_s$ و $R_J$ و $h$ ، حيث $m_s$ كتلة القمر و $h$ ارتفاعه عن سطح المشتري.

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، بيّن أن عبارة سرعة القمر تُكتب على الشكل:

v = A\,\sqrt{\dfrac{1}{r}}

حيث $r = R_J + h$ ، ثم حدّد عبارة الثابت $A$

ذكّر بنص القانون الثالث لكبلر، ثم بيّن أن:

\dfrac{T^2}{(R_J + h)^3} = k

حيث $k$ ثابت يُطلب تحديد عبارته.

يوضح الجدول التالي خصائص حركة أكبر أقمار المشتري. أكمل الجدول، مستعملا معطيات القمر آيو لحساب الثابت $k$

القمر	آيو	أوروبا	غانيميد	كاليستو
الارتفاع $h\ (10^{4}\ \mathrm{km})$	35	60
$\sqrt{\dfrac{1}{r}}\ (10^{-5}\ \mathrm{m^{-1/2}})$			3,05
الدور $T\ (\mathrm{j})$	1,77			16,7
السرعة $v\ (10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}})$

مثّل بيانيا سرعة الأقمار بدلالة جذر مقلوب نصف قطر المدار: $v = f\left(\sqrt{\dfrac{1}{r}}\right)$

استنتج العبارة الرياضية التي يترجمها البيان.

بالاعتماد على العبارتين النظرية والبيانية، استنتج كتلة كوكب المشتري.

المعطيات: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{SI}$ ؛ نصف قطر المشتري: $R_J = 71500\ \mathrm{km}$ ؛ $1\ \mathrm{j} = 86400\ \mathrm{s}$

عرض الحل

المرجع المشتري المركزي: مبدؤه مركز المشتري، ومحاوره الثلاثة موجهة نحو ثلاثة نجوم بعيدة نعتبرها ثابتة، ونعتبره عطاليا خلال مدة دراسة صغيرة أمام دور المشتري حول الشمس.

القوة موجهة من القمر $s$ نحو مركز المشتري، وشدتها:

F_{J/s} = G\,\dfrac{m_s\,M_J}{(R_J + h)^2}

قوة جذب المشتري

القانون الثاني لنيوتن على المحور الناظمي: $G\,\dfrac{m_s\,M_J}{r^2} = m_s\,\dfrac{v^2}{r}$ ومنه $v^2 = \dfrac{G\,M_J}{r}$ أي:

v = \sqrt{G\,M_J}\,\sqrt{\dfrac{1}{r}}

وهي من الشكل $v = A\,\sqrt{\dfrac{1}{r}}$ مع $A = \sqrt{G\,M_J}$

القانون الثالث لكبلر: مربع دور القمر يتناسب طردا مع مكعب نصف قطر مداره (نصف المحور الكبير في حالة الإهليلج). ومن $T = \dfrac{2\pi \,r}{v}$ و $v^2 = \dfrac{G\,M_J}{r}$ :

\dfrac{T^2}{(R_J + h)^3} = \dfrac{4\pi ^2}{G\,M_J} = k

للقمر آيو: $r = R_J + h = 7{,}15 \times 10^{7} + 35 \times 10^{7} = 4{,}215 \times 10^{8}\ \mathrm{m}$ و $T = 1{,}77 \times 86400 = 1{,}529 \times 10^{5}\ \mathrm{s}$ :

k = \dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{(1{,}529 \times 10^{5})^2}{(4{,}215 \times 10^{8})^3} = 3{,}12 \times 10^{-16}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-3}}

ثم لكل قمر: $r = R_J + h$ ، $T = \sqrt{k\,r^3}$ أو $r^3 = \dfrac{T^2}{k}$ ، و $v = \dfrac{2\pi \,r}{T}$ . مثلا لغانيميد: $r = \dfrac{1}{(3{,}05 \times 10^{-5})^2} = 1{,}075 \times 10^{9}\ \mathrm{m}$ ومنه $h = r - R_J = 100{,}4 \times 10^{4}\ \mathrm{km}$

القمر	آيو	أوروبا	غانيميد	كاليستو
$r\ (10^{8}\ \mathrm{m})$	4,215	6,715	10,75	18,82
الارتفاع $h\ (10^{4}\ \mathrm{km})$	35	60	100,4	181,1
$\sqrt{\dfrac{1}{r}}\ (10^{-5}\ \mathrm{m^{-1/2}})$	4,87	3,86	3,05	2,31
الدور $T\ (\mathrm{j})$	1,77	3,56	7,21	16,7
السرعة $v\ (10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}})$	17,3	13,7	10,8	8,20

السلم: $1\ \mathrm{cm} \to 1 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{-1/2}}$ أفقيا و $1\ \mathrm{cm} \to 2 \times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ شاقوليا.

البيان v = f(√(1/r))

البيان مستقيم يمر من المبدأ، معادلته $v = a\,\sqrt{\dfrac{1}{r}}$ حيث:

a = \dfrac{14{,}2 \times 10^{3}}{4 \times 10^{-5}} = 3{,}55 \times 10^{8}\ \mathrm{m^{3/2}\cdot s^{-1}}

إذن: $v = 3{,}55 \times 10^{8}\,\sqrt{\dfrac{1}{r}}$

بالمطابقة: $a = A = \sqrt{G\,M_J}$ ومنه:

M_J = \dfrac{a^2}{G} = \dfrac{(3{,}55 \times 10^{8})^2}{6{,}67 \times 10^{-11}} = 1{,}9 \times 10^{27}\ \mathrm{kg}

وهي نحو 318 مرة كتلة الأرض.